高中人教B版 (2019)5.5 数学归纳法课时作业

【精挑】5.5 数学归纳法-3同步练习

一．填空题

1．在数列{an}中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列,则S2,S3,S4分别为____,猜想Sn=____.

2．有一个奇数列，现在进行如下分组：第一组含一个数，第二组合含两个数；第三组含三个数；第四组含四个数；则观察每组内各数之和与组的编号数的关系式为__________．

3．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’捶（同垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上束，下一层束，再下一层束，…，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数），则本问题中三角垛底层菱草总束数为__________．

4．洛萨·科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们得到一个数列：6,3,10,5,16,8,4,2,1.对科拉茨猜想，目前谁也不能证明，更不能否定，如果对正整数按照上述规则实施变换（注：1可以多次出现）后的第九项为1，则的所有可能取值的集合为_________.

5．如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横．纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：

原点处标数字0，记为；点处标数字1，记为；

点处标数字0，记为；点处标数字-1，记为；

点处标数字-2，记为；点处标数字-1，记为；

点处标数字0，记为；点处标数字1，记为；

以此类推，格点坐标为的点处所标的数字为（， 均为整数），记，则__________．

6．数列满足： ， ， ，令，数列的前项和为，则__________．

7．观察下列式子：

     ， ， ， ，根据以上式子可以猜想： ________________．

8．探索表达式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!++2·2!+1·1!(n>1,且n∈N)的结果时,第一步当n=____时,A=____.

9．表示不超过的最大整数.若

，

，

，

，

则__________．

10．用数学归纳法证明不等式的过程中，由“”到“”时，左边增加了__________项

11．观察下列各式： ， ， ， ， ，…，则=_________.

12．设，那么 ______．

13．用数学归纳法证明：“即，其中，且”时，

第一步需验证的不等式为：“______.”

14．在数列{an}中，a1＝1，且Sn．Sn＋1．2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前n项和)，通过计算S2．S3．S4，猜想Sn＝__________.

15．用数学归纳法证明，假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是_______________________.

参考答案与试题解析

1．【答案】   

【解析】分析：由已知条件，利用递推思想依次求出S2，S3，S4的值，总结规律能猜想出Sn

详解：∵Sn，Sn+1，2S1成等差数列，a1=1，

∴2Sn+1=Sn+2S1，

∴2S2=S1+2S1=3S1=3，

∴，

2S3=S2+2S1==，解得，

2S4=S3+2S1=，解得S4=．

由此猜想Sn=．

故答案为：，，；．

点睛：本题考查数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理应用．

2．【答案】

【解析】分析：由题意先计算第一．二．三组内各数之和与其组的编号数的关系，再猜想．

详解：

由题意，1=13，

3+5=23，

7+9+11=33，

故可得每组内各数之和与其组的编号数n的关系为，

故答案为：.

点睛：本题主要考查了学生的归纳的能力，属于简单题.

3．【答案】120

【解析】由题意，第n层茭草束数为1+2++n=，利用1+3+6++=680，求出n，即可得出结论．

解：由题意，第n层茭草束数为1+2++n=，

∴1+3+6++=680，

即为[n（n+1）（2n+1）+n（n+1）]=n（n+1）（n+2）=680，

即有n（n+1）（n+2）=15×16×17，

∴n=15，∴=120.

故答案为：120

考点：归纳推理．

4．【答案】.

【解析】分析：利用地9项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出的所有可能的取值.

详解：如果正整数按照上述规则进行变换后的第9项为1，

则变换中的第项为，

则变换中的第7项为，

则变换中的第6项为1，也可能是8，

则变换中的第5项为2也可能是16，

当变换中的第5项为2时，变换中的第4项是4，变换中的第3项是1或8，变换中的第2项为2或16，

当变换中的第5项为16时，变换中的第4项是32或5，变换中的第3项是64或10，变换中的第2项为20或3，

变换中第2项为2时，第1项为4，变换中第2项为16时，第1项为32或5，变换中第2项为3时，第1项为6，变换中第2项为20时，第1项为40，变换中第2项为21时，第1项为42，变换中第2项为128时，第1项为256，

所以的所有取值为.

点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中利用变换规则，进行逆向推理验证是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

5．【答案】-249

【解析】设坐标为，由归纳推理可知， ，第一圈从点到点共个点，由对称性可得；第二圈从点到共个点由对称性可得，第圈共有个点，这项和也为零，设在第圈，则，可得前圈共有个数， ，

， 所在点坐标为，

， 所在点坐标为， ， ， ，可得， ，故答案为.

6．【答案】

【解析】由递推关系整理可得： ，则：

，据此可得：

以上各式相加可得： ，

再次累加求通项可得： ，

当 时该式也满足题意，综上可得： ，则：

7．【答案】

【解析】根不等式的左边规律是个自然数倒数的平方的和，右边分母规律是以为首项， 为公差的等差数列，分子是以为首项， 为公差的等差数列，所以第个不等式应该为，所以，故答案为.

【方法点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一．通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二．从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列．等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

8．【答案】  2  1

【解析】分析：根据题意n>1,且n∈N，令n=2即可.

详解：∵n>1,且n∈N

∴n=2,时，A=(2-1)(2-1)!=1

故答案为：2,1

点睛：本题考查数学归纳法第一步，注意特意对n限制，合理赋值即可.

9．【答案】

【解析】分析：先根据条件，观察，，的起始数，项数的规律，再根据规律归纳推理，得到的起始数，项数，从而求得

详解：第一个等式，起始数为，项数为，

第二个等式，起始数为，项数为，

第三个等式，起始数为，项数为，

第个等式，起始数为，项数为，

故答案为，

点睛：本题是一道归纳推理的题目，需要结合题中的式子正确分析得出解题方法，本题的解题关键是得到的起始数，项数，即可求出答案

10．【答案】.

【解析】分析：分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当时，左边，由此将其对时的式子进行对比，得到结果.

详解：当时，左边，

当时，左边，

观察可知，增加的项数是，故答案是.

点睛：该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.

11．【答案】199

【解析】通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，因此

故答案为199

点睛：归纳推理的一般步骤: 一．通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二．从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列．等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

12．【答案】

【解析】分析：根据函数表达式含义，准确判断出与项数变化规律以及之间的关系即可得到结论.

详解： ，， ，

故答案为.

点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.

13．【答案】

【解析】分析：由题意时，，即可得到第一步需要验证的不等式．

详解：由题意可知，当时，，所以第一步需验证的不等式为“”．

点睛：本题主要考查了数学归纳法的应用，其中熟记数学归纳法的基本步骤是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．

14．【答案】Sn＝

【解析】根据递推关系得到

通过归纳可得到Sn＝.

故答案为：Sn＝.

15．【答案】

【解析】假设时，不等式成立，则当时，应推证的目标不等式是，故答案为.