专题4.2 角的旋转问题（压轴题专项讲练）-七年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

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专题4.2 角的旋转问题

【典例1】已知如图1，∠AOB=40°

(1)若∠AOC=13∠BOC，则∠BOC= ;
(2)如图2，∠AOC=20°，OM为∠AOB内部的一条射线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
求4∠AON+∠COM的值；
(3)如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+
∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
【思路点拨】
（1）分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部时，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=34∠AOB；②OC在∠AOB外部时，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=32∠AOB．
（2）设∠CON=x°，根据题意用x表示有关角的度数，最终得4∠AON+∠COM的值；
（3）按OM和ON的不同位置分五种情况分别讨论，记OM转过的角度为α，第一种情况：当0＜α≤60°，即0＜t≤12时；第二种情况：当60°＜α≤180°时，即12＜t≤36时；第三种情况：当180°＜α≤240°时，即36＜t≤48时；第四种情况：当240°＜α≤340°，即48＜t≤68时；第五种情况：当340°＜α≤360°，即68＜t≤72时．用t表示出有关角的度数，再求4∠AON+∠BOM的最后结果．
【解题过程】
解：（1）分两种情况讨论：①C在∠AOB内部时，如下图，

∵∠AOC=13∠BOC，
∴∠BOC=34∠AOB=×40°=30°，
②OC在∠AOB外部时，如下图，

∠AOC=13∠BOC，
∴∠BOC=32∠AOB=32×40°=60°，
综上所述：∠BOC=30°或60°；
故答案为：30°或60°．
（2）
证明：设∠AON=x° ，
则∠CON=（20-x）°，
∠NOM=3∠CON=(60-3x）°，
∠COM=(80-4x）° ，
所以4∠AON+∠COM=80°．
（3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论：
第一种，当0°＜α≤60°，即0＜t≤12时，如下图，

射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=60°-5t°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
∴∠CON=14∠COM，
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-14∠COM=20°-14（60°-5t°）=5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+5t°=20°+10t°，
∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM=20°+10t°，不是定值．
第二种情况：当60°＜α＜180°，即12＜t＜36时，如下图，

∵∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠MOB-∠BOC=5t°-60°，
∵∠CON=14∠COM，
∴∠AON=∠COA+∠CON=∠COA+14∠COM=20°+14（5t°-60°）=5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+5t°=10t°+20°，
∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值．
第三种情况：当180°≤α≤240°，即36≤t≤48时，如下图，

由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=5t°-60°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
∴∠AON=∠CON+∠COA=14∠COM+∠COA=14（5t°-60°）+20°=5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+360°-5t°=380°，
∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；
第四种情况：当240°＜α＜340°时，即48＜t＜68，如下图，

由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
∴∠AON=∠CON-∠COA=14∠COM-∠COA=14（420°-5t°）-20°=85°-54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（85°-54t°）+360°-5t°=700°-10t°，
∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值；
第五种情况：当340°≤α≤360°，即68≤t≤72时，如下图，

由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-14∠COM=20°-14（420°-5t°）=54t°-85°，
∴4∠AON+∠BOM=4（54t°-85°）+360°-5t°=20°，
∴68≤t≤72时，4∠AON+∠COM为定值20°．
综上所述：当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；当68≤t≤72时，4∠AON+∠COM=20°，为定值20°．







1．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方，将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转一周．

(1)三角板从图1位置旋转到图2位置（OM落在射线OA上），ON旋转的角度为  ______；
(2)在三角板从图1旋转到图3位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM所在直线恰好平分∠BOC时，求出三角板绕点O运动的时间．
【思路点拨】
（1）根据旋转的性质知，旋转角∠MON=90°；
（2）分两种情况，画出图形，根据角的和差可得答案．
【解题过程】
（1）解：依题意知，旋转角是∠MON，且∠MON=90°．
故答案为：90；
（2）解：设运动时间为t秒，
∵∠AOC：∠BOC=2：1，
∴∠AOC=120°，∠BOC=60°，
如图，

当ME平分∠BOC时，
∴∠AOM=∠BOE=12∠BOC=30°，
∴15t=60°，解得t=4；
如图，

当OM平分∠BOC时，
∴∠BOM=12∠BOC=30°，
∴15t=360°-120°，解得t=16．
答：当t 运动4秒或16秒，OM所在直线恰好平分∠BOC．
2．（2022·陕西·西安辅轮中学七年级期末）已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

(1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；
(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t