北师大版 (2019)选择性必修 第二册4.2 导数的乘法与除法法则获奖课件ppt

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1.理解并掌握导数的乘法法则与除法法则.2.能利用导数公式和乘法法则与除法法则求函数的导数.
我们前面学习了导数的加法与减法法则，如果给出两个函数并已知它们的导数，如何求它们的积、商的导数呢？与加法、减法法则类似吗？
一、导数的乘法与除法法则及其简单应用
二、求较复杂函数的导数
问题　已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x2.(1)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)成立吗？
提示　不成立.因为[f(x)·g(x)]′＝(x5)′＝5x4，而f′(x)·g′(x)＝3x2·2x＝6x3.
(2)能否用f(x)和g(x)的导数表示f(x)·g(x)的导数？如何表示？
提示　能.因为f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x，[f(x)g(x)]′＝5x4，所以[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x).
(3)对于其他函数还满足上述关系吗？
导数的乘法与除法法则(1)若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝ .
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(2)[kf(x)]′＝ ，k∈R.
注意点：(1)注意f(x)g(x)的导数是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之和； 的导数的分子是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之差，分母是g(x)的平方.
例1　求下列函数的导数：(1)y＝x·sin x；
解　y′＝sin x＋xcs x.
(2)y＝(x－1)(x－2)；
解　y′＝1×(x－2)＋(x－1)×1＝2x－3.
反思感悟　简单导数运算的关注点前提：基本初等函数的导数公式.关键：理解并掌握求导法则.
解　y′＝4(x－2)＋4x＝8x－8.
跟踪训练1　求下列函数的导数：(1)y＝4x(x－2)；
解　y′＝ex＋xex＝ex(1＋x).
例2　求下列函数的导数：
反思感悟　利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式.(2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
跟踪训练2　求下列函数的导数：(1)y＝(x2＋1)(x－1)；
解　∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝3x2－2x＋1.
A.x＋y－1＝0 B.2x＋y－1＝0C.2x－y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
∴f′(0)＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－0)，即x＋y－1＝0.
延伸探究　曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是
解析　设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行.∵y′＝ln x＋1，∴切线斜率k＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切点坐标为(1,0).
反思感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.(3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同.
(2)曲线y＝ (x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为____.
∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.
1.知识清单：(1)导数的乘法与除法法则.(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则.
解析　y′＝－2(exsin x＋excs x)＝－2ex(sin x＋cs x).
1.设函数y＝－2exsin x，则y′等于A.－2excs x B.－2exsin xC.2exsin x D.－2ex(sin x＋cs x)
4.已知函数f(x)＝ex·sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是______.
解析　∵f(x)＝ex·sin x，f′(x)＝ex(sin x＋cs x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
1.(多选)下列运算中正确的是A.(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′B.(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′ D.(cs x·sin x)′＝(cs x)′sin x＋cs x(sin x)′
解析　A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
D项中，(cs x·sin x)′＝(cs x)′sin x＋cs x(sin x)′，故正确.
2.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于
解析　∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1(x>0)，由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.
3.设曲线y＝ 在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于
解析　f′(x)＝sin x＋xcs x，
由导数的几何意义可知，切线的斜率k＝－1，
5.日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝ (80解析　净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，
所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t.
6.当函数y＝ (a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于A.a B.±aC.－a D.a2
8.已知函数f(x)＝ ，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a，b的值分别为_______.
9.求下列函数的导数：(1)y＝x2＋xln x；
解　y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′
(3)y＝(2x2－1)(3x＋1).
解　方法一　y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.方法二　∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
10.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；
解　因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.
解　由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsin x＋excs x＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cs 0＋2×0－8＝－7，又g(0)＝3，所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.
A.1 B.－1 C.7 D.－7
12.在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于A.212 B.29 C.28 D.26
解析　因为f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
13.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，直线y＝kx＋2与函数f(x)的图象相切，如图所示，则函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线方程为______.
解析　因为直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，由图象可知f(3)＝1，又点(3,1)在直线l上，所以3k＋2＝1，
因为g(x)＝xf(x)，所以g(3)＝3f(3)＝3，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
即函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线斜率为零，所以函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线方程为y＝3.
14.设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝ ，则h′(5)＝____.
解析　由题意知f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，
15.已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________.
解得x0＝1，y0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
解析　∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点坐标为(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋ln x，
16.已知函数f(x)＝ ，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切.(1)求函数f(x)的解析式；
因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.