第11讲：圆锥曲线中的斜率问题(三)-冲刺高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第十一讲：斜率问题（三）

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，斜率的计算；

应用目标：掌握圆锥曲线中斜率的加减乘除运算，并利用计算进行证明；

拓展目标：能够熟练应用圆锥曲线中的斜率关系，解决相关的位置关系和等量关系问题.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

1、斜率之和：通过点的坐标，表示出斜率，并表示出，利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。

2、斜率相乘或相除：通过点的坐标，表示出斜率，并表示出或；利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。

3、斜率倍数关系：通过点的坐标，表示出斜率，并表示出，转化为；利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。

4、斜率呈等差数列或等比数列：当斜率呈等差数列时，则，当斜率呈等比数列时，则，最后利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。

5、斜率求解范围：通过点的坐标，表示出斜率，并表示斜率的关系；利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，韦达定理带入，最后利用基本不等式、二次函数或导数求解最值。

【考点剖析】

考点一：斜率关系一（斜率加减运算）

例1．在平面直角坐标系中，已知点，，点M满足．记点M的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)设直线l不经过点且与曲线C相交于A，B两点．若直线l过定点，证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值.

变式训练1：如图，椭圆经过点，且长轴长是短轴长的倍．

(1)求椭圆的方程；

(2)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、（均异于点），求证：直线与的斜率之和为定值．

变式训练2：已知双曲线的一条渐近线斜率为，且双曲线C经过点．

(1)求双曲线C的方程；

(2)斜率为的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为、，若，求直线l的方程．

变式训练3：已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)设直线过点且与曲线相交于两点，不经过点．证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值．

考点二：斜率关系二（斜率乘除运算）

例1．已知椭圆的离心率为，左顶点到左焦点的距离为1，椭圆上一点位于第一象限，点与点关于原点对称，直线与椭圆的另一交点为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线的斜率为，直线的斜率为．求证：为定值．

变式训练1：已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且．

(1)求抛物线的方程；

(2)若，是抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．

变式训练2：已知点，，设动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）若动直线经过点，且与曲线交于（不同于）两点，问：直线与的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

变式训练3：已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，点，试探究：直线与的斜率之积是否为常数.

考点三：斜率关系三（倍数关系）

例1．已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的左、右顶点分别为A、B，直线l：经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆交于M，N两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线BM，AN的斜率分别为，，若，求证：为定值．

变式训练1：已知椭圆的离心率为，短轴长为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知，A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点A作斜率为的直线交椭圆于另一点E，连接EP并延长交椭圆于另一点F，记直线BF的斜率为．若，求直线EF的方程．

变式训练2：已知圆，点，C为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，点P的轨迹为曲线E．

(1)求曲线E的方程；

(2)若直线不与坐标轴重合与曲线E交于两点，O为坐标原点，设直线的斜率分别为，对任意的斜率k，是否存在实数λ，使得，若存在求实数λ的值，若不存在说明理由.

变式训练3：已知椭圆：的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆的方程．

(2)如图，A，B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M，N，直线AM与直线交于点P．记PA，PF，BN的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

考点四：斜率关系四（斜率成等差数列）

例1．已知抛物线：，点在抛物线上.

(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；

(2)若直线：交抛物线于两点，交直线：于点，记直线的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列.

变式训练1：已知椭圆C：的焦距为，点在上.

(1)求的方程；

(2)过点的直线与交于两点，点R是直线：上任意一点，设直线的斜率分别为，，，若，，成等差数列，求的方程.

变式训练2：．已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于两点．当直线与轴垂直时，．

(1)求抛物线的方程；

(2)设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线的斜率成等差数列，求点的坐标．

变式训练3：已知中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点.

（1）求的标准方程；

（2）是否存在不过原点的直线与交于两点，使得直线的斜率成等比数列､若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

考点五：斜率关系五（范围）

例1．已知椭圆的离心率为，C的左，右焦点分别为，A，B是C上关于原点对称的两点，四边形的周长为.

(1)求C的方程；

(2)设分别为直线和的斜率，求的取值范围.

变式训练1：已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点相同，且椭圆过点

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若椭圆的右顶点为，与轴不垂直的直线交椭圆于，两点与点不重合，，且满足，若点为中点，求直线与的斜率之积的取值范围.

变式训练2：已知椭圆：过点，左焦点为.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知直线与椭圆有两个不同的交点，，点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围.

变式训练3：已知点是椭圆的左顶点，椭圆的离心率为，

(1)求椭圆的方程；

(2)斜率为的直线交椭圆于两点，点在椭圆上，，且，证明：.

【当堂小结】

1、知识清单：

（1）椭圆，双曲线，抛物线简单性质；

（2）斜率的相关表示，斜率的运算（加、减、乘、除）；

（3）利用基本不等式，导数等方法求解范围；

2、易错点：斜率的计算和范围求解；

3、考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化；

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

1．在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为，，当时，．

(1)求C的方程；

(2)证明：为定值．

2．已知动点M到直线的距离是M与点距离的倍，记M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)动直线与C交于两点A，B，曲线C上是否存在定点P，使得直线的斜率和为零？若存在求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

3．已知椭圆C的两个焦点为，，并且椭圆C经过点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)斜率不为0的直线 l 过定点，且与椭圆C交于点A､B两点，在椭圆C上是否存在定点P，使得为定值？如果存在，求出定点P的坐标和定值；如不存在，请说明理由.

4．已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，双曲线C的右焦点为，双曲线C的左、右顶点分别为A，B．

(1)求双曲线C的方程；

(2)过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴的上方），直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，证明：为定值．

5．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，点Q是PF的中点，且Q到抛物线C的准线的距离为．

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知圆，圆M的一条切线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：OA，OB的斜率之差的绝对值为定值．

6．在平面直角坐标系中，已知点，，直线与直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)若点为曲线上的任意一点（不含短轴端点），点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．

7．如图，已知点是拋物线的准线上的动点，拋物线上存在不同的两点满足的中点均在上.

(1)求拋物线的方程；

(2)记直线的斜率分别为，请问是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

8．已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.过点的直线l交椭圆于A，B两点.

(1)求该椭圆的方程；

(2)若点P为直线上的动点，记直线PA，PM，PB的斜率分别为，，.求证：，，成等差数列.

9．已知椭圆的左､右焦点分别是，其离心率，点是椭圆C上一点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设是椭圆C上的一动点，由原点O向引两条切线，分别交椭圆C于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，求证：为定值.

10．已知抛物线，，点在上，且不与坐标原点重合，过点作的两条切线，切点分别为，.记直线，，的斜率分别为，，.

(1)当时，求的值；

(2)当点在上运动时，求的取值范围.