第二章 导数及其应用 章末复习 课件+学案（含解析）

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章末复习课　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、导数的计算1．此部分内容涉及到导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档．2．通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养．例1　(1)已知函数f(x)＝，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)等于(　　)A.   B.C.   D.答案　D解析　根据题意，知函数f(x)＝，其导函数f′(x)＝＝＝.(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)＝x·ln(2x－1)，则f′(1)＝________.答案　2解析　因为f(x)＝x·ln(2x－1)，所以f′(x)＝ln(2x－1)＋·(2x－1)′＝ln(2x－1)＋，则f′(1)＝2.反思感悟　导数的运算是解决一切导数问题的基础，熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的运算法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，一般我们只解决有两层复合的关系，求导时不要忘了对内层函数求导即可．跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝ln x＋2x2－4x，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为(　　)A．x－y＋3＝0   B．x＋y－3＝0C．x－y－3＝0   D．x＋y＋3＝0答案　C解析　由f(x)＝ln x＋2x2－4x，得f′(x)＝＋4x－4，所以f′(1)＝1，又f(1)＝－2，所以函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＋2＝1×(x－1)，即x－y－3＝0.(2)已知曲线f(x)＝aln x＋x2在点(1,1)处的切线与直线x＋y＝0平行，则实数a的值为(　　)A．－3  B．1  C．2  D．3答案　A解析　由f(x)＝aln x＋x2，得f′(x)＝＋2x，则曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝a＋2，由切线与直线x＋y＝0平行，可得k＝－1，即a＋2＝－1，解得a＝－3. 二、函数的单调性与导数1．利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档．2．通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．例2　已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围．解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，由于φ′(x)＝ex＋2>0，故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．(2)由f(x)≥x3＋1得，ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0，①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；②当x>0时，分离参数a得，a≥－，记g(x)＝－，g′(x)＝－，令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，则h′(x)＝ex－x－1，令t(x)＝h′(x)，x≥0，则t′(x)＝ex－1≥0，故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立，故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；因此，g(x)max＝g(2)＝，综上可得，a的取值范围是.反思感悟　利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的．跟踪训练2　设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点答案　D解析　因为f(x)＝＋ln x，x>0，所以f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，即－＋＝＝0，解得x＝2.当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，所以x＝2为f(x)的极小值点． 三、与导数有关的综合性问题1．以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间．导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具，多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档．从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中．其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．一般出现在高考题解答题中，难度中高档．2．通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理，直观想象及数学运算等核心素养．例3　已知函数f(x)＝－ax2＋ln x(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若存在x∈(1，＋∞)，使f(x)>－a，求a的取值范围．解　(1)f′(x)＝－2ax＋＝(x>0)，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，令f′(x)>0，得x∈；令f′(x)<0，得x∈，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由f(x)>－a，得a(x2－1)－ln x<0，因为x∈(1，＋∞)，所以－ln x<0，x2－1>0，当a≤0时，a(x2－1)－ln x<0，符合题意；当a≥时，设g(x)＝a(x2－1)－ln x(x>1)，则g′(x)＝>0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(1)＝0，不符合题意；当0<a<时，令g′(x)>0，得x∈，令g′(x)<0，得x∈，所以g(x)min＝g<g(1)＝0，则存在x∈(1，＋∞)，使g(x)<0，综上，a的取值范围是.反思感悟　综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法，关键是分类讨论时，是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时是否合理等问题．跟踪训练3　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解　(1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的建造成本为160πr2元，所以蓄水池的总建造成本为(200πrh＋160πr2)元，又200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，所以V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0可得r<5，故函数V(r)的定义域为(0,5)．(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，所以V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上单调递增；当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上单调递减．由此可知，V(r)在r＝5处取得极大值也为最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．1．曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处的切线斜率为8，则实数a的值为(　　)A．－6  B．6  C．12  D．－12答案　A解析　由y＝x4＋ax2＋1，得y′＝4x3＋2ax，则曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处的切线斜率为－4－2a＝8，得a＝－6.2．函数y＝1＋3x－x3有(　　)A．极小值－1，极大值1   B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2   D．极小值－1，极大值3答案　D解析　y′＝3－3x2，令y′＝3－3x2＝0，得x＝±1，所以当x＝－1时取得极小值－1，当x＝1时取得极大值3.3．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　)A．(－∞，－1)和(0,1)B．(－1,0)和(1，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)和(1，＋∞)答案　A解析　y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0，得x<－1或0<x<1，故选A.4．已知a>0，函数f(x)＝2x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值是________．答案　6解析　f′(x)＝6x2－a，令f′(x)>0，得x>或x<－，所以≤1，解得0<a≤6.