第08讲：圆锥曲线中的三点共线问题-冲刺高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第八讲：三点共线问题

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，坐标的表示；

应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线联立求解，并表示交点，向量，斜率等计算量；

拓展目标：能够熟练掌握三点共线的表达和求解方法.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形和坐标等的分析，在一定程度上可以进行坐标的计算，达到解决解析几何的目的，因此在解析几何中的三点共线证明上，重点放在点的坐标的表示和计算中。

解析几何证明三点共线的方法：

（1）直接证明其中一点在过另两点的直线上；

（2）证明过其中一点和另两点所连两条直线斜率相等；

（3）证明过其中一点和另两点所连两个向量共线.

【考点剖析】

考点一：证明三点共线

例1．已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线.

变式训练1：已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知、分别是椭圆的左、右顶点，是直线上不与点重合的任意一点，是坐标原点，与直线垂直的直线与的另一个交点为.求证：、、三点共线.

变式训练2：已知椭圆的右焦点为，且经过点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设椭圆的左顶点为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于两点，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使.求证：三点共线.

变式训练3：如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．

(1)若直线平分线段，求的值；

(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；

(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．

考点二：已知三点共线（求坐标）

例1．如图，已知椭圆E：（）的右焦点为，离心率，过F作一直线交椭圆E于A，B两点（其中A在x轴的上方），过点A作直线：的垂线，垂足为C．

（1）求椭圆的方程；

（2）问：在轴上是否存在一个定点T，使得B，T，C三点共线？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.

变式训练1：已知长轴长为的椭圆过点,点是椭圆的右焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在轴上的定点,使得过点的直线交椭圆于两点，设为点关于轴的对称点，且三点共线？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.

变式训练2：已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

变式训练3：已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

考点三：已知三点共线求参

例1．已知椭圆C：（）的短轴长为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设分别为椭圆的左、右顶点，过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点是否存在实数（），使得直线：与直线的交点满足三点共线？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.

变式训练1：已知椭圆C：（）的右准线方程为，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线经过点A，且点F到直线的距离为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）将直线绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线的斜率.

变式训练2：设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点.

(1)求双曲线的渐近线方程；

(2)设直线与轴交于点，关于轴的对称点为.若三点共线，求证：为定值.

变式训练3：已知椭圆的离心率为，为椭圆上任意一点，且已知.

（1）若椭圆的短轴长为，求的最大值；

（2）若直线交椭圆的另一个点为，直线交轴于点，点关于直线对称点为，且，三点共线，求椭圆的标准方程.

考点三：已知三点共线求范围

例1．已知椭圆：的离心率为，且过点，椭圆的右顶点为，点的坐标为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知纵坐标不同的两点，为椭圆上的两个点，且，，三点共线，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．

变式训练1：在平面直角坐标系中，的两个顶点，的坐标分别为，，平面内两点，同时满足以下3个条件：

①是三条边中线的交点；②是的外心；③．

（Ⅰ）求的顶点的轨迹方程；

（Ⅱ）若点与（Ⅰ）中轨迹上的点，三点共线，求的取值范围．

变式训练2：如图，已知椭圆，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点（，不同于）．

（1）求椭圆的焦距；

（2）设抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且、、三点共线，若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最小值．

考点四：证明三点共线（充要条件）

例1．已知椭圆方程为，右焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：三点共线的充要条件是．

变式训练1：已知平面内两点，动点P满足：.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)设M，N是轨迹C上的两点，直线与曲线相切.证明：M，N，三点共线的充要条件是.

变式训练2：已知椭圆的方程为，长轴长为，且离心率为.

(1)求圆的方程；

(2)过椭圆上任意一点作两条直线，与椭圆的另外两个交点为，，为坐标原点，若直线和直线的斜率存在且分别为和.证明：，，三点共线的充要条件是.

【当堂小结】

1、知识清单：

（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长公式；

（2）弦长最值的基本不等式求解；

（3）交点坐标的求解和非弦长的计算；

2、易错点：弦长公式的计算，基本不等式的应用；

3、考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化；

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

1．已知椭圆的左右顶点分别记为、，其长轴的长为4，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记的中点为，若动点的横坐标恒为，过点作∥交椭圆于点，直线交椭圆于点，求证：、、三点共线．

2．过抛物线焦点的直线交于两点，为的准线，0为坐标原点.过做于，设.

（1）求的值；

（2）求证：三点共线.

2．已知椭圆（）的右焦点为，左右顶点分别为、，，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于、点，直线与轴的交点为，与直线的交点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，求出点的坐标；

（3）求证：、、三点共线.

3．如图，已知椭圆C：的左、右顶点分别为右焦点为，右准线的方程为，过焦点的直线与椭圆相交于点（不与点重合）.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当直线的倾斜角为45°时，求弦的长；

（3）设直线交于点，求证：三点共线.

4．已知抛物线，为其焦点，，三点都在抛物线上，且，设直线的斜率分别为.

（1）求抛物线的方程，并证明；

（2）已知，且三点共线，若且，求直线的方程.

5．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离的比是常数

（1）求动点的轨迹方程；

（2）若过点作与坐标轴不垂直的直线交动点的轨迹于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点是线段上的一个动点，且，求m的取值范围；

（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．

7．已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点为，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点是线段上的一个动点，且，求m的取值范围；

（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．

8．已知焦点为的抛物线经过圆的圆心，点是抛物线与圆在第一象限的一个公共点，且.

（1）分别求与的值；

（2）点与点关于原点对称，点，是异于点的抛物线上的两点，且，，三点共线，直线，分别与轴交于点，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

9．设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点．

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）若，求点纵坐标的值；

（3）设直线与轴交于点关于轴的对称点为．若三点共线，求证：为定值．

10．已知椭圆：过点，离心率为，点、分别为其左、右焦点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若上存在两个点、，椭圆上有两个点、，满足、、三点共线，、、三点共线，且，若四边形的面积为，求直线的方程．

11．已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点为椭圆上的动点，三点共线，直线的斜率分别为.

（i）证明：；

（ii）若，设直线过点，直线过点，证明：为定值.