习题课 等差数列与等比数列 课件+学案（含答案）

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习题课　等差数列与等比数列第一章　数　列1.熟练掌握等差数列、等比数列的概念及相关公式.2.会求含绝对值的等差数列的前n项和.3.掌握等差数列、等比数列的综合问题.学习目标随堂演练课时对点练一、含绝对值的等差数列的前n项和二、等差数列、等比数列的综合问题三、数列中函数与方程思想的应用内容索引一、含绝对值的等差数列的前n项和例1　数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N＋).(1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.∵a1＝S1＝100×1－12＝99，满足上式，∴an＝101－2n(n∈N＋).又an＋1－an＝－2为常数，∴数列{an}是首项为99，公差为－2的等差数列.(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.解　令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，∵n∈N＋，∴n≤50(n∈N＋).①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an，∴数列{bn}的前n项和Tn＝100n－n2.②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an，由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，得数列{bn}的前n项和Tn＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2 500－(100n－n2)＝5 000－100n＋n2.延伸探究　本例中若an＝2n－101，求数列{bn}的前n项和Tn.解　由本例可知，当1≤n≤50时，an<0，此时bn＝－an，数列{bn}的前n项和Tn＝－n2＋100n，当n≥51时，an>0，b51＋b52＋…＋bn＝a51＋a52＋…＋an.数列{bn}的前n项和Tn＝－S50＋Sn－S50＝n2－100n＋5 000，反思感悟　已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”.跟踪训练1　在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.(1)数列{an}前多少项和最大？∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.当n≥18时，an<0，∴数列{an}的前17项和最大.(2)求{|an|}的前n项和Sn.解　当n≤17，n∈N＋时，当n≥18，n∈N＋时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)二、等差数列、等比数列的综合问题例2　已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{an}的通项公式；解　设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn，由T5＝105，a10＝2a5，因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N＋).(2)对任意m∈N＋，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.解　对m∈N＋，若an＝7n≤72m，则n≤72m－1.因此bm＝72m－1.所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列，反思感悟　解决等差数列和等比数列的综合问题，一般不能直接套用公式，要先对已知条件转化变形，使之符合等差数列或等比数列的形式，然后利用公式求解.同时，要注意在题设条件下，寻求等差数列和等比数列之间的内在联系，寻求它们之间的相互转化，寻求它们的相互作用.跟踪训练2　在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an；解　设{an}的首项为a1，公比为q，因此，an＝3n－1.(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.解　因为bn＝log3an＝n－1，三、数列中函数与方程思想的应用例3　已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….(1)求证数列{lg (1＋an)}是等比数列；∴an＋1＋1＝(an＋1)2.∵a1＝2，∴an＋1>1，两边取对数得lg (1＋an＋1)＝2lg (1＋an)，∴数列{lg (1＋an)}是公比为2的等比数列.(2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及数列{an}的通项公式；由(*)式得an＝32n－1－1.∴an＋1＝an(an＋2)，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn反思感悟　由于数列是特殊函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一条件.跟踪训练3　等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对于任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.(1)求数列{an}的通项公式；解　因为对于任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上，所以Sn＝bn＋r，当n＝1时，a1＝S1＝b＋r，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1，又因为{an}为等比数列，所以r＝－1，公比为b，所以an＝(b－1)bn－1.1.知识清单：(1)求含绝对值的等差数列的前n项和.(2)等差数列、等比数列的综合问题.(3)数列中函数与方程思想的应用.2.方法归纳：函数与方程思想、分类讨论.3.常见误区：等差数列、等比数列的公式记混致误.课堂小结随堂演练解析　由4a1,2a2，a3成等差数列得，4a1＋a3＝4a2，即12＋3q2＝4×3q，解得q＝2，∴a3＋a4＋a5＝a1q2＋a1q3＋a1q4＝3×(22＋23＋24)＝84.1.已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于A.33 B.84 C.72 D.189√12342.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于√解析　由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，123412343.数列{(－1)n＋2}的前n项和为Sn，则S2 021＝_____.解析　由题意知，数列{(－1)n＋2}的首项为－1，公比为－1，∴S2 021＝－1.－112344.已知等差数列{an}的公差为3，若a2，a4，a8成等比数列，则a4＝_____.12解析　∵数列{an}是公差为3的等差数列，∴a2＝a4－6，a8＝a4＋12.∵a2，a4，a8成等比数列，课时对点练基础巩固12345678910111213141516√2.(多选)3个实数成等差数列，如果适当安排这3个数，又可以成等比数列，且这三个数的和为6，则这3个数为A.2,2,2 B.－4,2,8 C.1,2,3 D.－2,4，－8123456789101112131415√16√解析　如果这三个数相等，显然2,2,2，符合题意；如果不相等，可设这3个数分别为a－d，a，a＋d.∵a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，即3个数分别为2－d,2,2＋d.①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解得d＝6，此时3个数为－4,2,8.②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解得d＝－6，此时3个数为8,2，－4.③若2为等比中项，则有22＝(2＋d)(2－d)，解得d＝0(舍去).12345678910111213141516√3.设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于解析　因为{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，代入可得(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，12345678910111213141516123456789101112131415164.(多选)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和.则数列{an}的A.首项为4，公差为0 B.首项为1，公差为3C.通项公式an＝2n－1 D.前n项和Sn＝4n√√√12345678910111213141516解析　设该数列的公差为d，前n项和为Sn.由已知可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)，所以a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，解得a1＝4，d＝0或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3，所以通项公式an＝4或an＝3n－2.√12345678910111213141516123456789101112131415166.已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，则下列结论正确的是A.x100＝－a，x1＋x2＋…＋x100＝2b－aB.x100＝－b，x1＋x2＋…＋x100＝2b－aC.x100＝－b，x1＋x2＋…＋x100＝b－aD.x100＝－a，x1＋x2＋…＋x100＝b－a√12345678910111213141516解析　x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，∴{xn}是周期数列，周期为6，∴x100＝x4＝－a，∵x1＋x2＋…＋x6＝0，∴x1＋x2＋…＋x100＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a.7.已知公差不为零的正项等差数列{an}中，Sn为其前n项和，lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，若a5＝10，则S5＝_____.30解析　设{an}的公差为d，则d≠0.由lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，d2＝a1d.又d≠0，故d＝a1，a5＝5a1＝10，d＝a1＝2，12345678910111213141516123456789101112131415168.已知数列{an}的通项为an＝－2n－1，则数列{|an|}的前n项和为________.n2＋2n解析　由题意可知数列{an}的各项均为负值，设数列{|an|}的前n项和为Sn，123456789101112131415169.等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2－25n.求数列{|an|}的前n项和Tn.解　当n＝1时，a1＝S1＝4－25＝－21；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(4n2－25n)－[4(n－1)2－25(n－1)]＝8n－29.当n＝1时，a1＝－21＝8×1－29也符合8n－29的形式，所以数列{an}的通项公式为an＝8n－29.令an＝8n－29≥0，又n∈N＋，解得n≥4.当n≤3时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－Sn＝25n－4n2；当n≥4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＋|a7|＋…＋|an|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋an＝－S3＋Sn－S3＝4n2－25n＋78，123456789101112131415161234567891011121314151610.数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1).(1)求{an}的通项公式；解　由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减，得an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2).又∵a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＝3n－1.解　设{bn}的公差为d，由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2.解得d1＝2，d2＝－10.∵等差数列{bn}的各项为正，∴d>0，∴d＝2，(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.12345678910111213141516故可设b1＝5－d，b3＝5＋d.123456789101112131415综合运用1611.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n等于A.12 B.14 C.16 D.18√解析　因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，12.已知函数f(x)＝ (x≥1)，若数列{an}的通项公式an＝f(n)(n∈N＋).则数列{an}是A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列√12345678910111213141516∴an＋1x2≥1，12345678910111213141516∵x1>x2≥1，∴x1＋1>0，x2＋1>0，x2－x1<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)－(2n＋1)，n∈N＋，∴λ>－3.∴λ的取值范围是(－3，＋∞).(2)若{an}的第7项是最小项，求λ的取值范围.12345678910111213141516解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13].本 课 结 束