初中人教版第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除精品当堂达标检测题

16.2 二次根式的乘除

一、二次根式的乘法

1、二次根式的乘法法则

注：①；

②若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简。

2、积的算术平方根的性质（二次根式乘法法则的逆用）

3、利用积的算术平方根的性质化简的步骤

（1）将被开方数进行因数分解或因式分解；

（2）应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开方后移到根号外。

注：二次根式的乘法与整式的乘法类似，以往学过的乘法公式等都可以运用。

二、二次根式的除法

1、二次根式的除法法则

注：二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号。

2、商的算术平方根的性质（二次根式除法法则的逆用）

3、利用商的算术平方根的性质化简的步骤

（1）先将被开方数化为的形式；

（2）利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号；

（3）当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。

注：二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子分母中含有相同的因式，可以直接约去。

三、最简二次根式

1、概念

①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。满足以上两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

注：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。

2、化最简二次根式的方法和步骤

（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简；

（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

3、分母有理化

概念：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。

方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。

题型一 二次根式的乘法

【例1】计算：

（1）． （2）．

（3）． （4）．

【变式1-1】下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】A、，原计算错误；B、，原计算错误；

C、，原计算错误；D、，正确；故选：D．

【变式1-2】设，则可以表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵，

∴，故选D．

【变式1-3】估计的值应在（    ）

A．7和8之间 B．8和9之间 C．6和7之间 D．9和10之间

【答案】A

【解析】，

∵，

∴； 故选A．

【变式1-4】有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？

①；②；③；④；⑤．

问题的答案是：________（填序号）．

【答案】①④⑤

【解析】①是有理数，

②是无理数，

③是无理数，

④是有理数，

⑤是有理数，故答案为：①④⑤

题型二 二次根式的除法

【例2】计算：

（1） （2） （3） （4）

【变式2-1】估算的运算结果应在（    ）

A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间

【答案】B

【解析】∵，   ∴，故选：B．

【变式2-2】计算：______．

【答案】

【解析】．

【变式2-3】的倒数是______．

【答案】

【解析】∵， ∴的倒数是．

【变式2-4】若一个长方形的长为，面积为，则它的宽为__________cm（保留根式）．

【答案】

【解析】由题意可得：长方形宽

题型三 最简二次根式的判断

【例3】下列二次根式中，最简二次根式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】A、，不是最简二次根式；B、，是最简二次根式；

C、，不是最简二次根式；     D、，不是最简二次根式；故选B．

【变式3-1】下列二次根式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中是最简二次根式的是（    ）

A．②③④⑦ B．②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．③⑤⑦

【答案】D

【解析】①，不是最简二次根式； ②，不是最简二次根式；

③是最简二次根式； ④，不是最简二次根式；

⑤是最简二次根式； ⑥，不是最简二次根式；

⑦，是最简二次根式； ⑧，不是最简二次根式；

综上，是最简二次根式的有：③⑤⑦．故选D．

【变式3-2】在，，，中不是最简二次根式的是           

【答案】

【解析】含有能开得尽方的因数4，因此不是最简二次根式。

【变式3-3】若>0，则下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】A、 ，不是最简二次根式；B、，原不是最简二次根式；

C、是最简二次根式；D、，不是最简二次根式；  故选C.

【变式3-4】写出一个实数，使是最简二次根式，则可以是         

【答案】5（答案不唯一）

【解析】时，，是最简二次根式，的值可以是5.

故答案为：5.（答案不唯一）

题型四 化为最简二次根式

【例4】化简：

＝_____；＝_____；＝_____；＝_____；＝_____；＝_____

【答案】     2     3     3          ##    

【解析】； ； ；

； ； ．

【变式4-1】化简：

（1）  

（2）  

（3）

（4） 

（5）  

（6）

（7） 

（8）

【答案】（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）．

【变式4-2】化简   （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，故选A．

【变式4-3】化简的结果是______．

【答案】

【解析】.

【变式4-4】化简：________．

【答案】

【解析】

，

，

，

，

故答案为：．

题型五 已知最简二次根式求参数

【例5】若是最简二次根式，则a的值可能是（    ）

A．27 B．18 C．11 D．

【答案】C

【解析】A．不是最简二次根式； B．不是最简二次根式；

C．是最简二次根式；D．不是最简二次根式．故选：C．

【变式5-1】若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为__________．

【答案】2

【解析】当时，，不是最简二次根式；

当时，，是最简二次根式.

∴二次根式是最简二次根式，最小的正整数为2．

【变式5-2】若是最简二次根式，则自然数_________．

【答案】0

【解析】∵是最简二次根式，

∴或，

解得：或(舍去)， ∴自然数.

【变式5-3】若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值．

【答案】

【解析】∵ 与是被开方数相同的最简二次根式

，解得：

∴符合题意

.

【变式5-4】将式子 (a为正整数)化为最简二次根式后，可以与合并．

（1）a的最大值为_____；

（2）所有符合条件的a的和为_____．

【答案】     33     80

【解析】（1），

当时，，与可以合并，

的最大值为33；

（2）当时，，与可以合并，

当时，，与可以合并，

当时，，与可以合并，

， 所有符合条件的的和为80．

题型六 分母有理化

【例6】分母有理化：____________．

【答案】

【解析】．

【变式6-1】分母有理化：____________（其中）．

【答案】

【解析】．

【变式6-2】分母有理化：______．

【答案】

【解析】．

【变式6-3】分母有理化：______．

【答案】

【解析】，

∴原式的倒数

，

∴原式．

【变式6-4】计算_________．

【答案】

【解析】

.

题型七 二次根式的乘除混合运算

【例7】计算：

（1）；

（2）；

（3）．

【变式7-1】计算：________．

【答案】3

【解析】原式=．

【变式7-2】计算：等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】．故选A．

【变式7-3】计算：．

【答案】

【解析】

．