第04讲：圆锥曲线中的向量问题（一）-冲刺高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第三讲：向量问题（一）

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；

应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，向量的数乘，向量的线性运算；

拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：向量的数量积，向量的数乘，向量的线性运算，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。

1、向量的数量积

若，则

2、向量的数乘

若，则时，

3、向量的线性运算

若，则时，.

【考点剖析】

考点一：向量数量积

例1．在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是，离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．

变式训练1：已知椭圆()的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆交于，两点，点的坐标为，且，求实数的值.

变式训练2：已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.

(1)求双曲线的方程；

(2)若点在双曲线上，试求的值.

例2．已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．

(1)求的方程；

(2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．

变式训练3：已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为2.

(1)求椭圆的方程；

(2)若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，为坐标原点.证明：为定值.

变式训练:4：已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且

(1)求抛物线的方程；

(2)过点作直线交抛物线于两点，设，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

例3．已知椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆经过点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设为椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，为坐标原点，求的最小值.

变式训练5：已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上一点，且面积的最大值为1.

(1)求椭圆的方程；

(2)过的直线交椭圆于两点，求的取值范围.

变式训练6：在平面直角坐标系中，已知点、，点满足，记点的轨迹为．

(1)求的方程；

(2)若直线过圆的圆心且与圆交于两点，点为上一个动点，求的最小值．

例4．已知椭圆的左焦点为，点到短袖的一个端点的距离为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若，求的取值范围.

变式训练7：已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．

(1)求双曲线的方程；

(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围．

变式训练8：已知双曲线的浙近线方程为，且虚轴长为.

(1)求双曲线的方程；

(2)若直线与双曲线相交于不同的两点，且满足，求的取值范围.

考点二：向量的数乘

例1．已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点.

(1)求椭圆的方程；

(2)判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

变式训练：1已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距为2，椭圆C的上顶点为，为正三角形，过点的直线与椭圆相交于两点

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求直线的一般方程.

变式训练2：已知抛物线，准线方程为.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若定点，直线l与地物线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率.

变式训练3：若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)．

(1)求双曲线的方程；

(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．

考点三：双向量数乘

例1．已知点，直线为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点.若，,求的值.

变式训练1：已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.

变式训练2：如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点．

（1）求椭圆的方程．

（2）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由．

变式训练3：已知直线过双曲线：的右焦点，且直线交双曲线于A，B两点.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l交y轴于点，且，，当m变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；

考点四：向量的线性运算

例1．设为坐标原点，过椭圆：的左焦点作直线与椭圆交于A，B两点，点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)求面积的取值范围；

(3)是否存在实数，使直线的斜率等于时，椭圆上存在一点满足?若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.

变式训练1：已知椭圆，为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，，其中点P在椭圆C上，O为坐标原点，求的取值范围．

变式训练2：已知椭圆C的右焦点为，点A为椭圆C的上顶点，过点F与x轴垂直的直线与椭圆C相交于P，Q两点，且．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l的倾斜角为，且与椭圆C交于M，N两点，问是否存在这样的直线l使得？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．

变式训练3：已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，F为右焦点，点P为C上的一点，PF恰好垂直平分线段OB（O为坐标原点），.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F的直线l交C于M，N两点，若点Q满足（Q，M，N三点不共线），求四边形OMQN面积的取值范围.

考点五：向量的线性运算（范围）

例1．已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，直线：与轴交于点，与曲线交于，两个相异点，且.

（1）求曲线的方程；

（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.

变式训练1：已知椭圆的两个焦点分别为，，过点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围．

【当堂小结】

1、知识清单：

（1）椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；

（2）向量的数量积，数乘，线性运算；

（3）不等式的求解和导数单调性求解范围；

2、易错点：向量的表示及其运算；

3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

1．已知椭圆过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线过的右焦点交于两点，，求直线的方程．

2．已知抛物线：上的点到焦点的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）设纵截距为的直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程．

3．已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.

(1)求该抛物线的标准方程和的值；

(2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.

4．已知椭圆，椭圆的其中一个焦点在抛物线准线上，并且椭圆的左顶点到左焦点的距离为.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知经过点的动直线与椭圆交于不同的两点，，点，证明:为定值.

5．已知椭圆：的左､右焦点分别为，，离心率为，且过点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过点的直线与椭圆相交于，两点（A、B非椭圆顶点），求的最大值.

6．已知椭圆的长轴长是6，离心率是.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于两点，判断是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

7．已知椭圆的左、右焦点分别为，若焦距为4，点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程.

8．已知双曲线的方程为（），离心率为.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过的直线交曲线于两点，求的取值范围.

9．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的取值范围.

10．设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.

11．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上且到双曲线渐近线的距离为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，且满足，求直线的方程.

12．已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，且，.求证：为定值，并计算出该定值.

13．已知定圆，动圆过点，且和圆相切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；

(2)若过点的直线交轨迹于两点，与轴于点，且，当直线的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值；否则，请说明理由.

14．已知动圆过点且动圆内切于定圆：记动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若、是曲线上两点，点满足求直线的方程.