人教B版 (2019)5.3.2 等比数列的前 n项和一课一练

【特供】5.3.2 等比数列的前n项和-1同步练习

一．填空题

1．在等比数列中，，，则数列的前4项和______．

2．已知无穷等比数列的前n项和，则此无穷等比数列各项和是_________．

3．在3和一个未知数间填上一个数，使三个数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则未知数是_____________.

4．已知数列的首项，其前项和满足，则______.

5．已知数列的前项和为，若，，，则______．

6．若无穷等比数列的各项均大于1，且满足，，则公比________.

7．在公差不为零的等差数列中，是与的等比中项，则＝_____．

8．各项均为正数的等比数列，其公比，且，请写出一个符合条件的通项公式______.

9．若等比数列的前项和为，则常数的值等于___________.

10．已知数列的前项和为，若，则的值为__________________．

11．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则________．

12．数列中，，其前项和满足，则的通项公式为___________.

13．已知等比数列的前项和满足，数列满足，其中，给出以下命题：

①；

②若对恒成立，则；

③设，，则的最小值为；

④设，若数列单调递增，则实数的取值范围为．

其中所有正确的命题的序号为________．

14．已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值是___________.

15．已知为正项等比数列的前项和，若，，则________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：先由等比数列的通项公式求出公比和首项，再利用等比数列的前项和公式得出答案

详解：等比数列中，设公比为，则，则

则，所以

所以

故答案为：

2．【答案】

【解析】当时，，当时， ，

根据题意时也满足，所以，所以，所以，

此无穷等比数列各项和是，故答案为：

3．【答案】3或27

【解析】试题分析：由等差数列和等比数列概念设未知数为x,中间数为y,则得解得或27.

4．【答案】

【解析】分析：利用题干中的递推关系找出an与n的关系，进而计算出结果.

详解：由题知，，则.

两式做差得.

整理得.

所以{ }是以为首项，-1为公比的等比数列.

.

故答案为

【点睛】

方法点睛：在处理数列的通项与前n项和的相关问题时，一定要抓住题干中给出的递推关系，利用递推关系将抽象的数列问题转化为我们熟悉的等差数列．等比数列问题，从而运用我们所学的等差．等比数列的知识取解决问题.

5．【答案】

【解析】分析：由得，从而可得数列是等比数列，求得通项后，结合和与项的关系可得．

详解：解：数列的前项和为，若，，，

整理得，

故，

由于，

所以，

故，①，

整理得，

故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，

故（首项符合通项），

所以：．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查数列的通项与和的关系，解题关键是是得出后，把化为，从而得出数列的递推关系，得其为等比数列，易于求解．在与的相互转化中注意相互性，主要看怎样转化得解题．

6．【答案】2

【解析】因为数列是等比数列，所以，又因为，

解得：或，由无穷等比数列的各项均大于1可知，

所以，因为，即，解得：.故答案为：2.

7．【答案】

【解析】分析：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），利用已知建立关系，用a1表示d，再用a1表示出a9及前9项和即可得解.

详解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由是与的等比中项，得

即，化简得，

所以，，

所以

故答案为：

8．【答案】（只要为正项等比数列（不为常数列）且即可）

【解析】分析：根据等比数列的性质，可得，根据，不妨令，根据等比数列通项公式，即可得答案.

详解：因为为正项等比数列，所以，

所以，又，不妨令，

所以.

故答案为：（只要为正项等比数列（不为常数列）且即可）

9．【答案】1

【解析】分析：由等比数列前n项和的表达式的结构特征比对即可得解.

详解：因，等比数列的公比，则有，

令，从而等比数列的前项和满足，把与之比对得.

故答案为：1

【点睛】

思路点睛：等比数列前n项和公式应用，在等比数列的公比q未知时，要用前其n项和公式，必须按与讨论.

10．【答案】

【解析】分析：首先由数列的前项和为，求出数列的通项公式，最后求出的值.

详解：因为，

当时，即，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，

进而，

故答案为：

【点睛】

等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．

11．【答案】

【解析】分析：首先根据题目信息求出，再根据等比数列通项公式求得即可

详解：各项均为正数的等比数列的前项和为，即，

又，所以，

故解得或（舍），

所以，

故答案为：.

【点睛】

等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．

12．【答案】

【解析】分析：由，得出数列是首项为1，公比为3的等比数列，求得，再利用和的关系式，即可求解.

详解：由题意，数列中，前项和满足，

因为，可得，则，

所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以，

当时，，

当时，，不适合上式，

故，

故答案为：.

13．【答案】②④

【解析】分析：由等比数列前项和公式特点确定，进而明确与的通项，结合数列的单调性判断各个命题.

详解：由为等比数列，其前项和，则，故①不正确；

由，可得，则，若对恒成立，

即对恒成立，

令，则

当时，；

当时，，

当时，，则，

则，故②正确；

由，，

令，则

当，时，，

当，时

则，故③不正确；

，由单调递增，

则，则，故④正确．

故答案为：②④

【点睛】

关键点点睛：（1）等比数列的前项和；

（2）证明数列的单调性一般采用作差（或作商）的方式；

（3）数列作为特殊函数，特殊在定义域上，定义域不连续.

14．【答案】4

【解析】分析：根据三数成等差数列列等式，再将，用含和的式子表示，代入等式求解.

详解：因为为等比数列，且公比为，

所以，且，.

因为，，成等差数列，

所以，

有，，

解得.

故答案为：.

15．【答案】

【解析】分析：由正项等比数列特点可确定，，由等比数列性质．等比数列通项公式可化简已知等式求得和，由可得结果.

详解：为正项等比数列，且公比；

，，

，，.

故答案为：.