初中数学16.1 二次根式精品巩固练习

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16.1 二次根式一、二次根式的概念1、概念：形如 (≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。注：①二次根式表示代数式的算术平方根；②被开放数可以表示数字、字母、或代数式。2、二次根式的识别方法判断一个式子是否为二次根式，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：（1）含有二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数。3、判断二次根式有无意义的条件（1）被开方数是非负数；（2）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都是非负数；（3）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还要保证分母不为零。二、二次根式的性质性质1. (双重非负性)性质2. 性质3. 注：与的区别 被开方数的取值范围表示意义结果的算术平方根的平方全体实数的平方的算术平方根三、代数式概念：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。注：代数式中不含有关系符号(“=”“>”或“<”等)。题型一 二次根式的概念【例1】下列代数式能作为二次根式被开方数的是（　　）A．x B．3.14π C．x2+1 D．x2﹣1【答案】C【解析】∵x2+1＞0，∴x2+1能作为二次根式被开方数．故选C．  【变式1-1】下列各式是二次根式的是（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】A、2＞0一定成立，被开方数是非负数；B、当m＜0时，二次根式无意义；C、被开方数为负数，二次根式无意义；D、是三次根式． 故选A．【变式1-2】下列式子一定是二次根式的是（　　）A． B．  C． D．【答案】A【解析】A、中被开方数是非负数，是二次根式；B、中，当a＜5时，被开方数是负数，不是二次根式；C、中，y≠0时，被开方数是负数，不是二次根式；D、中，当ab＜0时，被开方数是负数，不是二次根式．故选A．  【变式1-3】下列各式中，不是二次根式的是（　　）A． B．  C． D．【答案】B  【变式1-4】下列式子是二次根式的有（　　）个A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】，所以和，是二次根式．故选B．  题型二 求二次根式的值【例2】计算下列各式（1） （2） （3）（4）【答案】（1）（2）  （3）（4） 【解析】（1） （2）（3）（4）  【变式2-1】二次根式的值等于（　　）A．﹣2 B．±2 C．2 D．4【答案】C【解析】原式＝|﹣2|＝2．故选C．  【变式2-2】当x＝1时，二次根式的值等于（　　）A．4 B．0 C． D．2【答案】C【解析】当x＝1时，二次根式故选C．  【变式2-3】已知x，y都是实数，且，则y＝　  　．【答案】4【解析】∵，∴，解得x＝3，∴y＝4.  题型三 求二次根式中的参数【例3】已知二次根式的值为4，那么x的值是（　　）A．4 B．16 C．4 D．4或4【答案】D【解析】依题意得，＝4．则x2＝16，解得x＝±4．故选D．  【变式3-1】若是整数，则正整数n的最小值是（　　）A．3 B．7 C．9 D．63【答案】B【解析】∵，且是整数；∴3是整数，即7n是完全平方数；∴n的最小正整数值为7．故选B．  【变式3-2】为任意实数，满足，则的值是（　　）A．2020 B．2021 C．2022 D．无法确定【答案】C【解析】根据题意，得：，即，∴由，得：，即，两边平方，得∴．故选C．  【变式3-3】 成立的条件是（　　）A． B． C． D．-【答案】C【解析】根据题意，得：，∴，故选C．  【变式3-4】已知，则的平方根为（　　）A． B． C．2 D．2【答案】B【解析】由题意得：，解得：x＝，∴y＝1，∴，∴2的平方根是．故选B． 题型四 二次根式有意义的条件【例4】求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【答案】（1）x≥﹣5；（2）a≤3；（3）a≥；（4）x≥0；（5）k＞﹣1；（6）x≥﹣2且x≠2；（7）x≥5【解析】（1）x+5≥0，∴x≥﹣5；（2）3﹣a≥0，﹣a≥﹣3，∴a≤3；（3）2a+1≥0，2a≥﹣1，∴a≥；（4）8x≥0，∴x≥0．（5）k+1＞0，∴k＞﹣1．（6），解得x≥﹣2且x≠2．（7）x﹣5≥0，∴x≥5  【变式4-1】若x为整数，且满足，则当也为整数时，则x的值可以是 　          　．【答案】﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2或﹣2【解析】∵|x|＜π且2﹣x≥0，∴﹣π＜x≤2，∵也为整数，∴x的值可以是：﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2或﹣2．【变式4-2】代数式有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意知，1﹣x＞0，解得x＜1，故选D．  【变式4-3】若式子有意义，则点P（a，b）在（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由题意得，﹣a＞0，b＞0，∴a＜0，∴点P（a，b）在第二象限．故选B．  【变式4-4】使函数有意义的所有整数的和是（　　）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】A【解析】由题意可知：，，解得，∴使得原式有意义的所有整数有，∴使得原式有意义的所有整数和为．故选A．  【变式4-5】若二次根式有意义，且关于x的方程有正整数解，则符合条件的整数m的积是（　　）A．3 B．3 C．1 D．1【答案】C【解析】整理方程，可得： ，解方程，可得：x＝，由题意可得，且m为整数，为正整数，解得符合条件的整数m的值为1、1，∴1×1＝1，故选C．  题型五 利用二次根式的性质化简【例5】x、y均为实数，化简：．【答案】解：由题意得，且，解得x≥1且x≤1，∴x＝1，y＜，∴．  【变式5-1】若x、y为实数，，化简：．【答案】解：∵和有意义，∴，解得x＝2，∴y＜1，∴  【变式5-2】若实数x、y满足y＜．（1）x＝　 　，y＜　 　；（2）化简：．【答案】（1）1,1 （2）见解析【解析】（1）由题意可知：，∴x＝1，∴y＜1故答案为：1，1；（2）解：∵y＜1，∴＜0，＞0，原式＝  【变式5-3】（1）计算；（2）已知，求的立方根．【答案】解：（1）原式＝（2）由题意可得， 解得：x＝2，∴，∴原式＝＝，的立方根为，∴的立方根为．  【变式5-4】（1）若，求的值；（2）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求的值.【答案】解：（1）由题意，得 解得x＝8．∴y＝16∴原式＝＝2﹣4＝﹣2．（2）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2，∴．当m＝2时，原式＝1．当m＝2时，原式＝．