数学七年级下册第五章 相交线与平行线5.3 平行线的性质5.3.2 命题、定理、证明当堂达标检测题

第五章　相交线与平行线

5.3　平行线的性质

5.3.2　命题、定理、证明

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知识点1　命题

1.下列语句中,是命题的是 (　　)

①若∠1=60°,∠2=60°,则∠1=∠2;②同位角相等吗;③画线段AB=CD;④如果a>b,b>c,那么a>c;⑤直角都相等.

A.①④⑤　　　　B.①②④

C.①②⑤　　　　D.②③④⑤

2.【新独家原创】下列命题中,真命题有 (　　)

①相等的角是对顶角;②内错角相等;③等角的余角相等;④如果x2=y2 ,那么x=y或x+y=0.

A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个

3.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例,下列选项中,正确的是              (　　)

A.∠α=60°,∠α的补角∠β=120°,∠β>∠α

B.∠α=90°,∠α的补角∠β=90°,∠β=∠α

C.∠α=100°,∠α的补角∠β=80°,∠β<∠α

D.互为邻补角的两个角

4.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并分别指出它们的题设和结论.

(1)整数一定是有理数;

(2)同角的补角相等;

(3)两个锐角互余.

知识点2　定理与证明

5.【新考法】如图,点E,F分别在AB,CD上,AF⊥CE,垂足为点O,∠1=∠B,∠A+∠2=90°.求证:AB∥CD.

证明:∵∠1=∠B(已知),∴CE∥BF(同位角相等,两直线平行),　　　　,∴∠AFC+∠2=90°(等式性质),∵∠A+∠2=90°(已知),∴∠AFC=∠A(同角的余角相等),∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行). 

请你仔细观察下列序号所代表的内容:

①∴∠AOE=90°(垂直的定义);②∴∠AFB=90°(等量代换);

③∵AF⊥CE(已知);④∵∠AFC+∠AFB+∠2=180°(平角的定义);

⑤∴∠AOE=∠AFB(两直线平行,同位角相等).

横线处应填写的过程,顺序正确的是 (　　)

A.⑤③①②④

B.③④①②⑤

C.⑤④③①②

D.⑤②④

6.【教材变式·P21T1变式】已知命题“如果两条射线是两条平行线被第三条直线所截得到的一对内错角的平分线,那么这两条射线互相平行”.

(1)写出命题的题设和结论;

(2)画出图形,并用数学符号叙述这个命题;(3)用推理证明的方法说明这个命题是真命题.

7.【一题多变】如图所示,若DE∥BC,∠1=∠3,∠CDF=90°,求证:FG⊥AB.

[变式]若把原题设中“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调,所得命题是真命题吗?说明理由.

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8.(2022广西梧州中考改编,3,★☆☆)下列命题中,为假命题的是 (　　)

A.-2的绝对值是-2

B.对顶角相等

C.过直线外一点,有且只有一条直线与该直线平行

D.如果直线a∥c,b∥c,那么直线a∥b

9.(2022安徽芜湖期末,12,★★☆)下列命题中,真命题有 (　　)

①同位角相等;②相等的角是对顶角;③直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这个点到这条直线的距离;④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;⑤不相交的两条直线叫做平行线;⑥垂直于同一直线的两条直线互相平行.

A.0个　　　　B.1个　　　　C.2个　　　　D.3个

10.(2022北京延庆期末,17,★★☆)在同一平面内,有三条直线a,b,c.下列四个命题中为真命题的是　　　　.(填写序号) 

①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;②如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;③如果a∥b,c∥b,那么a∥c;④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.

11.(2021江苏连云港灌云期末,23,★★☆)如图,从①∠1=∠2,②∠C=∠D,③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件,另一个作为结论可以组成3个命题.

(1)这3个命题中,真命题的个数为　　　; 

(2)从这3个命题中选择一个真命题,并加以证明.(要求写出每一步的依据)

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12.【推理能力】如图,在三角形ABC中,延长BC到D,请你从下面三个条件中,选出两个作为已知条件,另一个作为结论,组成一个命题.

①CE∥AB;②∠A=∠B;③CE平分∠ACD.

(1)上述问题有几种正确的命题?请按“☆☆⇒☆”的形式一一书写出来;

(2)选择(1)中的一个真命题加以证明.

13.【推理能力】探索与发现(下面的直线都在同一平面内):

(1)若直线a1⊥a2,a2∥a3,则直线a1与a3的位置关系是　　　　,请说明理由; 

(2)若直线a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,则直线a1与a4的位置关系是　　　　(直接填结论,不需要证明); 

(3)现在有2 021条直线a1,a2,a3,…,a2 021,且有a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,……,请你探索直线a1与a2 021的位置关系.

答案全解全析

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1.A　②③都不是判断一件事情的语句,不是命题,①④⑤是命题,故选A.

2.B　只有③④是真命题,故选B.

3.C　选项A中,∠α的补角>∠α,符合假命题的结论,错误;选项B中,∠α的补角=∠α,符合假命题的结论,错误;选项C中,∠α的补角<∠α,不符合假命题的结论,正确;选项D中,由于无法说明两个角具体的大小关系,故错误,故选C.

4.解析　(1)如果一个数是整数,那么它一定是有理数.题设:一个数是整数;结论:它一定是有理数.

(2)如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角相等.题设:两个角是同一个角的补角;结论:这两个角相等.

(3)如果两个角是锐角,那么这两个角互为余角.

题设:两个角是锐角;结论:这两个角互为余角.

5.A　先证CE∥BF得∠AOE=∠AFB,由AF⊥CE得∠AOE=90°,进而得∠AFB=90°,利用平角定义得∠AFC+∠AFB+∠2=180°,进而得出∠AFC+∠2=90°,结合∠A+∠2=90°可以得出∠AFC=∠A,从而证得AB∥CD.横线处填写的序号为⑤③①②④.

6.解析　(1)题设:两条射线是两条平行线被第三条直线所截得到的一对内错角的平分线;结论:这两条射线互相平行.

(2)如图,AB∥CD,直线AB,CD被直线EF所截,如果EG平分∠AEF,FH平分∠EFD,那么EG∥FH.

(3)∵EG平分∠AEF ,FH平分∠EFD,

∴∠GEF=∠AEF,∠EFH=∠EFD.

∵AB∥CD,

∴∠AEF=∠EFD,∴∠GEF=∠EFH,

∴EG∥ FH.

7.证明　∵DE∥BC,∴∠1=∠2,

∵∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴DC∥FG,

∴∠BFG=∠FDC=90°,∴FG⊥AB.

[变式]解析　是真命题.

理由:∵FG⊥AB,∴∠BFG=90°=∠FDC,

∴DC∥FG,∴∠2=∠3,

∵∠1=∠3,∴∠1=∠2,

∴DE∥BC.

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8.A　-2的绝对值是2,故A是假命题;其他都是真命题,故选A.

9.B　两直线平行,才有同位角相等,①是假命题;相等的角不一定是对顶角,②是假命题;直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做这个点到这条直线的距离,③是假命题;经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,④是真命题;在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,要强调在同一平面内,⑤是假命题;在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行,要强调在同一平面内,⑥是假命题.∴真命题只有一个,故选B.

10.答案①③④

解析　如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c,②是假命题,①③④都是真命题.

11.解析　(1)由①②,得③;由①③,得②;由②③,得①,这3个命题均为真命题,故答案为3.

(2)答案不唯一.

选择①②作为条件,③作为结论组成命题,证明如下:

如图所示,

∵∠1=∠2(已知),∠1=∠3(对顶角相等),

∴∠3=∠2(等量代换),

∴DB∥EC(同位角相等,两直线平行),

∴∠D=∠4(两直线平行,同位角相等),

∵∠C=∠D(已知),

∴∠4=∠C(等量代换),

∴DF∥AC(内错角相等,两直线平行),

∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等).

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12.解析　(1)有三种正确的命题:

命题1:①②⇒③;命题2:①③⇒②;命题3:②③⇒①.

(2)答案不唯一,以命题2:①③⇒②为例,证明如下:

∵CE∥AB,∴∠ACE=∠A,∠DCE=∠B.

∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE,∴∠A=∠B.

13.解析　(1)a1⊥a3.

理由:如图1,因为a1⊥a2,所以∠1=90°,

因为a2∥a3,所以∠2=∠1=90°,所以a1⊥a3.

(2)如图2,a1∥a4.

(3)直线a1与a2的位置关系是a1⊥a2,

直线a1与a3的位置关系是a1⊥a3,

直线a1与a4的位置关系是a1∥a4,

直线a1与a5的位置关系是a1∥a5,

直线a1与a6的位置关系是a1⊥a6,

……

位置关系以四次为一个循环,规律:下标除以4余数为2或3时垂直,下标除以4余数为0或1时平行,

∵2 021÷4=505……1,∴a1∥a2 021.