专题2.6 有理数的规律问题（重点题专项讲练）-七年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

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专题2.6  有理数的规律问题【典例1】观察下列各式：13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；猜想并填空：（1）13+23+33+43+53＝　            　2＝　            　2；根据以上规律填空：（2）13+23+33+…+n3＝　            　2＝　            　2；（3）求解：163+173+183+193+203．【思路点拨】（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；（3）利用（2）中的结论进行计算．【解题过程】解：（1）由题意可得：13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，故答案为：（1+2+3+4+5）；15；（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[]2，故答案为：（1+2+3+...+n）；[]；（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2＝[]2﹣[]2＝2102﹣1202＝44100﹣14400＝29700．1．（2022•从化区一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；（2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4…．利用以上规律计算：f（2022）﹣f（）等于（　　）A．2021 B．2022 C． D．2．（2020秋•历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2020次落下时，落点表示的数是（　　）A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．10103．（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　）A．253 B．255 C．257 D．2594．（2020秋•红谷滩区校级期中）已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此规律，1+3+5+…+19＝　   　．5．（2020秋•许昌期中）观察等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…．通过观察，用你发现的规律确定22021的个位数是 　   　．6．（2022•澧县模拟）观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32022的结果的个位数字是 　 　．7．（2021•江华县一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝1，f（4）＝1，…．利用以上运算的规律求出2021f（2021）＝　   　．8．（2021秋•吉安期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是　   　；数﹣201是第　   　行从左边数第　   　个数．9．（2021春•滨湖区期中）观察以下一系列等式：①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝　   　．10．找规律，完成下列各题：（1）如图①，把正方形看作1，　   　．（2）如图②，把正方形看作1，　   　．（3）如图③，把正方形看作1，　   　＝　   　．（4）计算：　   　．（5）计算：　   　．11．（2020•砚山县三模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝1，f（4）＝1（1）利用以上运算的规律写出f（n）＝　   　；（n为正整数）（2）计算：f（1）•f（2）•f（3）…f（100）的值．      12．（2021秋•长兴县月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；①|7﹣21|＝　   　；②|0.8|＝　   　；③||＝　   　；（2）用合理的方法计算：||+||﹣||；（3）用简单的方法计算：||+||+||+…+||．      13．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100式在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式式减去式，得2S﹣S＝2101﹣1即S＝2101﹣1即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1【理解运用】计算（1）1+3+32+33+…+399+3100（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．     14．计算：　   　，　   　，　   　，　   　．你发现什么规律了吗？　   　把下列的小数化为分数：0.111...＝　   　，0.222...＝0.1111...×　   　＝　   　×　   　＝　   　，0.262626...＝0.010101...×　   　＝　   　×　   　＝　   　．你会将任意一个无限循环小数化为分数了吗？请自己总结规律，并计算：0.125912591529...＝　   　，0.326457326457...＝　   　．不要忘记，能约分的要约分哟！     15．（2020秋•渝北区校级期中）阅读材料，根据材料回答：例如1：（﹣2）3×33＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3＝[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]＝[（﹣2）×3]3＝（﹣6）3＝﹣216．例如2：86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）＝（8×0.125）6＝1．（1）仿照上面材料的计算方法计算：．（2）由上面的计算可总结出一个规律：an•bn＝　   　（用字母表示）；（3）用（2）的规律计算：．      16．（2020秋•南岗区校级月考）阅读材料，回答下列问题．通过计算容易发现：①；②；③（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式：　   　；（2）通过观察，计算的值．（3）探究上述的运算规律，试计算的值．       17．（2021秋•松江区期中）阅读理解题；；．（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式：　   　+　   　；　   　+　   　．（2）利用以上所得的规律进行计算：．（3）结合以上规律，通过适当变形，进行计算：．        18．（2021秋•通川区校级月考）探索发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题：（1）　   　，　   　；（2）利用你发现的规律计算：；（3）计算：．