数学八年级下册第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理优秀课堂检测

17.2 勾股定理的逆定理

一、互逆命题的概念

概念：如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

注：①一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立。

②一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

二、勾股定理的逆定理

概念：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形。

注：①定理中及是一种表现形式，不是唯一。

②若三角形三边满足,那么以为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边。

三、逆定理的应用

1、勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。

2、在运用这一定理时，可用两短边的平方和与较长边的平方作比较：

①若，则ABC是以∠C为直角的直角三角形；

②若，则ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；

③若，则ABC为锐角三角形；

3、在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，不可用任意两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论。

四、勾股数

概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称为一组勾股数。

注：①常见的勾股数： 3 4 5，6 8 10，5 12 13，7 24 25等。

②用含字母的代数式表示组勾股数： 为正整数，为正整数，为正整数。

五、勾股定理与其逆定理的区别与联系

1、区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

2、联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

注：勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体。通常既要通过逆定理判定直角三角形，又要用勾股定理求边的长度，二者相辅相成。常见图形：

题型一 勾股数问题

【例1】勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”是________．

【答案】

【解析】“弦”是，故答案为．

【变式1-1】下列各组数中是勾股数的是（    ）

A．1，，2 B．12，16，20 C．32，42，52 D．0.5，1.2，1.3

【答案】B

【解析】A、∵不是正整数，∴1，，2不是勾股数；

B、∵，∴12，16，20是勾股数；

C、∵，∴32，42，52不是勾股数；

D、∵0.5，1.2，1.3不是正整数，∴0.5，1.2，1.3不是勾股数． 故选：B．

【变式1-2】下列各组数中，一定是勾股数的是（   ）

A．8，12，15 B． C．9，40，41 D．5，7，12

【答案】C

【解析】A、，8、12、15不是勾股数；

B、当k不是正整数时，不是正整数， 不是勾股数；

C、，9、40、41是勾股数；

D、，5、7、12不是勾股数.  故选：C．

【变式1-3】有下列各组数：①6，8，；②，，；③，，1；④，，；⑤，，．其中勾股数有（    ）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

【答案】B

【解析】，故①是勾股数；

，故②不是勾股数；

、不是正整数，故③不是勾股数；

，故④是勾股数；

，，不是正整数，故⑤不是勾股数；

所以勾股数有①、④，共2组，故选：B．

【变式1-4】若8，15，a是一组勾股数，则a的值为（    ）

A．10 B． C．17 D．17或

【答案】C

【解析】当a为直角边时，，不是正整数，不符合题意；

当a为斜边时，，是正整数，符合题意；

综上，若8，15，a是一组勾股数，则a的值为. 故选：C

题型二 判断三边能否构成直角三角形

【例2】下列四条线段中，可以构成直角三角形的是（   ）

A．4，5，6 B．，2，  C．2，3，4 D．6，12，13

【答案】B

【解析】A．，，，不能构成直角三角形；

B．，，，能构成直角三角形；

C．，，，不能构成直角三角形；

D．，，，不能构成直角三角形；

故选：B．

【变式2-1】下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（    ）．

A．2，2， B．8，15，17 C．1，，2 D．6，8，10

【答案】A

【解析】A．∵，，，∴不能成直角三角形；

B．∵，∴能够成直角三角形；

C．∵，∴能够成直角三角形；

D．∵，∴能够成直角三角形； 故选：A．

【变式2-2】在中，，则该三角形为（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【解析】∵，

∴，

∴为直角三角形．故选：B

【变式2-3】在中，、、的对边分别为a、b、c，且，则的形状为（    ）．

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【答案】B

【解析】∵，，

∴，即 ，

∴ ，

∴是直角三角形．  故选： B．

【变式2-4】在中，a、b、c分别为的对边，则下列条件中：①；②；③；④．其中能判断是直角三角形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】①∵，

∴此三角形是直角三角形；

②∵，

∴，∴此三角形不是直角三角形；

③∵，

∴，即，∴此三角形是直角三角形；

④∵，

∴设，则，

∴，

解得：，

∴，∴此三角形是直角三角形．

综上，能判断是直角三角形的有①③④．故选：C．

题型三 在网格中判断直角三角形

【例3】如图，正方形网格中的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上，判断的形状，并说明理由．

【答案】是直角三角形，理由详见解析

【解析】是直角三角形．

理由如下：在网格中，由勾股定理，得

；

；

；

，，，

，即是直角三角形．

【变式3-1】如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由勾股定理可得：，

，

，

∵，，

∴，

∴，故B、C、D都正确，

∵，，

∴，

∴，

∴，故A错误．

【变式3-2】有一张图纸被污染，上面只有如图所示的两个标志点，可识别．

请根据以上信息解答下列问题：

（1）在图中画出平面直角坐标系，并标出主要建筑的位置；

（2）标志点与主要建筑的图上距离为______．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）建立直角坐标系如图所示，点的位置如图所示．

（2）由勾股定理可得：，故答案为：．

【变式3-3】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后的顶点均在格点上．

（1）写出关于轴对称的图形的顶点，，的坐标；

（2）利用所学知识判断的形状并加以证明．

【答案】（1），，是等腰直角三角形，证明见解析

【解析】（1）如图所示：

关于轴对称的图形的顶点，，；

（2）是等腰直角三角形．

证明如下：由网格，利用勾股定理得

，，，

，

，

是直角三角形，且，

是等腰直角三角形．

【变式3-4】如图，的三个顶点的坐标分别为．

（1）判断的形状，请说明理由．

（2）求的周长和面积．

（3）在x轴上有一点P，使得最小，则的最小值为________．

【答案】（1）是直角三角形，理由见解析（2）周长为，面积为5（3）

【解析】（1）∵，

∴，

∴是直角三角形；

（2）∵，

∴，，

∴的周长为，

的面积为；

（3）作C关于x轴的对称点，连接交x轴于P，如图：

∵C关于x轴的对称点，

∴，

∴，

又两点之间线段最短，

∴最小值即为线段的长度，

而，

∴最小值是．

题型四 用逆定理求解三角形问题

【例4】三角形的三边长为，则它最长边上的高为_____．

【答案】

【解析】∵，

∴此三角形是直角三角形，

设最长边上的高为，

，

解得：.

【变式4-2】若三角形三边满足，且三角形周长为，则这个三角形最长边上的高为___________．

【答案】

【解析】，

设三边长分别为：，，，

周长为，

，

解得：，

三边长分别为：，，，

，

三角形是直角三角形，

设最长边上的高是，则

解得：．

【变式4-3】如图，在四边形 中，，，，且 ，则四边形 的面积是___________．

【答案】

【解析】连接，

在中由勾股定理即可得， ，

∴    

∴是直角三角形

∴

．

【变式4-4】若三角形三边满足，且三角形周长为，则这个三角形最长边上的高为___________．

【答案】

【解析】，

设三边长分别为：，，，

周长为，

，

解得：，

三边长分别为：，，，

，

三角形是直角三角形，

设最长边上的高是，

则

解得：．

题型五 勾股定理的逆定理的实际应用

【例5】如图，有一块四边形花圃，，若在这块花圃上种植花草，已知每种植需50元，则共需 _____元．

【答案】1800

【解析】连接，

在中，，

（m），

在中，根据勾股定理得，

∴

∴的面积为，

的面积为，

∴四边形面积，

∴种植花草共需花费元．

【变式5-1】学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，AD⊥CD，那么需要绿化部分的面积为______．

【答案】96

【解析】∵，

∴，

∵，

∴为直角三角形，

∴

．

【变式5-2】某日早晨甲渔船以6海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以5海里/时的速度离开港口沿某一方向航行．上午两渔船相距13海里．则乙渔船航行的方向是__________．

【答案】西北方向或东南方向

【解析】设甲渔船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B，

由题意得(海里)，(海里)，海里，

，

，

，

表示东北方向，

表示西北方向或东南方向．如图，

故答案为：西北方向或东南方向．

【变式5-3】如图，有一块农家菜地的平面图，其中，则这块菜地的面积为___________．

【答案】

【解析】连接，

在中，，

根据勾股定理得：，

在中，，

，

为直角三角形，

∴这块菜地的面积为．

【变式5-4】在某港口有甲乙两艘渔船，若甲沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，同时，乙船沿南偏东角度以每小时15海里速度前进，2小时后，甲乙两船相距34海里，那么，乙船航行的方向是南偏东___________度．

【答案】30

【解析】由题意得：

甲船的路程：AO=8×2=16，

乙船的路程：BO=15×2=30，

∵302+162=342，

∴∠AOB=90°，

∵AO是北偏东60°方向，

∴BO是南偏东30°．故答案为：30．