数学5 数学归纳法精品ppt课件

这是一份数学5 数学归纳法精品ppt课件，文件包含§5第1课时数学归纳法课件pptx、§5第2课时数学归纳法的应用课件pptx、§5第1课时数学归纳法教案docx、§5第2课时数学归纳法的应用教案docx等4份课件配套教学资源，其中PPT共120页， 欢迎下载使用。
1.进一步熟练数学归纳法的原理与步骤.2.能用数学归纳法证明数学问题.
一、用数学归纳法证明不等式
二、用数学归纳法证明整除问题
三、用数学归纳法证明几何问题
证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边右边，∴不等式成立.(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，
∴当n＝k＋1时，不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋且n>1都成立.
反思感悟　用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，
∴当n＝k＋1时，不等式成立.根据(1)(2)可知，n∈N＋，n≥2时不等式成立.
例2　证明：当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
证明　(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.故f(k＋1)也能被64整除.综合(1)(2)，知当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
反思感悟　用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明.
证明　(1)当n＝1时，3×53＋24＝391＝17×23是17的倍数.(2)假设3×52k＋1＋23k＋1＝17m(m是整数)，则当n＝k＋1时，3×52(k＋1)＋1＋23(k＋1)＋1＝3×52k＋1＋2＋23k＋1＋3＝3×52k＋1×25＋23k＋1×8＝(3×52k＋1＋23k＋1)×8＋17×3×52k＋1＝8×17m＋3×17×52k＋1＝17(8m＋3×52k＋1)，∵m，k都是整数，∴17(8m＋3×52k＋1)能被17整除，即当n＝k＋1时，3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数.综合(1)(2)知，对任意正整数3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数.
跟踪训练2　用数学归纳法证明：3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数.
例3　求证平面上凸n边形(n∈N＋，n≥4)的对角线的条数为f(n)＝ (n－3).
证明　(1)当n＝4时，f(4)＝ ×4×(4－3)＝2，平面上四边形有2条对角线，命题成立.(2)假设n＝k(k≥4，k∈N＋)时命题成立，即平面上凸k边形A1A2…Ak共有f(k)＝ k(k－3)条对角线，则当n＝k＋1时，即平面上凸k＋1边形在k边形的基础上增加了1个顶点Ak＋1，如图所示，这时新增加的对角线是Ak＋1A2，Ak＋1A3，…，Ak＋1Ak－1以及A1Ak，共增加了(k＋1－3)＋1＝(k－1)条.
所以n＝k＋1时，命题也成立.由(1)(2)可知，对于任意n≥4，n∈N＋，命题成立.
反思感悟　(1)利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从n＝k到n＝k＋1时，新增加量是多少.一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法.即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设.(2)对于本题，当n＝k＋1时，对角线条数的增量k－1可用画图的方法去找，也可由f(n)＝ n(n－3)，得f(k＋1)－f(k)＝k－1分析出，再结合图形说明为什么从“n＝k”到“n＝k＋1”时，对角线条数的增量为k－1.
跟踪训练3　平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点.求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2个部分.
证明　(1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题成立.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，k个圆把平面分成k2－k＋2个部分.当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，即命题也成立.由(1)(2)可知，对任意n∈N＋命题都成立.
1.知识清单：(1)利用数学归纳法证明不等式.(2)利用数学归纳法证明整除问题.(3)利用数学归纳法证明几何问题.2.方法归纳：数学归纳法.3.常见误区：从n＝k到n＝k＋1时，注意两边项数的变化.
2.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为A.1 B.2 C.3 D.4
解析　根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3.
3.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，将式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为____________________.
解析　采取凑配法，凑出归纳假设k3＋5k，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
1.用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步验证中的起始值n0应取A.2 B.3 C.5 D.6
解析　当n取1,2,3,4时，2n>n2＋1均不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，故第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.
2.已知8>7,16>9,32>11，…，则有A.2n>2n＋1 B.2n＋1>2n＋1C.2n＋2>2n＋5 D.2n＋3>2n＋7
解析　由8>7,16>9,32>11可知第一项为8>7⇒21＋2>2×1＋5，第二项为16>9⇒22＋2>2×2＋5，第三项为32>11⇒23＋2>2×3＋5，以此类推第n项为2n＋2>2n＋5.
3.用数学归纳法证明“5n－2n(n∈N＋)能被3整除”的过程中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为A.5(5k－2k)＋3×2k B.(5k－2k)＋4×5k－2kC.3(5k－2k) D.2(5k－2k)－3×5k
解析　假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即5k－2k能被3整除，则当n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k ＝5×5k－5×2k＋5×2k－2×2k ＝5(5k－2k)＋3×2k.
4.(多选)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的是A.假设当n＝k(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立B.假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立C.假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝2k时命题也成立D.假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝2k＋1时命题也成立
解析　因为n为正奇数，所以步骤(2)应为假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，此时n＝k＋2也为正奇数；也可为假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，此时n＝2k＋1也为正奇数.故B，D正确.
5.(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立.则下列命题总成立的是A.若f(6)