高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.2 等差数列5.2.1 等差数列练习题

【优质】5.2.1 等差数列-1同步练习

一．填空题

1．已知数列是等差数列，是其前项和．若，，则的值是______．

2．在等差数列中，若则数列的前项和的最大值为________．

3．已知数列前项和为，若，则__________．

4．已知等差数列{an}满足a1=1，a2=2，则{ an }的前5项和S5= __________.

5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.

6．数列的前项和为，若，则_________

7．记为等差数列的前项和，，，则___________.

8．已知等差数列的前项和为，若，且．．三点共线（该直线不过原点），则____________.

9．数列的前项和为，__________

10．设数列的前n项和为，且，若，则_________.

11．已知数列的前项为，若，且，则的取值范围是__________.

12．已知等差数列中，，，则该等差数列的公差的大小为________

13．求和：___________ ．

14．已知数列前项和满足，，则数列______．

15．数列的前项和为，，数列满足，则数列的前10项和为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】20

【解析】设等差数列的公差为，首项为，

则，解得：，，

则.

故答案为：20

2．【答案】

【解析】根据已知条件先求出等差数列的通项公式，再求出所有的正数项，即可求出结论.

详解：设等差数列的公差为，

由，

又，

，当，

数列的前项和的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式基本量的计算，并利用等差数列的性质求前和的最大值，考查计算求解能力，属于中档题.

3．【答案】

【解析】分析：令，得，当 时，，由此推导出数列 是首项为1公差为的等差数列，从而得到，从而得到.

详解：令，得，解得 ，

当 时，

由），得，

两式相减得 整理得，且

∴数列 是首项为1公差为 的等差数列，

可得

所以

点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．

4．【答案】15

【解析】由题意可得等差数列通项公式，结合可得前n项和公式，进而求即可.

详解：由等差数列{an}满足a1=1，a2=2，知：公差，

∴{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为，

∴由等差数列前n项和公式，

即可得，

故答案为：15.

【点睛】

本题考查了求等差数列前n项和，属于简单题.

5．【答案】

【解析】利用和表示出已知的等量关系，从而构造出方程组求得结果.

详解：设个数从小到大排列所成的等差数列为，公差为

则，    ，解得：

故答案为：

【点睛】

本题考查等差数列的实际应用问题，关键是能够利用首项和公差表示出已知的等量关系.

6．【答案】

【解析】变换，利用裂项相消法计算得到答案.

详解：，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了裂项相消法求和，意在考查学生对于数列方法的灵活运用.

7．【答案】

【解析】因为是等差数列，所以，

所以，

可得，

，

故答案为：

8．【答案】

【解析】分析：先证明出当．．三点共线（该直线不过原点）且时，，可得出，然后利用等差数列的求和公式可求得的值.

详解：当．．三点共线（该直线不过原点）时，则与共线，

则存在，使得，即，可得，

，，

因为，且．．三点共线（该直线不过原点），则，

由等差数列求和公式可得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列求和，同时也考查了平面向量三点共线结论的推导与应用，考查计算能力，属于中等题.

9．【答案】2600

【解析】 ,

,

， ，

， ，

， ，

.，

.

【点睛】提供一个数列，有时提供通项公式，有时提供递推公式，有通项公式求数列的和可根据通项公式采用相应的方法求和，求和方法主要有倒序相加法．错位相减法．裂项相消法．分组求和法等，当有提供递推公式时，一般化为特殊数列（等差或等比）后再求和，也有时时根据数列的递推公式，借助前2项的值，推出后面的项的值，求数列的和时要观察数列各项的值的性，有时具有周期性，有时奇数项．偶数项分别具有一定的规律，然后再求和.

10．【答案】

【解析】由可得，结合已知条件即可求.

详解：由题意知，，即，而，

∴，可得，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了根据数列前n项和与n及首项的关系求首项，注意的应用，属于简单题.

11．【答案】.

【解析】由化简结合等差数列的定义得出数列为等差数列，将化为，求出函数函数的最小值，解不等式，即可得出的取值范围.

详解：由题知，，两式相减得

，即，

故为等差数列，，

由得，即，

显然单调递增，故只需，

即，解得.

故选：

【点睛】

本题主要考查了与的关系，涉及等差数列的通项公式以及一元二次不等式的解法，属于中档题.

12．【答案】

【解析】利用等差数列的性质直接求解．

详解：解：等差数列中，，，

，

解得，．

故答案为：．

【点睛】

本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

13．【答案】

【解析】易知该数列的通项，故该数列的前n项和为

14．【答案】

【解析】因为数列前项和满足，，

当时，，

当时，

对时，也成立，

所以，

所以，

所以，

，

故答案为：

15．【答案】65

【解析】由知：，则，得，

∴，而，

∴，故数列的前10项和为，

故答案为：65.