习题课 求数列通项公式 课件+学案（含答案）

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习题课　求数列通项公式第一章　数　列1.了解求数列通项公式的常见方法.2.掌握利用递推公式求通项公式的方法.3.掌握利用前n项和Sn与an的关系求通项公式的方法.学习目标斐波那契，意大利著名数学家.保存至今的斐波那契著作有5部，其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》.《算盘全书》中有一个著名的兔子繁殖问题：如果一对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄)，而每一对子兔在出生后第三个月里又能生一对兔子.试问一对兔子50个月后会有多少对兔子？从第1个月开始，以后每个月的兔子总对数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，这就是著名的斐波那契数列.这个数列的规律是递推关系：Fn＝Fn－1＋Fn－2(n>2)，其中Fn表示第n个月的兔子的总对数，那么什么是递推关系呢？导语随堂演练课时对点练一、利用递推公式求通项公式二、利用前n项和Sn与an的关系求通项公式内容索引一、利用递推公式求通项公式问题　如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an＋1之间的关系吗？提示　其实把n＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号位，需要an步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n个金属片移到3号位，需要an步，故an＋1＝2an＋1.如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用 来表示，那么这个式子叫作这个数列的递推公式.一个式子注意点：(1)通项公式反映的是an与n之间的关系.(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项.例1　(1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式；角度1　累加、累乘法解　∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，当n＝1时，也满足上式，代入上式得(n－1)个等式累乘，反思感悟　累加、累乘法的应用原型(1)累加法：形如an＋1－an＝f(n)型.跟踪训练1　(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋ ，则通项公式an＝______.(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an.解　因为ln an－ln an－1＝1，又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N＋.例2　已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式.角度2　构造法解　设an＋1＋x×5n＋1＝2(an＋x×5n)， ①将an＋1＝2an＋3×5n代入①式，得2an＋3×5n＋x×5n＋1＝2an＋2x×5n，等式两边消去2an，得3×5n＋x×5n＋1＝2x×5n，两边除以5n，得3＋5x＝2x，则x＝－1，代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n). ②由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，则数列{an－5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则an－5n＝2n－1，故an＝2n－1＋5n(n∈N＋).反思感悟　构造法的常见类型(1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列.(2)当出现an＝xan－1＋y或an＋1＝pan＋qn时，构造等比数列.跟踪训练2　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋3，则数列{an}的通项公式为___________.5·2n－1－3解析　由an＋1＝2an＋3，得an＋1＋3＝2(an＋3)，则数列{an＋3}是以a1＋3＝5为首项，2为公比的等比数列，∴an＋3＝5·2n－1，∴an＝5·2n－1－3.二、利用前n项和Sn与an的关系求通项公式例3　数列{an}的前n项和为Sn，已知an＝5Sn－3(n∈N＋)，求an的通项公式.当n≥2时，由an＝5Sn－3，得an－1＝5Sn－1－3，两式作差得an－an－1＝5(Sn－Sn－1)＝5an，反思感悟　若已知条件中给出的是Sn与an的关系式，一般要利用 先求出a1，若计算出的an中a1适合时可合并为一个关系式，若不适合则要分段，若能判断数列是等差数列或等比数列，则直接用相应公式求解.跟踪训练3　已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式.解　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，∴an＋1＝2an.又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0，∴{an}是首项为－1，公比为2的等比数列.∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.1.知识清单：(1)利用递推公式求通项公式.(2)利用Sn与an的关系求通项公式.2.方法归纳：观察归纳法、累加、累乘法、构造法、分类讨论思想.3.常见误区：利用递推公式或Sn与an的关系求通项公式时，要注意n的取值范围，忽略n＝1的情况.课堂小结随堂演练解析　a2＝S2－S1＝22－2×2－(12－2×1)＝1，a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.∴a2＋a18＝34.1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于A.36 B.35 C.34 D.33√12342.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是A.15 B.30 C.31 D.641234√12344.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，则an＝________.1234课时对点练基础巩固1234567891011121314151.在数列{an}中，a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项满足关系式anbn＝(－1)n(n∈N＋)，则bn等于16√解析　易知{an}是首项为3，公比为2的等比数列，解析　结合图形易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，∴an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2.2.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是A.an＋1＝an＋n，n∈N＋B.an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2√12345678910111213141516当n＝1时，a1＝2也符合上式.故数列的通项公式an＝3－n(n∈N＋).3.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项公式an等于A.n2＋1 B.n＋1 C.1－n D.3－n√解析　∵an＋1－an＝－1，∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)12345678910111213141516123456789101112131415164.(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是A.a1＝3 B.an＝2n(n≥2)C.an＝2n D.an＝2n(n≥2)√解析　Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.√1234567891011121314155.已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 021等于A.－22 021－1 B.32 021－6√16123456789101112131415解析　由题意可得，3Sn＝2an－3n，3Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，两式作差可得3an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝－2an－3，an＋1＋1＝－2(an＋1)，结合3S1＝2a1－3＝3a1可得a1＝－3，a1＋1＝－2，则数列{an＋1}是首项为－2，公比为－2的等比数列，据此有a2 021＋1＝(－2)×(－2)2 020＝－22 021，∴a2 021＝－22 021－1.166.若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝______________.解析　当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式.12345678910111213141516123456789101112131415167.设在数列{an}中，a1＝1，an＋1＋an＝2n，则an＝__________________________.12345678910111213141516解析　∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2.即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n－ln(n－1)]＝2＋ln n，当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2成立.所以an＝2＋ln n(n∈N＋).8.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝ an＋ (n∈N＋)，则an＝________________.2＋ln n(n∈N＋)12345678910111213141516123456789101112131415169.已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝(1)求a2，a3；得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.12345678910111213141516(2)求{an}的通项公式.12345678910111213141516解　由题设知a1＝1.将以上n个等式两端分别相乘，123456789101112131415161234567891011121314151610.已知Sn＝4－an－ ，求an与Sn.12345678910111213141516∴{2nan}是等差数列，d＝2，首项为2a1.12345678910111213141516∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.123456789101112131415综合运用16A.22n－1 B.2n C.22n＋1 D.22n－3√12345678910111213141516得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.又{an}是正项数列，由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，得an＝2×4n－1＝22n－1.∴an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，n∈N＋，n≥2，a1＝2也适合上式.∴an＝4n－2，n∈N＋.A.an＝4n－2，n∈N＋ B.an＝4n＋2，n∈N＋C.an＝4n，n∈N＋ D.an＝4n2，n∈N＋√123456789101112131415161234567891011121314151613.已知数列{an}的首项a1＝a，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn－1＝4n2(n≥2，n∈N＋)，若对任意n∈N＋，an0且an≠1，拓广探究12345678910111213141516√12345678910111213141516又∵n∈N＋，∴n＝3,4,5,6，则Sn－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋an的最小值为a3＋a4＋a5＋a6＝－3－6－5－0＝－14.16.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1－3an(n∈N＋).(1)求a3，a4的值；12345678910111213141516解　a3＝4a2－3a1＝13，a4＝4a3－3a2＝40.12345678910111213141516(2)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；证明　∵an＋2＝4an＋1－3an，∴an＋2－an＋1＝3(an＋1－an).又a1＝1，a2＝4，∴an＋1－an≠0，则{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，3为公比的等比数列.(3)求数列{an}的通项公式.12345678910111213141516解　由(2)得an＋1－an＝3n，则当n≥2时，an－an－1＝3n－1，故an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1本 课 结 束