高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.1 平均变化率完美版课件ppt

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1.了解变化率在实际生活中的需求，探究和体会平均变化率的实 际意义.2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈.当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？
问题1　下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：
提示　每10分钟病人的体温变化不相同，从20分钟到30分钟变化最快，用体温的平均变化率刻画体温变化的快慢.
观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？
f(x2)－f(x1)
注意点：(1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零.(2)函数平均变化率的物理意义，如果物体的运动规律是s＝s(t)，那么函数s(t)在t到t＋Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度，即
解　因为f(x)＝2x2＋3x－5，所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－( ＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.所以当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21，
例1　已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.当x1＝4，且Δx＝1时，求函数增量Δy和平均变化率
反思感悟　求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1).
问题2　物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度.当Δt趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度.
注意点：(1)平均变化率与瞬时变化率的关系①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；②联系：当Δx趋于0时，平均变化率 趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.(2)“Δx趋于0”的含义Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
延伸探究1.若本例中的条件不变，试求物体的初速度.
解　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
即物体的初速度为1 m/s.
2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
反思感悟　求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
跟踪训练2　求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率.
解　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－(3＋1)＝7Δx＋3(Δx)2.
∴函数y＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率为7.
1.知识清单：(1)平均变化率.(2)瞬时变化率.2.方法归纳：极限法.3.常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率理解不到位.
1.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足A.Δx>0 B.Δx<0C.Δx≠0 D.Δx可为任意实数
2.一质点按运动方程s(t)＝ 作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为A.－1 B.－ C.－2 D.2
3.函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为___.
4.一质点运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t＝1 s时的瞬时速度估计是____ m/s.
解析　Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，
1.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是A.1 B.－1 C.2 D.－2
2.在x＝1附近，取Δx＝0.3，下列四个函数中，平均变化率最大的是A.y＝x B.y＝x2 C.y＝x3 D.y＝
解析　根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99，
4.一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为A.2 B.1 C.－1 D.6
所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1.
5.函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为A.k1＞k2 B.k1＜k2C.k1＝k2 D.不确定
由题意知Δx>0，∴k1>k2.
6.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56C.该物体位移的最大值为43D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70
物体在t＝4时的瞬时速度是56，故B正确；物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误；物体在t＝5时的瞬时速度是70，故D正确.
7.一水库的蓄水量与时间关系的图象如图所示，则蓄水效果最好的时间段(以两个月计)为___________；蓄水效果最差的时间段(以两个月计)为___________.
解析　由图象可以看出，6月至8月水库的蓄水量增长最快，蓄水效果最好；8月至10月水库的蓄水量减少最快，蓄水效果最差.
8.在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s单位：m，t单位：s)，则t＝20 s时的瞬时速度为________.
当Δt趋于0时，v趋于10＋10t，则在t＝20 s时的瞬时速度为10×20＋10＝210(m/s).
9.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系式为T(t)＝ ＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min).(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？
所以蜥蜴的体温下降了16 ℃.
解　平均变化率是－1.6 ℃/min，它表示从t＝0 min到t＝10 min这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 ℃.
(2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
10.某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度.
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
所以4 s时物体运动的瞬时速度为26 m/s.
11.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是 A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
解析　在0到t0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同，在t0到t1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，所以甲的平均速度较大.
13.若一物体运动方程如下：s＝ 则此物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度分别为_____，_____.
6　 0
解析　∵0≤t<3时，s＝3t2＋1，
∵t≥3时，s＝2＋3(t－3)2，
14.将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为 ，则m的值为_____.
所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍).
15.如图所示为一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝ 分钟时的瞬时变化率为_____分米/分钟.(注：π≈3.1)
解析　由题意知，圆锥轴截面为等边三角形，设经过t分钟后水面高度为h，
16.已知气球的表面积S(单位：cm2)与半径r(单位：cm)之间的函数关系是S(r)＝4πr2.求：(1)气球表面积S由10 cm2膨胀到20 cm2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；
解　由S(r)＝4πr2，r>0，
当S由10 cm2膨胀到20 cm2时，气球表面积的增量ΔS＝20－10＝10(cm2)，
(2)气球表面积S由30 cm2膨胀到40 cm2时的平均膨胀率.
解　当S由30 cm2膨胀到40 cm2时，气球半径的增量