第03讲：圆锥曲线中的面积问题（二）-冲刺高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第二讲：面积问题（二）

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；

应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式，点到直线距离公式的应用，并能够熟练使用求解面积；

拓展目标：能够熟练应用弦长和点到直线距离公式，求解圆锥曲线面积定值等问题.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

1、面积范围

首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数

均值不等式

变式：

作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；

当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值

注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”

2、面积比值

通过两个三角形面积的作比，寻找等底或等高情况，将面积问题转化为底边长度或高度的比值，进行坐标或向量进行求解.

【考点剖析】

考点一：三角形面积最值

例1．已知椭圆与的正半轴交于点，且离心率.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线过点与椭圆交于两点，求面积的最大值并求此时的直线方程.

变式训练1：已知椭圆与抛物线有相同的焦点.

(1)求椭圆的方程；

(2)为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.

例2．已知点是抛物线上的动点，过点的直线与抛物线交于另一点．

(1)当的坐标为时，求点的坐标；

(2)已知点，若为线段的中点，求面积的最大值．

变式训练2：已知椭圆的中心是坐标原点O，左右焦点分别为，，设P是椭圆C上一点满足轴，，椭圆C的离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C左焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，求内切圆半径的最大值.

（参考公式：已知的三边分别是，且内切圆的半径是 ，则的面积）.

例3．已知圆：，圆：，一动圆与圆和圆同时内切.

(1)求动圆圆心的轨迹方程；

(2)设点的轨迹为曲线，两互相垂直的直线，相交于点，交曲线于，两点，交圆于，两点，求与的面积之和的取值范围.

变式训练3：已知点，点为直线上的动点，过作直线的垂线，线段的中垂线与交于点.

(1)求点的轨迹的方程；

(2)若过点的直线与曲线交于，两点，求与面积之和的最小值.（为坐标原点）

考点二：四边形面积最值

例1．已知椭圆的一个焦点为，经过点，过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)四边形AMBN面积是否有最大值，若有求最大值，若没有请说明理由.

变式训练1：已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．

例2．已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径．

(1)求抛物线的方程；

(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值．

变式训练2：已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于､和､四点，求四边形面积的最小值.

考点三：面积比值（求解）

例1．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，为坐标原点，，点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)设经过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点，点，．若分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．

变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别为，，实轴长为，且斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，且AB的中点为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C的左、右顶点分别为，，点P，Q为椭圆上异于，的两点，且以P，Q为直径的圆过点，设，的面积分别为，，计算的值.

考点四：已知面积比值（求参）

例1．已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5.

(1)求椭圆C的方程：

(2)设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.

变式训练1：已知椭圆的焦距为4，点在G上.

(1)求椭圆G的方程；

(2)过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.

变式训练2：已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程，并说明轨迹是何种曲线；

(2)设过点的直线与直线交于两点，且满足的面积是面积的一半，求的面积．

考点五：面积比值（证明）

例1．在平面直角坐标系中，已知点到的距离与到直线的距离相等，记的轨迹为.

(1)求的方程；

(2)为坐标原点，轨迹上两点、处的切线交于点，在直线上，、分别交轴于、两点，记和的面积分别为和．试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．

变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值．

变式训练2：已知为坐标原点，椭圆的右顶点为，离心率为.动直线与相交于两点，点关于轴的对称点为，点到的两焦点的距离之和为.

(1)求的标准方程；

(2)若直线与轴交于点，的面积分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

考点六：面积比值（范围）

例1．已知焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，的面积为．

(1)求椭圆的标准方程．

(2)若过点的直线与该椭圆交于，两点，与分别表示和的面积，求的取值范围．

变式训练1：．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的实轴长为.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若曲线与在第一象限的交点为，求证：.

（3）过右焦点的直线与双曲线的右支相交于的，两点，与椭圆交于，两点.记，的面积分别为，，求的最小值.

变式训练2：设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且.

(1)求动点D的轨迹E的方程；

(2)直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两不同的点A、B，T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围.

【当堂小结】

1、知识清单：

（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长公式；

（2）弦长最值的基本不等式求解；

（3）交点坐标的求解和非弦长的计算；

（4）面积比值转化为底边或高线的比值；

2、易错点：基本不等式的应用；

3、考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化；

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

1．已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点.

(1)求的方程；

(2)设过点的动直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的取值范围.

2．已知椭圆，过定点的直线交椭圆于两点，其中.

(1)若椭圆短轴长为且经过点，求椭圆方程；

(2)对（1）中的椭圆，若，求面积的最大值，并求此时直线的方程；

3．如图所示：已知椭圆：的长轴长为4，离心率．是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于，两点，记的面积为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求的最大值．

4．已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.

(1)若求圆心的轨迹的方程.

(2)若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.

5．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，设是第一象限内椭圆C上的一点，的延长线分别交椭圆C于点．当时，的面积为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)分别记和的面积为和，求的最大值．

6．已知抛物线的焦点到准线的距离为2.

(1)求C的方程：

(2)过C上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PAMB面积的最小值.

7．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，当以为始边，为终边的角时，.

(1)求的方程

(2)过点的直线交于两点，以为直径的圆平行于轴的直线相切于点，线段交于点，求的面积与的面积的比值

8．已知椭圆：（）的焦距为，且经过点，过点的直线与椭圆交于点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设为线段的中点，为原点，所在的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方），问是否存在直线使得的面积是面积的倍？若存在，求直线的方程，并求此时四边形的面积，若不存在，请说明理由.

9．已知在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离之和等于．

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)若与圆相切的直线与曲线相交、两点，直线与直线平行，且与曲线相切于点（、位于直线的两侧），记、的面积分别为、，求的取值范围．