专题 二次根式化简计算常用的5种方法-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（人教版）
展开专题：二次根式化简计算的5种方法
已知条件式或字母的值，将代数式化简求值的方法：
1、整体代入法：将已知条件，通过加减乘除运算，得到与所求代数式相关的表达数值，整体代入代数式求值。
2、因式分解法：观察已知条件的特殊性，将要求的代数式进行因式分解，根据已知条件计算对应值。
3、配方法：通过一系列变形、化简、凑元，将所求配成公式，利用公式进行求解。
4、利用非负数求字母的值：观察已知条件，根据二次根式的非负性（二次根式有意义的条件）求出字母的值，再代入所求代数式求值。
5、根据已知判断字母正负性：根据已知条件，判断出参数的正负性，将所求代数式分母有理化后求值。
题型一 整体代入法
【例1】已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∴
=
=
=．
【变式1-1】已知，．求的值．
【答案】
【解析】∵，
，
∴．
【变式1-2】已知，求的值．
【答案】
【解析】把两边平方得：＋2＝9，
即＝7，
两边再平方得：
则原式＝
【变式1-3】计算：已知，求的值．
【答案】 ．
【解析】方程中，当x=0时，方程左边为0-0+1=1≠0，故x≠0；
将方程两边同除以x，则有：
x-3+=0，即，
∴
∴
∴
【变式1-4】已知，则______．
【答案】2
【解析】∵，
∴，，
∴，
∴，
∴.
【例2】已知，求的值.
【答案】
【解析】
当时，
原式．
【变式2-1】已知，求的值．
【答案】
【解析】原式
∵，
∴原式
【变式2-2】已知：，求的值．
【答案】4
【解析】∵
∴=4
∴ .
【变式2-3】已知a=+2，b=-2．则的值为_________．
【答案】-8
【解析】∵a=+2，b=-2，
∴ab=（+2）（-2）=5-4=1，
（+2）+（-2）=2，
（-2）-（+2）=-4，
∴，
∴．
【变式2-4】已知，求的值.
【答案】2
【解析】当时，
∴
=
=2
题型二 因式分解法
【例3】已知，，则代数式x3﹣xy2的值为（ ）
A．24 B． C． D．
【答案】D
【解析】x3﹣xy2＝
＝，
，，
，，
． 故选：D．
【变式3-1】已知，求式子 的值．
【答案】
【解析】∵，，
∴
，
把代入得：
原式．
【变式3-2】已知，则＝___．
【答案】
【解析】∵
∴
∴.
【变式3-3】当时，代数式的值为_______．
【答案】
【解析】，
，
，
当时，原式．
【变式3-4】已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】∵，
又∵，即，
∴，
∴
将代入，可得
原式
题型三 配方法
【例4】当时，代数式的值是______．
【答案】2034
【解析】∵，
∴当时，
．
【变式4-1】已知，，求的值
【答案】
【解析】∵
；
将，代入，
∴
．
【变式4-2】已知，那么的值为__________.
【答案】
【解析】 ，得：
，
，
.
【变式4-3】若，则______．
【答案】1
【解析】
，即
，即
．
【变式4-4】已知x＋y＝﹣5，xy＝4，则________．
【答案】
【解析】当时，
=．
题型四 利用非负数求字母的值
【例5】已知，，为实数且，求代数式 的值．
【答案】5
【解析】，，．
∴，，，
原式．
【变式5-1】已知，则______．
【答案】
【解析】∵
∴，，
解得，，
所以，．
【变式5-2】已知，求的值．
【答案】2020
【解析】由已知得：b-2020≥0，2020-b≥0，
∴b=2020，
∴，
∴===2020．
【变式5-3】已知y，求的值．
【答案】2
【解析】根据题意得且，
∴x， y，
∴原式=2x+2y﹣（2x﹣2y）
=4
=4
=4
=2．
【变式5-4】已知：，化简并求 的值．
【答案】，
【解析】∵且，
∴，∴，
=
.
题型五 根据已知判断字母正负性
【例6】已知：，，则的值为（ ）
A．5 B．-5 C．25 D．5或-5
【答案】A
【解析】∵＞0，∴ a、b同号，
又∵＜0，∴．
；故选：A
【变式6-1】已知，，求的值．
【答案】
【解析】∵，，
∴x＜0，y＜0，
∴
【变式6-2】已知，且，则_______．
【答案】4
【解析】∵，且，
∴，，，
∴，
∴．
【变式6-3】已知x，y为实数，xy＝5，那么xy的值为（ ）
A． B．2 C．±2 D．5
【答案】C
【解析】 ，
，为实数，，
、同号，
当，时，
原式，
当，时，
原式，
由上可得，的值是，故选：C．
【变式6-4】已知，则代数式_________．
【答案】或
【解析】当x＞0，y＜0时，原式=，
当x＜0，y＞0时，原式=，
故答案为：或.
