专题04 动点问题与函数图形结合题型—2023年中考数学必考特色题型讲练（河南专用）（解析版）

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专题04动点问题与函数图象结合题型选题介绍本题型在河南省近六年的中招试卷中考了4次，分别为2022年第10题，2021年第10题，2018年第10题，2017年第14题。该题一般为选择题型，分值3分。本题属于数形结合，难度系数较大，得分率较低。本题型一般综合考查了几何图形性质和函数图象的性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．根据已有的图像与文字提供的信息，按照以下思维过程解体：①一变一不变，图像是直线②两个都变图象是曲线（两个变量）③同增同减口向上，一增一减口向下真题展现2022年河南中招填空题第10题呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车。酒精气体传感器是一种气敏电阻，（图1中的R1）R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化。（如图2）血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3，下列说法不正确的是（      ）A呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，B当K=0时，R1的阻值为100C当K=10时，该驾驶员为非驾酒状态D，当R1等于20时，该驾驶员为醉酒状态。【答案】C【解析】本题主要考察了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键。根据函数图像分析即可判断A、B，根据图三公式计算即可判定C、D。【详解】解：根据函数图像可得， R随K的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大阻值越小，故正确，不符合题意，  B当K=0时，R1的阻值为100。故正确，不符合题意  当K=10时，则M等于2200×K×10-3=2200×10×10-3=22mg/100ml;该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意， 当R1=20时，K=40，则M=2200×K×10-3=2200×40×10-3=88mg/100ml;。该驾驶员为醉驾状态，故选项正确，不符合题意。【总结】本题主要考察了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键。2021年河南中招填空题第10题10．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1；利用两点之间线段最短，得到PA﹣PE≤AE，得y的最大值为AE＝5；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC＝2BE求出BC的长．【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用两点之间线段最短，得到PA﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE，∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，设BE的长度为t，则BA＝t+1，∴（t+1）2+t2＝25，即：t2+t﹣12＝0，∴（t+4）（t﹣3）＝0，由于t＞0，∴t+4＞0，∴t﹣3＝0，∴t＝3．∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．故选：C．【总结】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键．2018年河南中招填空题第10题10．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　）   A． B．2 C． D．2 【答案】C【解析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=，应用两次勾股定理分别求BE和a．【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．∴AD=a∴∴DE=2当点F从D到B时，用s∴BD=Rt△DBE中，BE=∵ABCD是菱形∴EC=a﹣1，DC=aRt△DEC中，a2=22+（a﹣1）2解得a=故选：C．【总结】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．2017年河南中招填空题第14题14．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是　     　．【答案】12【解析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．【详解】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，由图象可知：点P从B先A运动时，BP的最大值为5，即BC=5，由于M是曲线部分的最低点，∴此时BP最小，即BP⊥AC，BP=4，∴由勾股定理可知：PC=3，由于图象的曲线部分是轴对称图形，∴PA=3，∴AC=6，∴△ABC的面积为：×4×6=12故答案为：12【总结】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度，本题属于中等题型．模拟演练1. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P从A点出发，沿AB﹣BD﹣DC方向以每秒1个单位的速度匀速向终点C运动，设点P运动时间为t，△PBC的面积为y，则y与t之间的函数图象大致为（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】分析点P起始位置和在各段路径运动时间问题可解．【详解】解：由动点起始位置可知，t=0时，△PBC的面积为y大于0．故B、D排除．当点P沿AB-BD-DC方向运动时，由B到C用时比由A到B时间长．故选A．【总结】本题是动点的函数图象问题，考查学生对动点运动位置与函数图象变化趋势的判断．解题关键是要注意动点到达临界点前后的图象变化．2. 如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+m（m＞0）与直线y＝2x交于点4，与x轴交于点B，点O为坐标原点，点C在线段OB上，且不与点B重合，过点C作垂直于x轴直线，交直线AB于点D，将△BCD沿CD翻折，得到△ECD．设点C的坐标为（x，0），△CDE与△AOB重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示，则m＝__．【答案】【解析】通过两直线的解析式，求出其交点A的坐标，且C点横坐标为m，此时CD直线应在A点的右侧，D点在直线AB上，故D点坐标（m，），重叠部分的面积可用m表示出来，将S= 代入公式，即可求出m的值．【详解】解：直线y=2x与直线y＝− x+m交于点A（），由图2可知，当C点横坐标x=m时，重叠面积为S=，∴此时CD直线应在A点的右侧，D点坐标（m，），∴重叠部分面积：S＝•m•＝，将S=代入上式，得：m=，解法二：观察图象可知，当C是OB的中点时，重叠部分的面积是，此时E与O重合，∴×m×=，∵m＞0，∴m=，故答案为：．【总结】本题主要考查了动点问题的函数图象，数形结合并将重叠面积用m进行表示是解题的关键．3. 如图，矩形中，，动点P沿着的路径匀速运动，过点P作，垂足为Q，设点P的运动路程为x，以B，C，P，Q为顶点的四边形的面积为y，则y与x的大致函数图象为（    ）A.  B. C  D. 【答案】A【解析】由勾股定理可得AC=5，根据点P的运动，需要分段讨论：当点P在AC上时，易证，列出比例式，可求得函数关系式；当点P在CD上时，易得△CPQ∽△CAB，根据比例可求得PQ的长，再根据三角形面积公式得到y与x的关系，最后结合选项判断即可．【详解】解：∵由勾股定理得，分类讨论如下：（1）如图1，当点P在上移动时（四点围图为梯形），∴，，∴，∴， ∴，∴，∴；（2）如图2，当点P在上移动时（四点围图为矩形），∵点P的运动路程为x，∴PC=x-5，∵，∴；故依据函数解析式得图象如图3，故选：A．【总结】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．4. 如图1，点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，E是边BC的中点，连接PB，PE．设点A和点P之间的距离为x，，图2是点P从点A运动到点C时，y随x变化的关系图象，则图象最低点的纵坐标是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】根据题意得：点P与点C重合时， ，从而得到，连接BD交AC于点O，连接DE，PD，根据菱形的性质可得．从而得到当E，P，D三点共线时，的值最小，即的值最小，即．然后过点E作于点F，可得△BEF∽△BCO，从而得到，进而得到．再由勾股定理，即可求解．【详解】解：根据题意得：点P与点C重合时， ，∵E是BC的中点，∴，连接BD交AC于点O，连接DE，PD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC是BD的垂直平分线，∴．∴．∴当E，P，D三点共线时，的值最小，即的值最小，即．过点E作于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴，∴，EF∥AC，∴△BEF∽△BCO，∴，∵E是BC的中点，∴，∴．∴ ．∴图象最低点的纵坐标是．故选：B【总结】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键．5. 如图，在四边形中，，，，动点沿的路线运动，到点时停止．过点作，垂足为点，设点运动的路程为，的面积与之间的函数关系图象如图所示，当时，的值是（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】分别求出点在上运动、点在上运动、点在上运动时的函数表达式，进而求解【详解】解： 由函数图象可知，，AB=5，∴BC=3，AD=6，当点与点重合时，AN=ND=BC=3，，，∴当时，，此时，点与点重合，，故选：D．【总结】本题考查的是动点问题的函数图象，涉及三角形的面积等知识，此问题时，由图得出是解题关键．6. 如图，为矩形边上的一点，点从点沿折线运动到点时停止，点从点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是若、同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与的函数关系图像如图，则下列结论错误的是（   ）                        B.  C. 当时， D. 当时，△PBQ是等腰三角形【答案】D【解析】由图可知，在点至点区间，的面积不变，因此可推论，由此分析动点的运动过程如下：在段，；持续时间，则；是的二次函数；在段，是定值，持续时间，则；在段，持续减小直至为，是的一次函数．【详解】解：当点P在BE上运动，点Q没到C之前时，设△BPQ边BQ边上的高为h，∴，∴此时；∵第8-10秒三角形PBQ的面积没有发生变化，∴此时Q点运动到了C点，点P在ED上运动，假设当点P到达点E，点Q未到点C时，则h=AB，∴此时，此时是一次函数图像，与事实矛盾，同理：假设当点Q到达点C，点P未到点E时，y与x也是是一次函数图像，与事实矛盾，∴当点Q到达点C时，点P同时到底点E，∴，，∴AE，故不符合题意；B、如答图所示，连接，过点作于点，则四边形ABFE是矩形∵， ，由勾股定理得，，，故不符合题意；C、如答图所示，过点作于点，，．故不符合题意；D、当时，点与点重合，点运动到的中点，设为，如答图所示，连接，．此时，，由勾股定理求得：，，，不是等腰三角形，即此时不是等腰三角形．故符合题意；故选：．【总结】本题考查动点问题的函数图像，需要结合几何图形与函数图像，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出．7. 如图1，在平行四边形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（    ）A.  B.  C. 6 D. 12【答案】B【解析】根据题意计算得；再结合题意，得当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系；当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，从而得a对应动点Q和点C重合；通过计算，即可得到答案．【详解】解：∵动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，一共用6秒钟，∴AB=1×6=6，∵，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD=6，当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系，当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，∴a对应动点Q和点C重合，如图：∵动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发，∴，∴，∴，∴，如图，过点C作，交于点E ，∴，∴，即．故选：B．【总结】本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数,与三角形高有关的计算等知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解．8. 如图，中，，．直线l经过点A且垂直于．现将直线l以1的速度向右匀速平移，直至到达点B时停止运动，直线l与边交于点M，与边（或）交于点N．若直线l移动的时间是、的面积为，则y与x之间函数关系的图象是（    ） A  B. C.  D. 【答案】C【解析】用面积公式，分段求出△AMN的面积y与x之间的函数关系即可求解．【详解】解：过点C作CD⊥AB于D，在等腰△ABC中，AC=5，AD=AB=4，则CD=3，在Rt△ACD中，tan∠A===tan∠B，（1）当0≤x≤4，如图，∵tan∠A===，即MN=x，y=×AM•MN=x×x=x2，该函数为开口向上的抛物线，且对称轴为y轴，位于y轴的右侧抛物线的一部分；（2）当4＜x≤8时，同理：y= ，该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为x=4，故选：C．【总结】本题考查的是动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．9. 如图-①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿→→向点运动，设点运动路径为，的面积为，图-②是关于的函数关系图像，则边的长为（     ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】根据函数图象可知AB+BC＝7，△AOB的面积为3，再根据矩形的性质可知点O到AB的距离为BC的长，利用面积建立方程即可求解.【详解】解：观察图象可知：AB+BC＝7，S△AOB＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴点O到AB距离是BC的长，设AB＝x，则BC＝7-x，∵S△AOB＝＝3，∴，解得，∵，即，∴AB＝4.故选B.【总结】本题考查了函数的图象.结合图象得出矩形邻边和为7，△AOB的面积为3并利用面积建立关于AB的方程是解题的关键.10. 如图，在Rt△ABC中，C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P从A出发，以1cm/s的速沿折线AC→CB→BA运动，最终回到A点．设点P的运动时间为x(s)，线段AP的长度为y(cm)，则能反映y与x之间函数关系的图像大致是（     ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】根据题目已知，分三种情况讨论，①当点在线段上运动时，②当点在线段上运动时，③当点在线段上运动时，根据速度×时间=路程，以及三角形的三边长度，分析即可．【详解】∵∠ C=90°，AC=1，BC=2，∴线段的长是一个分段函数，①当点在线段上运动时，自变量的取值范围是，由题图可知，即；②当点在线段上运动时，自变量的取值范围是，则，在中，，即；③当点在线段上运动时，自变量的取值范围是，则，故，结合各选项的图象可知A选项正确．故选A．【总结】本题考查了函数图像，一次函数图像的性质，勾股定理，掌握一次函数图像的性质是解题的关键．