高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3 导数的计算精品ppt课件

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1.理解导函数的定义.2.掌握常见的函数的导数公式.3.能利用给出的导数公式求简单函数的导数.
同学们，前面我们学习了求简单函数的导函数，回想我们一共学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数，而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本初等函数，而是幂函数的线性组合，那么对于这四类基本初等函数的导函数是否存在呢，今天让我们一探究竟.
一、定义法求函数的导数
二、利用导数公式求函数的导数
当Δx趋于0时，得到导数
提示　对于定义域中的每一个自变量的取值x0，
(2)当x0在定义域内任意取值时，f′(x0)的值如何？
一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)＝ ，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′.
注意点：导数与导函数之间既有区别又有联系，导数是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x(或x0)的位置有关，而与Δx无关；导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，也与Δx无关.
例1　利用导函数的定义求函数f(x)＝(2x＋1)·(3x－1)的导数，并求x＝0和x＝2处的导数值.
解　∵f(x)＝(2x＋1)(3x－1)＝6x2＋x－1，
∴f′(0)＝1，f′(2)＝12×2＋1＝25.
反思感悟　利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
跟踪训练1　求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数和它的导函数.
∴f′(3)＝2×3＋5＝11.
问题2　下面是某同学利用导数的定义求出的几个幂函数的导数：f(x)＝x⇒f′(x)＝1＝1×x1－1；f(x)＝x2⇒f′(x)＝2x＝2x2－1；f(x)＝x3⇒f′(x)＝3x2＝3x3－1；f(x)＝ ＝x－1⇒f′(x)＝－x－2＝－x－1－1；f(x)＝ ＝ ⇒f′(x)＝ ＝你认为幂函数的导数有什么特点？能总结一下规律吗？
提示　通过观察，我们发现这几个幂函数的导数有规律，即(xα)′＝αxα－1.
注意点：对于根式f(x)＝ ，要先转化为f(x)＝ ，所以f′(x)＝ .
例2　求下列函数的导数：(1)y＝x0(x≠0)；
反思感悟　(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导.(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.(3)要特别注意“ 与ln x”，“ax与lgax”，“sin x与cs x”的导数区别.
解　因为y＝4x，所以y′＝4xln 4.
例3　已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程.
延伸探究　求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线方程.
解　∵O(0,0)不在曲线y＝ln x上.
反思感悟　利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；(2)若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
跟踪训练3　求过曲线y＝cs x上点 且与过这点的切线垂直的直线方程.
解　∵y＝cs x，∴y′＝－sin x，
1.知识清单：(1)导函数的概念.(2)函数的导数公式及其应用.2.方法归纳：公式法、待定系数法.3.常见误区：公式记混用错.
解析　常数函数的导数为0.
3.一质点的运动方程为s＝cs t，则t＝1时质点的瞬时速度为A.2cs 1 B.－sin 1 C.sin 1 D.2sin 1
解析　s′＝－sin t，当t＝1时，s′＝－sin 1，所以当t＝1时质点的瞬时速度为－sin 1.
4.曲线y＝ln x与x轴交点处的切线方程是__________.
解析　∵曲线y＝ln x与x轴的交点为(1,0)，∴切线的斜率为1，故所求切线方程为y＝x－1.
1.(多选)下列结论正确的是A.(sin x)′＝cs x B. ＝
2.某质点的运动方程为s＝ (其中s的单位为米，t的单位为秒)，则质点在t＝3秒时的速度为A.－4×3－4米/秒 B.－3×3－4米/秒C.－5×3－5米/秒 D.－4×3－5米/秒
则质点在t＝3秒时的速度为－4×3－5米/秒.
3.已知函数f(x)＝xα(α是实数)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于A.4 B.－4 C.5 D.－5
解析　∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴α＝4.
4.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
解析　因为y′＝ex，所以切线的斜率k＝e2，所以切线方程为y＝e2x－e2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e2)，(1,0)，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
5.(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为A.(－1,1) B.(－1，－1)C.(1,1) D.(1，－1)
解析　y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1).
6.以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点得切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是
解析　∵y＝sin x，∴y′＝cs x.∵cs x∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1].
7.函数y＝f(x)＝ ，则f′(2)与f′(3)的大小关系是_____________.
f′(2)＜f′(3)
所以f′(2)＜f′(3).
8.若指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)满足f′(1)＝ln 27，则f′(－1)＝____.
解析　f′(x)＝axln a，f′(1)＝aln a＝3ln 3，
9.已知f(x)＝cs x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值.
解　因为f(x)＝cs x，g(x)＝x，所以f′(x)＝(cs x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1.由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]，
10.求下列函数的导数.
(3)y＝lg2x2－lg2x；
解　因为y＝lg2x2－lg2x＝lg2x，
11.已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于A.2 B.0 C.1 D.－1
解析　由题可知，函数y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)，直线x＋y－3＝0的斜率为－1，故－f′(1)＝－1得f′(1)＝1，故选C.
12.设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为
13.已知在曲线y＝ 上存在一点P，曲线在点P处的切线的倾斜角为135°，则点P的横坐标为_____.
解析　设P(x0，y0).∵y′＝(x－2)′＝－2x－3，tan 135°＝－1，
14.设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 021(x)＝______.
解析　由已知得，f1(x)＝cs x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cs x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cs x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 021(x)＝f1(x)＝cs x.
15.若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是A.y＝sin x B.y＝ln xC.y＝ex D.y＝x3
解析　设函数y＝f(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f′(x1)，k2＝f′(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A选项，f′(x)＝cs x，显然k1·k2＝cs x1·cs x2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；
故该函数不具有T性质；
对于C选项，f′(x)＝ex＞0，显然k1·k2＝ ＝－1无解，故该函数不具有T性质；
故该函数不具有T性质.
16.求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线的斜率.
解　(1)当公切线切点相同时，对C1，C2分别求导得y1′＝2x，y2′＝3x2.
①当x＝0时，2x＝3x2＝0；
(2)当公切线切点不同时，在曲线C1，C2上分别任取一点A(x1，y1)，B(x2，y2)，