北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.2 函数的极值优质课件ppt

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1.理解函数的极大值和极小值的概念.2.掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值.
苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山的高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？
问题　已知y＝f(x)，y＝g(x)的图象.
提示　f(x0)在(a，b)内最大.
(1)观察y＝f(x)的图象，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点？
(2)函数值f(x0)在定义域内还是最大吗？
(3)对于f(x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？
提示　f(x)在(a，x0)上是增加的，导数大于零，在(x0，b)上是减少的，导数小于零.
提示　与y＝f(x)在(a，b)上的结论相反.
(4)函数y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？
1.函数极值的概念(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在____________ 处的函数值都 点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值.(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在____________ 处的函数值都 点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值.
(3)极值：极大值与极小值统称为 ，极大值点与极小值点统称为 .2.函数的单调性与极值(1)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内 ，在区间(x0，b)内 ，则x0是极大值点，f(x0)是极大值.(2)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内 ，在区间(x0，b)内 ，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.
注意点：(1)极值点不是点.(2)极值是函数的局部性质.(3)函数的极值不唯一.(4)极大值与极小值两者的大小不确定.(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点.
例1　函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增；
③函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增；
⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值.则上述判断中正确的序号是______.
解析　对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；
当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以②错误；对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以③正确；对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确.
反思感悟　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值.
跟踪训练1　已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为A.1 B.2 C.3 D.4
解析　由图象，设f′(x)与x轴负半轴的三个交点的横坐标分别为e，c，d，其中e例2　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，f′(－1)＝f′(1)＝0，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；
解　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点？
当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减.∴x＝1是函数的极小值点，x＝－1是函数的极大值点.
反思感悟　一般地，求函数y＝f(x)的极值点的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么x＝x0是极大值点.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么x＝x0是极小值点.
跟踪训练2　求函数f(x)＝3x3－x＋1的极值点.
解　f′(x)＝9x2－1，
例3　求下列函数的极值：(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；
解　f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
∴当x＝0时，f(x)有极小值且f(x)极小值＝0.
令f′(x)＝0，解得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
反思感悟　求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
跟踪训练3　求下列函数的极值：(1)f(x)＝sin x－cs x＋x＋1(0解　由f(x)＝sin x－cs x＋x＋1,0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
当x＝π时，f(x)有极大值π＋2.
解　f′(x)＝2xe－x－x2e－x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
(2)f(x)＝x2e－x.
1.知识清单：(1)函数极值的定义.(2)函数极值的判定及求法.2.方法归纳：数形结合思想、方程思想.3.常见误区：(1)忽视求定义域.(2)导数值为零不是此点为极值点的充要条件.
解析　函数的定义域为(0，＋∞)，∵y′＝1＋ >0，∴函数y＝x＋ln x无极值.
1.函数y＝x＋ln x的极值情况是A.有极小值B.有极大值C.既有极大值又有极小值D.无极值
2.已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于A.－4 B.－2 C.4 D.2
解析　∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.
3.设函数f(x)＝xex，则A.x＝1为f(x)的极大值点B.x＝1为f(x)的极小值点C.x＝－1为f(x)的极大值点D.x＝－1为f(x)的极小值点
解析　求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点.
4.若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则A.x＝1是极小值点B.x＝0是极小值点C.x＝2是极小值点D.函数f(x)在(1,2)上单调递增
解析　由图象得f(x)在(－∞，0)上是增加的，在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，∴x＝2是极小值点，故选C.
1.(多选)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是A.y＝x3 B.y＝x2＋1C.y＝|x| D.y＝2x
解析　y′＝3x2≥0恒成立，所以函数y＝x3在R上单调递增，无极值点，A不符合；y′＝2x，当x>0时，函数y＝x2＋1单调递增，当x<0时，函数y＝x2＋1单调递减，B符合；结合该函数图象可知，函数y＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，C符合；函数y＝2x在R上单调递增，无极值点，D不符合.
解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ －1.令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.
2.函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为A.－e B.－1C.1－e D.0
3.关于函数的极值，下列说法正确的是A.导数为零的点一定是函数的极值点B.函数的极小值一定小于它的极大值C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值D.若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
解析　对于f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A不正确.极小值也可能大于极大值，故B错误，C显然错误.
4.已知函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x) A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点
解析　若f′(x)的符号在x0处由正变负，则f(x0)是极大值，若f′(x)的符号在x0处由负变正，则f(x0)是极小值，由题图易知f(x)有两个极大值点，两个极小值点.
5.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是A.在(1,2)上函数f(x)单调递增B.在(3,4)上函数f(x)单调递减C.在(1,3)上函数f(x)有极大值D.x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
解析　根据导函数图象知，当x∈(1,2)时，f′(x)>0；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，当x∈(4,5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1,2)，(4,5)上单调递增，在(2,4)上单调递减，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点.
6.(多选)对于函数f(x)＝x3－3x2，下列命题正确的是A.f(x)是增函数，无极值B.f(x)是减函数，无极值C.f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)D.f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值
解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2或x＜0，令f′(x)＜0，得0＜x＜2，∴f(0)＝0为极大值，f(2)＝8－3×4＝－4为极小值.
7.函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________.
解析　f′(x)＝3x2－6，
8.已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是____.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1.
解　y′＝x3－x2＝x2(x－1)，由y′＝0得x1＝0，x2＝1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
10.设函数f(x)＝aln x＋ ＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值；
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
(2)求函数f(x)的极值.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增.故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值.
11.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值为
解析　f′(x)＝3x2－2px－q，
∴f′(x)＝3x2－4x＋1.
当x＝1时，f(x)有极小值0.
12.已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2a，若不等式f(x)>0的解集为{x|1解得a＝－1，即f(x)＝－x2＋3x－2.于是y＝xf(x)＝－x3＋3x2－2x，y′＝－3x2＋6x－2，由Δ>0，得y′＝0有两个相异实根，故函数y＝xf(x)有两个极值点.
13.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是
解析　由f′(x)＝x2＋8x＋9＝0，可知a3·a7＝9，a3＋a7＝－8，因为在等比数列中， ＝a3·a7且a5<0，所以a5＝－3.
14.在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)＝ ＋4x2＋9x－1的极值点，则a5＝_____.
15.若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为A.[－2,2]B.(－2,2)C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析　∵y＝3x－x3，∴y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.∵当x∈(－∞，－1)时，y′<0；当x∈(－1,1)时，y′>0；当x∈(1，＋∞)时，y′<0.∴当x＝1时，y取极大值2，当x＝－1时，y取极小值－2.∵直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同交点，∴m的取值范围为－216.已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠ 时，求函数f(x)的单调区间与极值.
解　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠ ，得－2a≠a－2.分以下两种情况讨论：①若a> ，则－2a所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)，单调递减区间为(－2a，a－2)，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)·ea－2.②若a< ，则－2a>a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)，单调递减区间为(a－2，－2a)，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.