高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列课后复习题

【精选】5.2.1 等差数列-1同步练习

一．填空题

1．若数列满足：，，则________________.

2．若三个非零且互不相等的实数，，成等差数列且满足，则称，，为一个“等差数列”，已知集合，则由中的上元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为_______.

3．记为数列在区间中的项的个数，则数列的前项的和_________.

4．设是等差数列的前项和，且，则_____．

5．已知等差数列的前项和为，若点，，，满足：①（）；②，，确定一个平面；③，若，则_______.

6．已知等差数列中，，，则该等差数列的公差的大小为________

7．设为等差数列的前项和，若，则________．

8．已知公差不为0的等差数列的首项，前项和为，且________（①，，成等比数列；②；③任选一个条件填入上空）.设，，数列的前项和为，试判断与的大小.

9．若等差数列中，，为前n项和，，则当最小时________．

10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，S5＝30，则数列{}的前n项和为_____．

11．若数列为等差数列且，，则______．

12．是等差数列的前项和，已知三点共线，且，则________.

13．设数列的前n项和为，且，若，则_________.

14．已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的通项公式_______

15．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.

参考答案与试题解析

1．【答案】.

【解析】.

两式相减，得.

.

故是首项为，公差为的等差数列的第项，

故.

故答案为：.

2．【答案】

【解析】首先要确定构成“等差数列”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有50组．

详解：由三个非零且互不相等的实数，，成等差数列且满足，

可得

消去，并整理得，

所以（舍去），，

于是有．

在集合中，三个元素组成的所有数列必为整数列，

所以必为2的倍数，且，，

故这样的数组共50组．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查等差中项的简单应用，属于常考题型.

3．【答案】；

【解析】对于区间，，，，可知：

（1）当，2时，区间内不含项，故，共2项；

（2）当，4，5，时，区间内含有一项，故，共6项；

（3）当，10，11，时，区间内含有，两项，故，共18项；

（4）当，28，29，，80时，区间内含有，，三项，故，共54项；

（5）当，82，83，，100时，区间内含有3，，，四项，故，共20项．

故．

故答案为：284．

4．【答案】12

【解析】根据题意，由等差数列的通项公式可得，又由，即可得答案．

详解：解：根据题意，等差数列中，，

则，

则；

故答案为：12.

【点睛】

本题考查等差数列的前项和，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．

5．【答案】0

【解析】分析：根据向量等和线定理可得，再利用等差数列的性质，即可得答案；

详解：由条件可得：

，

故答案为：0.

6．【答案】

【解析】利用等差数列的性质直接求解．

详解：解：等差数列中，，，

，

解得，．

故答案为：．

【点睛】

本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

7．【答案】

【解析】先设等差数列的公差为，根据题意，得出首项和公差直接的关系，再由求和公式，即可求出结果.

详解：设等差数列的公差为，

因为，所以，即，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记等差数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.

8．【答案】选①：；选②：当时，；当时，；当时，；选③：.

【解析】任选一个条件，求出数列公差及，通项，利用错位相减法求和，再比较大小可得解.

详解：若选①，设公差为，因为，，成等比数列，所以，解得或0（不合，舍去），所以，所以，利用错位相减可得；

若选②，因为，所以公差，所以，所以，利用错位相减可得

当时，；

当时，；当时，；

若选③，因为，所以公差，所以，所以，

利用错位相减可得.

【定睛】

本题考查等差数列通项及错位相减法求和，属于基础题.

9．【答案】10

【解析】根据条件确定中项的符号变化规律，即可确定最小时对应项数.

详解：

单调递增，因此

即，最小

故答案为：10

【点睛】

本题考查等差数列性质．等差数列前项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.

10．【答案】

【解析】依据等差数列通项及前n项和公式求得等差数列{an}的基本量，应用等差数列前n项和公式表示出，进而得到数列{}的通项，并利用裂项法求前n项和即可

详解：根据等差数列通项及前n项和公式，知

解得

∴由等差数列前n项和公式：，

对于数列{}有

∴数列{}的前n项和

故答案为：

【点睛】

本题考查了等差数列，根据已知量，结合等差数列的通项公式和前n项和公式列方程求基本量，进而得到其前n项和公式，根据新数列与等差数列前n项和的关系求得数列通项公式，结合裂项法得到新数列的前n项和公式

11．【答案】

【解析】利用等差数列的通项公式计算出和，再求出正弦值.

详解：易知公差，

则．

所以．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式的基本量的计算，考查了特殊角的正弦值，属于基础题.

12．【答案】4040

【解析】分析：由三点共线得出：，再根据等差数列的性质求和．

详解：因为，所以，又三点共线，

所以，即，

而是等差数列，

所以．

故答案为：4040.

【点睛】

结论点睛：，是直线外一点，则三点共线．

13．【答案】

【解析】由可得，结合已知条件即可求.

详解：由题意知，，即，而，

∴，可得，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了根据数列前n项和与n及首项的关系求首项，注意的应用，属于简单题.

14．【答案】

【解析】由已知条件求出首项和公差，即可得通项公式．

详解：设数列公差为，由已知得，解得．

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查求等差数列的通项公式，考查等差数列的前项和公式，解题方法是基本量法，即用和表示已知并求出，再由和解决其他问题．

15．【答案】

【解析】利用和表示出已知的等量关系，从而构造出方程组求得结果.

详解：设个数从小到大排列所成的等差数列为，公差为

则，    ，解得：

故答案为：

【点睛】

本题考查等差数列的实际应用问题，关键是能够利用首项和公差表示出已知的等量关系.