高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.5 数学归纳法练习

【特供】5.5 数学归纳法-3同步练习

一．填空题

1．在中，不等式成立，在四边形中，不等式成立，在五边形中， 成立，猜想在边形中应该成立的不等式是__________．

2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：该数列的特点是：前两个数都是，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若是“斐波那契数列”，则 的值为_______．

3．；；；；观察上面列出的等式，则可得出第个等式为__________．

4．用数学归纳法证明“能被整除”的过程中，当时，式子应变形为____________

5．在数列{an}中，a1＝1，且Sn．Sn＋1．2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前n项和)，通过计算S2．S3．S4，猜想Sn＝__________.

6．观察分析下表中的数据:

猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是__________.

7．在如下数表中，已知每行．每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第行第列的数是___________.

8．观察下列等式：

请你归纳出一般性结论______.

9．将自然数1,2,3,4，排成数阵（如图所示），在2处转第一个弯，在3处转第二个弯，在5处转第三个弯，…，则转第100个弯处的数是__________.

10．用数学归纳法证明等式时，第一步验证n=1时，左边应取的项是   

11．有粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为.例如对4粒有如下两种分解：(4)→(1,3) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时＝1×3+1×2+1×1=6; (4)→(2,2) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时＝2×2+1×1+1×1=6.于是发现为定值，请你研究的规律，归纳＝__________.

12．观察下列的数表：

设是该数表第行第列的数，则__________．

13．用数学归纳法证明1+2+3++n2，则当时，左端应在时的基础上加上______

14．将正整数1,2,3,4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行从左边数第10个数是________．

15．用数学归纳法证明“当n为正奇数时， 能被整除”，当第二步假设命题为真时，进而需证________时，命题亦真.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】观察所给的不等式，左侧可归纳为 ，

右侧的分子部分归纳为，分母部分归纳为，其中，

综上可得，猜想在边形中应该成立的不等式是 .

点睛：归纳推理是由部分到整体．由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．

2．【答案】1

【解析】分析：根据斐波那契数列的特征，写出数列前几项，通过归纳推理得到多项式的积。

详解：因为

共有2017项，所以

点睛：本题考查了新定义和数学归纳法的综合应用，并根据项数判断最后的符号，属于基础题。

3．【答案】（）

【解析】分析：观察所给的等式，等号右边是，第个应该是，左边的式子的项数与右边的底数一致，每个等式都是从这一个等式的序数的数字开始相加的，从而可得结果.

详解：观察所给的等式，

，

等号右边是，第个应该是，

左边的式子的项数与右边的底数一致，

每个等式都是从这一个等式的序数的数字开始相加的，

照此规律，第个等式为，

故答案为.

点睛：本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一．通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二．从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列．等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

4．【答案】

【解析】分析：用数学归纳法证明：能被6整除的过程中，当时，式子应变形为.

详解：用数学归纳法证明：能被6整除的过程中，当时，式子应变形为，由于假设能够被6整除，而能被2整除，因此能被6整除，故答案为.

点睛：该题考查的是有关数学归纳法的问题，所涉及的知识点是从假设成立，推导成立时，一定要用到假设时的条件，从而得到结果.

5．【答案】Sn＝

【解析】根据递推关系得到

通过归纳可得到Sn＝.

故答案为：Sn＝.

6．【答案】F+V-E=2

【解析】三棱柱中；五棱锥中；正方体中；

由此归纳可得.

7．【答案】

【解析】从表格可知，第n行的等差数列的首项为n，公差也为n，根据等差数列的通项公式，其位于第n+1个数是n+(n-1)n= n+n2，所以位于下表中的第n行第n+1列的数是n+n2.

考点：等差数列的通项公式，观察与归纳的能力.

8．【答案】

【解析】分析：根据题意，观察各式可得其规律，用将规律表示出来即可．（，且为正整数）

详解：根据题意，观察各式可得：

第①式中，；

②式中，

第③式中，；

规律可表示为：

即答案为 .

点睛：本题要求学生通过观察，分析．归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．

9．【答案】2551

【解析】观察由1起每一个转弯时增加的数字，

可发现为“1，1，2，2，3，3，4，4，”，

即第一．二个转弯时增加的数字都是1，

第三．四个转弯时增加的数字都是2，

第五．六个转弯时增加的数字都是3，

第七．八个转弯时增加的数字都是4，

故在第100个转弯处的数为：

.

故答案为：2551.

点睛：归纳推理是由部分到整体．由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．

10．【答案】1+2+3+4

【解析】本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，由等式，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．

解：在等式中，

当n=1时，n+3=4，

而等式左边起始为1的连续的正整数的和，

故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4

故答案为：1+2+3+4

点评：在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．

11．【答案】

【解析】由题意得

，此时；

，此时；

，此时；

，此时；

由此可猜想： ．

答案：

点睛：破解归纳推理的思维步骤

(1)发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；

(2)归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；

(3)检验，得结论，对所得的一般性命题进行检验．

12．【答案】4980

【解析】第一行有1个偶数，第二行有2个偶数，第三行有个偶数，所以第行有个偶数，所以前n行共有个偶数，所以前n行最后一个偶数是

所以第10行最后一个是2046，第10行有512个偶数，所以2018在第498个，所以m=10,n=498,所以4980，故填4980.

点睛：本题归纳主要是先要发现第n行有个偶数，再就是要计算出前n行一共有个偶数，最后确定m和n就容易了.

13．【答案】

【解析】分析：首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3++n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．

详解：：当n=k时，等式左端=1+2++k2，

当n=k+1时，等式左端=1+2++k2+（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）++（k+1）2，增加了2k+1项．即

故答案为：2

点睛：此题主要考查数学归纳法的问题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选择填空中出现，属于基础题目．

14．【答案】91

【解析】通过观察三角形数排列的特征，归纳出规律即可得到正确答案。

【详解】

由三角形数组可推断出，第n行共有2n－1项，且最后一项为n2

∴第10行共有19项，最后一项为100，左数第10个数是91.

【点睛】

本题考查了归纳推理的简单应用，属于基础题。

15．【答案】

【解析】因为是正奇数，所以的下一项就是。

点睛：本题考查数学归纳法的基本格式。第一步是证明命题的第一项成立，需要注意的是命题的第一项不一定就是的情况；第二步假设命题的第项成立，本题中因为是正奇数，则假设成立；第三步证明命题的第项成立，本题中的第项是。