北师大版初中数学七年级下册第四单元《三角形》单元测试卷（困难）（含答案解析）

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北师大版初中数学七年级下册第四单元《三角形》单元测试卷（困难）（含答案解析）考试范围：第四单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  如图中，分别延长边，，，使得，，，若的面积为，则的面积为(    )A.  B.  C.  D. 2.  在同一平面内，线段，线段，则线段的取值范围是(    )A.  B.  C. 或 D. 3.  如图，矩形中，点是边的中点，点在边上，且，动点从点出发，以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止．设点运动秒时，的面积为，如图是关于的函数图象，则图中，的值分别是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，4.  如图，已知≌，，，则的度数是(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  如图，在中，、分别是边、上的点，若≌≌，则下列结论正确的有。(    )平分  A. 个 B. 个 C. 个 D. 个6.  有一张三角形纸片，已知，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，所剪下的三角形纸片不一定是全等图形的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图，，，，添加下列条件，不能推理得到≌的是(    ) A.  B.  C.  D. 8.  如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过秒时，与全等注：点与不重合(    )
 A.  B. 、 C. 、、 D. 、、9.  已知中，，，过点任作直线，过点、点分别作的垂线、，垂足分别为、若，，则的长是(    )A.  B.  C. 或 D. 或10.  如图，点，分别在直线两侧，若直线上存在一个点，使，则以下通过作图找点的方法正确的是
 A.  B.
C.  D. 11.  要测量河两岸相对的两点，的距离，先在的垂线上取两点，，使，再作出的垂线，使与，在一条直线上如图所示，可以测得的长就是的长即测得河宽，可由≌得到，判定这两个三角形全等的理由是．(    )
 A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 边边角12.  我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，从而保证伞圈能沿着伞柄滑动．为了证明这个结论，我们的依据是(    )
 
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.  中，则边上的中线的取值范围是       ．
 14.  如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当______秒时，与全等．15.  已知线段，在的延长线上取一点，使，则________．
 16.  如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识画出一个与此三角形全等的三角形，他画图依据的基本事实是______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
如图，在直角坐标系中，已知，，将线段平移至，点在轴正半轴上不与点重合，连接，，，．
 写出点的坐标；当的面积是的面积的倍时，求点的坐标；设，，，判断、、之间的数量关系，并说明理由． 18.  本小题分
已知，关于的分式方程．
当，时，求分式方程的解；
当时，求为何值时分式方程无解；
若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值．19.  本小题分
已知：在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点与原点重合，坐标为．
直接写出点的坐标______．
动点从点出发以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，当为何值时，轴？
在的运动过程中，当运动到什么位置时，使的面积为？求出此时点的坐标？
20.  本小题分如图，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．如图，当__时，的面积等于面积的一半；如图，在中，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点的运动速度． 21.  本小题分
如图，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把、、集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围是______；

如图，在中，是边上的中线，点、分别在、上，且，求证：；
如图，在四边形中，为钝角，为锐角，，，点、分别在、上，且，连接，试探索线段、、之间的数量关系，并加以证明．22.  本小题分
作图题：
如图，已知点，点，直线及上一点．
连接，并在直线上作出一点，使得点在点的左边，且满足；
请在直线上确定一点，使点到点与点到点的距离之和最短，并写出画图的依据．
 23.  本小题分
如图，已知，，，为上一点，且到，两点的距离相等．
用直尺和圆规，作出点的位置不写作法，保留作图痕迹；
连结，若，则______度．
24.  本小题分
如图，已知，用尺规在上确定一点，使．
25.  本小题分
如图，要测量池塘、两点间的距离，可以在的垂线上取两点、，使，再过点作出的垂线，并在上找一点，使、、在一条直线上，这时，测量的长就是的长，为什么？

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度．连接和，要求三角形的面积，可以分成三部分来分别计算，三角形是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行分析计算，即可解得的面积．
【解答】
解：连接和，

，
，，
，
，
，
同理可以求得：，则；
；
，
故选D．  2.【答案】 【解析】解：根据三角形的三边关系，得
，
则．
当三点在同一直线上时，或
故选：．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析求解．
此题主要考查了三角形的三边关系，注意理解如何根据已知的两条边求第三边的范围．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了动点问题的函数图像，掌握三角形的高与面积的关系是解题关键．根据题意，按照动点从点出发，以每秒的速度沿的方向运动，分不同运动阶段，结合函数图象，求得矩形的边长，进一步求得答案．
【解答】
解：动点从点到运动时，的面积不变为定值，动点从秒运动到秒，共秒，
以每秒的速度沿的方向运动，所以
点是边的中点，所以
动点从点到运动时，的面积从逐渐增大到定值，动点从秒运动到秒，共秒，
所以，
点在边上，且，所以，，
动点从点出发时，的面积为：
动点从点到运动时，的面积从定值逐渐减小到，动点从秒运动到秒，共运动秒，
所以
即图中、的值分别是，．  4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质计算即可．
【解答】
解：，
，
≌，
，，
，
，
，
，
故选：．  5.【答案】 【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质，找到相应等量关系是解题的关键．判断各个选项的正误，要由已知条件：≌≌得出相等的角，相等的边，就可得到答案了． 【解答】解：如图，≌ 
，，， 
≌ 
， ，，，平分，正确； ， ，正确；又，正确；
 
又， 
，正确；所以个选项均正确 
故选A   6.【答案】 【解析】解：、由全等三角形的判定定理证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
B、由全等三角形的判定定理证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
C、如图，

，，
，
是对应边，
由判定两个小三角形全等
故本选项不符合题意；
D、如图，

，，
，
所以其对应边应该是和，而已知给的是，
所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定定理进行判断即可．
本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．
 7.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法的掌握情况．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、根据三角形判定定理，逐项确定即可．
【解答】
解：，，
，
，则在和中，
，
≌，
故A不符合题意；
，则和中，
，
≌，
故B不符合题意；
，无法证明≌；
故C符合题意；
，，
，则和中，
，
≌，
故D不符合题意．
故选C．  8.【答案】 【解析】解：当在线段上，时，≌，
，
，
，
点的运动时间为秒；
当在上，时，≌，
，
，
，
点的运动时间为秒；
当在上，时，≌，
，
，
，
点的运动时间为秒，
综上所述，点经过、、秒时，与全等．
故选：．
首先分两种情况：当在线段上和当在上，然后再分成两种情况：和，分别进行计算，即可得出结果．
本题考查了全等三角形的综合问题，分类讨论，找到所有符合题意的情况是解本题的关键．
 9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．
利用互余关系证明，又，，故可证≌，从而有，，利用线段的和差关系证明结论，进而得出答案；
类似于的方法，证明≌，从而有，，可推出、与之间的数量关系，进而得出答案．
【解答】
解：图中，，图中，．
，，
，
，
，，
，
在和中，


，
≌，
，，
，
；
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
．
故选D．  10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了尺规作图，熟练掌握作图方法是解本题的关键．
【解答】
A.连结，则，，故A不正确；
B.作点关于的对称点，由对称的性质得，故B正确；
C.过点作的垂线段，则，而，故C不正确；
D.以为圆心，以为半径作弧，只能得，而无法得到，故D不正确．
故选B．  11.【答案】 【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．由已知可以得到，又，，由此根据角边角即可判定≌．【解答】解：，

又，
≌
故选B．  12.【答案】 【解析】解：根据伞的结构可知，，伞骨，是公共边，
在和中，
，
，
，
即平分．
故选：．
根据确定三角形全等的条件进行判定即可得解．
本题考查了全等三角形的应用，理解题意确定出全等的三角形以及全等的条件是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】【分析】本题关键是把、、转化为一个三角形中，根据三角形三边关系求解，为此延长中线，构造全等三角形，从而把转化成，问题得到解决．【解答】解：延长至，使，连接．
，，，
≌，
．
在中，，
即，
．
故答案为．  14.【答案】或或 【解析】解：由题意得，，，
，，
当点在上时，当点在上时，
当点在上时，当点在上时，
如图，

当≌时，
则，
即，
解得：秒，
如图，

点与点重合，
与全等，
则，
．
解得：秒，
如图，

当点与重合时，≌，
则，
即，
解得：秒，
综上所述：当秒或秒或秒时，与全等，
故答案为：或或．
本题首先分情况用表示出和，然后分情况讨论，根据全等三角形的性质列式计算．
本题考查的是全等三角形的性质、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了线段的和差和线段的计算，解题关键在于根据题目的条件判断出和的关系即可得出答案．
【解答】
解：的延长线上取一点，使，
，
故答案为：．  16.【答案】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 【解析】解：依据为：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
故答案为：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
根据全等三角形的判定方法解答即可．
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
 17.【答案】解：如图，

，，
，
；
设，当的面积是的面积的倍时，
若点在线段上，
，
，
，
；
若点在线段延长线上，
，
，
，

如图．

过点作，
由平移的性质知．
．
，．
若点在线段上，
，
即；
若点在线段延长线上，
，
即． 【解析】此题是几何变换综合题，主要考查了点三角形面积的计算方法，平移的性质，平行线的性质和判定，解本题的关键是分点在线段上，和延长线上两种情况．
根据平移的性质，确定出，，得出；
分点在线段和在延长线两种情况进行计算；
分点在线段上时，和在延长线两种情况进行证明；
 18.【答案】解：
把，代入分式方程中，得

方程两边同时乘以得，
，
，

检验：当时，，所以原分式方程的解是．
把代入分式方程得

方程两边同时乘以，



当时，即，方程无解；
当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，．
综上所述，或时，分式方程无解．
把代入分式方程，得：

方程两边同时乘以，

整理得：

，且为正整数，为整数
必为的因数，

的因数有、、、、、、、
但、、小于，不合题意，故可以取、、、、这五个数．
对应地，方程的解为、、、、
由于为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，只可以取、、、，
所以满足条件的可取、、、这四个数． 【解析】将和的值代入分式方程，解分式方程即可；
把的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值，使分式方程无解即可；
将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数确定的取值．
本题主要考查分式方程，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
 19.【答案】
由运动知，，，
，
，
四边形是平行四边形
，
，
，
当为时，，
的面积为，
，
，
或
即：当运动到距原点位置时，使的面积为，此时点的坐标或． 【解析】解：四边形是长方形，，，点与原点重合，
点
故答案为：；
由运动知，，，
，
，
四边形是平行四边形
，
，
，
当为时，，
的面积为，
，
，
或
即：当运动到距原点位置时，使的面积为，此时点的坐标或．
由，，点与原点重合，可求点坐标；
根据运动特点，和平行四边形的性质即可得出，建立方程即可求出时间，
根据三角形的面积公式求出即可．
此题是四边形综合题，主要考查了长方形性质，平行线的性质，三角形的面积公式．解本题的关键是根据题意表示出，，是一道比较简单的中考常考题．
 20.【答案】解：当点在上时，如图，
若的面积等于面积的一半；则，
此时，点移动的距离为，
移动的时间为：秒，
当点在上时，如图
若的面积等于面积的一半；则，即点为中点，
此时，点移动的距离为，
移动的时间为：秒，
故答案为：或；
≌，即，对应顶点为与，与，与；
当点在上，如图所示：
此时，，，
点移动的速度为，
当点在上，如图所示：
此时，，，
即，点移动的距离为，点移动的距离为，
点移动的速度为，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，点的运动速为或． 【解析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键．
分两种情况进行解答，当点在上时，当点在上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点移动的距离，从而求出时间即可；
由≌，可得对应顶点为与，与，与；于是分两种情况进行解答，当点在上，当点在上，分别求出移动的距离和时间，进而求出的移动速度．
 21.【答案】解：；
证明：如图中，延长到，使得，连接，．

，，，
≌，
，
，，
，
在中，，
，，
．
结论：．
理由：延长到，使得．

，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
． 【解析】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
证明≌，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可．
如图中，延长到，使得，连接，证明≌，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题．
结论：延长到，使得，通过两次全等证明即可解决问题．
【解答】
解：如图中，

，，，
≌，
，
，
，
，
故答案为；
见答案．
 22.【答案】解：作图如图所示：

作图如图所示：作图依据是：两点之间线段最短．
 【解析】连接，以为圆心，为半径画弧交直线于，点即为所求；
连接交直线于点，点即为所求；
本题考查作图复杂作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 23.【答案】如图，点为所作；

． 【解析】解：
见答案；
中，，，
，
，
，
．
故答案为：．
作的垂直平分线交与，则；
先利用互余计算出，然后利用得到，然后计算即可．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 24.【答案】解：如图，点即为所求． 【解析】作线段的垂直平分线交于点，则点即为所求．
本题考查的是作图复杂作图，熟知线段垂直平分线的作法与性质是解答此题的关键．
 25.【答案】证明：，

又，
≌
所以． 【解析】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑证明三角形全等，从而推出线段相等．
本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．