习题课 函数零点问题 课件+学案（含答案）

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习题课　函数零点问题第二章　导数及其应用结合函数图象利用导数研究函数的零点问题.学习目标随堂演练课时对点练一、利用导数研究函数的零点个数二、由函数的零点个数求参数的范围内容索引一、利用导数研究函数的零点个数例1　给定函数f(x)＝ex－x.(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；解　函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增.当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞).解　由(1)可知，函数的最小值为1.函数的图象经过特殊点f(－1)＝ ＋1，f(2)＝e2－2，f(0)＝1，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞；当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x，根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示.(2)画出函数f(x)的大致图象；解　截取函数f(x)在区间[－1,2]上的图象如图所示.由图象知，当f(0)e2－2时，方程f(x)＝m在区间[－1,2]上无实根.(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]上的根的个数.反思感悟　判断零点的个数问题的思路(1)求出函数的定义域.(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点.(3)用f′(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值.(4)确定f(x)的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势.(5)画出f(x)的大致图象.跟踪训练1　已知函数f(x)＝ －1.(1)求f(x)的单调区间；解　因为f(x)＝ －1(x>0)，所以f′(x)＝ ，令f′(x)＝0，得x＝e1－a.f′(x)及f(x)随x的变化情况如表所示：所以f(x)的单调递增区间为(0，e1－a)，单调递减区间为(e1－a，＋∞).(2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数.①当a＝1时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，e]上单调递减，又f(1)＝0，故f(x)在区间(0，e]上只有一个零点.②当a<1时，1－a>0，e1－a>1，综上，当a＝1时，f(x)在区间(0，e]上只有一个零点；当a<1时，f(x)在区间(0，e]上无零点.二、由函数的零点个数求参数的范围例2　已知函数f(x)＝x3－kx＋k2.(1)讨论f(x)的单调性；解　f′(x)＝3x2－k.当k＝0时，f(x)＝x3，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当k<0时，f′(x)＝3x2－k>0，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围.解　由(1)知，当k≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，f(x)不可能有三个零点.反思感悟　利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围.跟踪训练2　若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)取得极值－ .(1)求函数f(x)的解析式；解　f′(x)＝3ax2－b，(2)若方程f(x)＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.解　由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－20，所以函数存在单调递减区间，即f′(x)<0有解，所以x2＋2x＋a＝0有两个不等实根，所以函数y＝f′(x)的零点个数为2.1.已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数y＝f′(x)的零点个数为A.0 B.1 C.2 D.不确定√12341234√1234解析　f′(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，由f′(x)>0，可得x>2或x<－1，由f′(x)<0，可得－10，函数f(x)单调递增；当x∈ 时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以0不是函数f(x)的极值点，所以B不正确；1234又f(0)＝0，所以函数f(x)在区间 上有且仅有一个零点，所以C正确；例如当x＝2kπ，k∈Z时，可得f(2kπ)＝－2kπ，当k→＋∞且k∈Z时，f(x)→－∞，当x＝2kπ＋π，k∈Z时，可得f(2kπ＋π)＝2kπ＋π，当k→＋∞且k∈Z时，f(x)→＋∞，由此可得函数f(x)的值域为R，所以D是正确的.12344.直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________.(－2,2)解析　令y＝f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.因为当x∈(－∞，－1)或(1，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)极小值＝f(1)＝－2，f(x)极大值＝f(－1)＝2.函数f(x)＝x3－3x的大致图象如图所示，所以－20，得x>2或x<－2；令f′(x)<0，得－20，所以函数的零点个数为2.162.已知函数f(x)＝ex－x－a，若函数y＝f(x)有零点，则实数a的取值范围是A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－∞，1]123456789101112131415√16解析　函数y＝f(x)有零点等价于方程ex－x＝a有解，令g(x)＝ex－x，g′(x)＝ex－1，当x>0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x<0时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，又g(0)＝1，所以a≥1.3.若函数f(x)＝x3－6x2＋9x－10－a有三个零点，则实数a的取值范围是A.(－∞，－10) B.(－6，＋∞)C.(－10，－6) D.(－∞，－10)∪(－6，＋∞)12345678910111213141516√解析　令f(x)＝0，得x3－6x2＋9x－10＝a，令g(x)＝x3－6x2＋9x－10，则g′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3).由g′(x)＝0，得x＝1或x＝3.当x<1或x>3时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当10时，－12，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)，函数的单调递增区间为(－1,2)，所以f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确；解析　A项，由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，12345678910111213141516C项，当x趋向于＋∞时，f(x)趋向于0，根据B项可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，再根据单调性可知，当－e5}12345678910111213141516解析　f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝3.当f′(x)>0时，－13，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值为f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)取得极大值为f(3)＝a＋27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)，12345678910111213141516所以a＋27<0或a－5>0，解得a<－27或a>5，故实数a的取值范围为{a|a<－27或a>5}.1234567891011121314151612345678910111213141516∴f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，由f′(x)>0，得x>2或x<1，此时函数单调递增；由f′(x)<0，得10，解得x>ln 2，令f′(x)<0，解得xe时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当00，g(x)单调递增，12345678910111213141516显然当x>1时，g(x)>0；当00)无零点，则实数a的取值范围为√12345678910111213141516解析　因为函数f(x)＝ex－ax2(x>0)无零点，所以方程ex－ax2＝0在x∈(0，＋∞)上无解，当x>2时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当0ln 2时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以当x＝ln 2时，g(x)取得极小值，也是最小值，为f′(x)的最小值，f′(x)min＝f′(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)>0，即f′(x)>0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以f(x)＝ex－x2在(－∞，＋∞)上单调递增，12345678910111213141516所以函数f(x)＝ex－x2存在唯一的零点，即方程x2＝ex只有1个实根.1234567891011121314151614.已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3(a为实数)，若方程g(x)＝2f(x)在区间 上有两个不等实根，则实数a的取值范围为____________.12345678910111213141516解析　由g(x)＝2f(x)，12345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.已知方程|ln x|＝ax有三个实数解，则实数a的取值范围为________.12345678910111213141516解析　因为方程|ln x|＝ax有三个实数解，所以函数y＝|ln x|与y＝ax的图象有三个交点，作出y＝|ln x|的图象如图，当a≤0时，函数y＝|ln x|与y＝ax的图象至多有1个交点，不符合题意；当a>0时，设y＝ln x 与y＝ax相切于点P(x0，y0)，则y0＝ln x0＝ax0，12345678910111213141516(1)当b＝0时，求f(x)在[－1,3]上的值域；12345678910111213141516∴f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：1234567891011121314151612345678910111213141516(2)若方程f(x)＝1有三个不同的解，求b的取值范围.12345678910111213141516解　∵方程f(x)＝1有三个不同的解，12345678910111213141516本 课 结 束