专题4.3 基本平面图形（压轴题综合训练卷）-七年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

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专题4.3 基本平面图形（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得 分


一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022·全国·七年级专题练习）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（    ）．
A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体
C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线
【思路点拨】
根据从运动的观点来看点动成线，线动成面进行解答即可．
【解题过程】
“枪挑”是用枪尖挑，枪尖可看作点，棍可看作线，故这句话从数学的角度解释为点动成线，线动成面．
故选A．
2．（2022·全国·七年级专题练习）把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（    ）

A． B．
C． D．
【思路点拨】
在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．
【解题过程】
解：将正方形展开并标上顶点可得如下图所示：

其中C1与C相接，B1与B相接，D1与D相接，A1与A相接，B1′与B′相接，D1′与D′相接.
故和选项B符合
故选：B．
3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，下列说法中不正确的是（　　）

A．∠1与∠AOB是同一个角 B．∠α与∠COB是同一个角
C．∠AOC可以用∠O来表示 D．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC
【思路点拨】
根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时，这个角才可以用一个顶点字母来表示，由此可得结论．
【解题过程】
解：A、∠1与∠AOB表示的是同一个角，故A说法正确，不符合题意；
B、∠α与∠COB是同一个角，故B说法正确，不符合题意；
C、以O为顶点的角一共有三个，不能用一个顶点字母表示，故C说法错误，符合题意；
D、由图可知，图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC，故D说法正确，不符合题意．
故选：C．
4．（2022·全国·七年级课时练习）如果一个角的度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（  ）
A．50° B．70° C．130° D．160°
【思路点拨】
根据互为补角的定义结合已知条件列方程求解即可．
【解题过程】
解：设这个角是x，则它的补角是：(180−x)，
根据题意，得：
x=2(180−x)+30，
解得：x=130，
即这个角的度数为130°．
故选：C．
5．（2022·黑龙江双鸭山·七年级期末）下列说法中正确的个数为（    ）
①射线OP和射线PO是同一条射线；②连接两点的线段叫两点间的距离；③两点确定一条直线；④若AC=BC，则C是线段AB的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
根据射线的定义及其表示可判断①；根据两点间的距离定义可判断②；根据直线基本事实可判断③；根据线段中点定义可判断④，然后可得出结论．
【解题过程】
解：①直线上一点和她一旁的部分，射线OP端点是O，从O向P无限延伸，射线PO端点是P，从P向O无限延伸，所以不是同一条射线，故①错误；
②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故②错误；
③经过两点有且只有一条直线，两点确定一条直线符合基本事实，故③正确；
④把一条线段分成两条相等的线段的点，若AC=BC，点C可以在线段AB上时，C是线段AB的中点，若AC=BC，点C在线段AB外时，点C不是线段AB的中点，故④错误
正确的个数是1．
故选择A．
6．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（    ）
甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为12(b−a)；
乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为12(a−b)；
丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为12(a+b)．

A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确
【思路点拨】
分别求得点C在线段AB上运动时，点C在射线AB上运动时和点C在射线BA上运动时，线段MN的长度，判定即可．
【解题过程】
解：点C在线段AB上运动时，如下图：

MN=12AC+12BC=12AB=12(b−a)
甲说法正确；
当点C在射线AB上运动时，如下图：

MN=12AC−12BC=12AB=12(b−a)
乙说法不正确；
当点C在射线BA上运动时，如下图：

MN=12BC−12AC=12AB=12(b−a)
丙说法不正确
故选A
7．（2022·全国·七年级课时练习）如图，直线AB,CD相交于点O,∠AOC=∠BOD，∠EOF=∠COG=90°,OA平分∠COF，射线OD将∠BOE分成了角度数之比为2:1的两个角，则∠COF的大小为（ ）

A．45° B．60° C．72°或45° D．40°或60°
【思路点拨】
设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或12x°，表示出其他角，根据平角列方程即可．
【解题过程】
解：设∠DOE=x°，射线OD将∠BOE分成了角度数之比为2:1的两个角，
当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD=12x°，∠AOC=∠BOD=12x°，
∵OA平分∠COF，
∴∠AOC=∠AOF=12x°，
∵∠EOF=∠COG=90°,∠COD=180°，
∴12x+12x+90+ x=180，
解得，x=45；
∠COF=2∠AOC=45°；
当∠BOD: ∠DOE =2:1时，∠BOD=2x°，∠AOC=∠BOD=2x°，
同理， ∠AOC=∠AOF=2x°，
2x+2x+90+ x=180，
解得：x=18，
∠COF=2∠AOC=72°；
故选：C．
8．（2022·江苏·七年级专题练习）已知，点C在直线 AB 上， AC=a ， BC=b ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（    ）
A．a+b2 B．a−b2 C．a+b2或a−b2 D．a+b2或|a−b|2
【思路点拨】
由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．
【解题过程】
解：由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．

∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AM=12AB=12(a+b)，
∴MC=AC﹣AM=a−12(a+b)=a−b2．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．

∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．
∵点M是AB的中点，∴AM=12AB=12(a−b)，
∴MC=AC﹣AM=a−12(a−b)=a+b2．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．

∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AM=12AB=12(a+b)，
∴MC=AM﹣AC=12(a+b)−a=b−a2．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．

∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．
∵点M是AB的中点，∴AM=12AB=12(b−a)，
∴MC=AC+AM=a+12(b−a)=a+b2．
综上所述：MC的长为a+b2或a−b2（a＞b）或b−a2（a＜b），即MC的长为a+b2或a−b2．
故选D．
9．（2022·江苏·七年级期末）在锐角∠AOB内部由O点引出3种射线，第1种是将∠AOB分成10等份；第2种是将∠AOB分成12等份；第3种是将∠AOB分成15等份，所有这些射线连同OA､OB可组成的角的个数是（    ）
A．595 B．406 C．35 D．666
【思路点拨】
设锐角∠AOB=α，第1种中间由9条射线，每个小角为α10，第2种中间由11条射线，每个小角为α12，第3种中间由14条射线，每个小角为α15，利用∠AOB内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射线，第一种第m被倍小角为mα10，第二种n倍小角nα12，与第三种p倍小角pα15相同，则m10=n12=p15，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种, 第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在∠AOB中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可．
【解题过程】
设锐角∠AOB=α
第1种是将∠AOB分成10等份；中间由9条射线，每个小角为α10，
第2种是将∠AOB分成12等份；中间由11条射线，每个小角为α12，
第3种是将∠AOB分成15等份，中间由14条射线，每个小角为α15，
设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，
第一种第m倍小角为mα10，第二种n倍小角nα12，与第三种p倍小角pα15相同
则m10=n12=p15，
先看三种分法中同时重合情况m:n:p=10:12:15除OA，OB外没有重合的，
再看每两种分法重合情况
第1种, 第2种, m:n=5:6，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，
第1种,第3种，m:p=2:3，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，
第2种,第3种, n:p=4:5,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，
在∠AOB中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，
29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=12×28×28+1=406个角．
故选择：B．
10．（2022·全国·七年级课时练习）已知线段AB＝4cm，点C是直线AB上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若点C为线段AB的中点，则AC＝2cm；②若AC＝1cm，则点C为线段AB的四等分点；③若AC+BC＝4cm，则点C一定在线段AB上；④若AC+BC＞4cm，则点C一定在线段AB的延长线上；⑤若AC+BC＝8cm，则AC＝2cm．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
根据线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算正确结论即可.
【解题过程】
解：（1）如图1所示：

∵点C为线段AB的中点，
∴AC＝BC＝12AB，
又∵AB＝4cm，
∴AC＝2cm，
∴结论①正确；
（2）如图2所示：

∵AC1＝1，AB＝4，
∴AC1=14AB，
∴点C1为线段AB的四等分点
又∵AC2＝1，
∴AC2=14AB
又∵点C2在AB的反向延长线上，
∴点C2不是线段AB的四等分点，
∴结论②错误；
（3）如图3所示：

点C为线段AB上的一动点，
∴AB＝AC+BC，
又∵AB＝4cm，
∴AC+BC＝4cm，
∴结论③正确；
（4）如图4所示：

若点C在AB的延长线上时，
AC1+BC1＞AB，
∵AB＝4，
∴AC1+BC1＝AB+2BC1＞4cm，
若点在AB的反向延长线上时，
AC2+BC2＞AB，
∵AB＝4，
∴AC2+BC2＝AB+2AC2＞4cm，
∴结论④正确；
（5）如图5所示：

若点C在线段AB的延长线时，且AC1＝6cm，有
AC1+BC1＝8cm，
若点C在线段AB的反向延长线时，且AC2＝2cm，有
AC2+BC2＝8cm，
∴结论⑤错误．
综合所述；正确结论是①、③、④，
故选：C．

评卷人
得 分


二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022·全国·七年级专题练习）如图，一个正方体形状的木块，棱长为2米，若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，得到若干个大大小小的长方体木块，则所有这些长方体木块的表面积和是_______平方米．

【思路点拨】
根据题干分析可得：每切一刀，就增加2个正方体的面的面积，由此只要求出一共切了几刀，即可求出一共增加了几个正方体的面的面积，再加上原来正方体的表面积，就是这60块长方体的表面积之和．沿水平方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小块，是切了4刀，所以一共切了2+3+4=9刀，所以表面积一共增加了9×2=18个正方体的面，由此即可解答问题．
【解题过程】
解：沿水平方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小块，是切了4刀，所以一共切了2+3+4=9刀，
所以这60个小长方体的表面积之和是：2×2×6+9×2×2×2=24+72=96（平方米）
故答案是96．
12．（2022·全国·七年级课时练习）已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝13∠COD，OE平分∠COD，设∠AOB＝β，则∠BOE＝_____．（用含β的代数式表示）
【解题过程】
解：如图1，

∵∠AOB＝β，OC是∠AOB的平分线，
∴∠COB=12β，
∵∠BOD＝13∠COD，
∴∠BOD＝14∠COB=18β，∠COD=38β，
∵OE平分∠COD，
∴∠EOD=12∠COD=316β，
∠BOE＝316β+18β=516β；
如图2，

∵∠AOB＝β，OC是∠AOB的平分线，
∴∠COB=12β，
∵∠BOD＝13∠COD，
∴∠BOD＝12∠COB=14β，∠COD=34β，
∵OE平分∠COD，
∴∠EOD=12∠COD=38β，
∠BOE＝38β-14β=18β；
故答案为：18β或516β
13．（2022·江苏·七年级专题练习）已知在数轴上有A、B、C三点，表示的数分别是-3，7，x，若AC=4，点M、N分别是AB、AC的中点，则线段MN的长度为______．
【思路点拨】
根据两点间的距离可得x=1或-7，当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，1时，得到点M表示的数为2，点N的坐标是-1；当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，-7时，则点M表示的数为2，点N的坐标是-5，然后分别计算MN的长．
【解题过程】
解： AB=7-（-3）=10；
∵AC=4，
∴|x-（-3）|=4，
∴x-（-3）=4或（-3）-x=4，
∴x=1或-7；
当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，1时，如图1，

∵点M、N分别是AB、AC的中点，
∴AM=BM=12AB=5，AN=CN=12AC=2，
∴MN=AM-AN=5-2=3；
当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，-7时，如图2，

∵点M、N分别是AB、AC的中点，
∴AM=BM=12AB=5，AN=CN=12AC=2，
∴MN=AM+AN=5+2=7；
∴MN=7或3．
14．（2022·江西吉安·七年级期末）射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，∠AOB=60°，∠AOD=40°，∠AOB =3∠BOC，则∠COD的度数为________．
【思路点拨】
分四种情况画图分别进行解答，即①OD在∠AOB的内部，OC在∠AOB的外部，②OD在∠AOB的外部，OC在∠AOB的外部，③OD在∠AOB的外部，OC在∠AOB的内部，④OD在∠AOB的内部，OC在∠AOB的内部．
【解题过程】
解：①当OD在∠AOB的内部，OC在∠AOB的外部，如图1所示；
∵∠AOB=60°，∠AOD=40°，∠AOB=3∠BOC，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=60°-40°=20°，
∠BOC=13∠AOB=13×60°=20°，
∴∠COD=∠BOC+∠BOD=20°+20°=40°；

②当OD在∠AOB的外部，OC在∠AOB的外部，如图2所示；
∠COD=∠DOA+∠AOB+∠BOC=40°+60°+20°=120°；

③当OD在∠AOB的外部，OC在∠AOB的内部，如图3所示；
∠COD=∠AOD+∠AOC=∠AOD+（∠AOB-∠BOC）=40°+（60°-20°）=80°；

④当OD在∠AOB的内部，OC在∠AOB的内部时，OC与OD重合，不符合题意；
所以，∠COD的度数为40°或80°或120°，
故答案为：40°或80°或120°．
15．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，数轴上有两点A,B，点C从原点O出发，以每秒1cm的速度在线段OA上运动，点D从点B出发，以每秒4cm的速度在线段OB上运动．在运动过程中满足OD=4AC，若点M为直线OA上一点，且AM−BM=OM，则ABOM的值为_______．

【思路点拨】
设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算ABOM的值即可．
【解题过程】
解：设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，
∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），
即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；
∴ABOM=b−am=mm=1
②若点M在线段BO上时，如图2所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；
∴ABOM=b−am=b−aa+b=−4a−aa−4a=53
③若点M在线段OA上时，如图3所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：m=a+b3=a−4a3=−a
∵此时m＜0，a＜0，
∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：

由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；
而m＜0，b-a＞0，
因此，不符合题意舍去，
综上所述，ABOM的值为1或53．

评卷人
得 分


三．解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）计算：
(1)45°10′﹣21°35′20′′；
(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；
(3)42°16′+18°23′×2．
【思路点拨】
（1）根据度分秒之间的进率即可解答；
（2）根据度分秒之间的进率即可解答；
（3）先计算乘法，再计算加法即可．
【解题过程】
（1）解：45°10′﹣21°35′20′′=23°34′40′′．
（2）解：48°39′+67°31′﹣21°17′
=116°10′-21°17′
=94°53′．
（3）解：42°16′+18°23′×2
=42°16′+36°46′
=79°2′．
17．（2022·全国·七年级单元测试）如图，平面内有两个点A，B．应用量角器、圆规和带刻度的直尺完成下列画图或测量：

（1）经过A，B两点画直线，写出你发现的基本事实；
（2）利用量角器在直线AB一侧画∠ABC=40°；
（3）在射线BC上用圆规截取BD＝AB（保留作图痕迹）；
（4）连接AD，取AD中点E，连接BE；
（5）通过作图我们知道．AB=BD，AE=DE，观察并测量图形中的角，写出一组你发现的两个角之间可能存在的数量关系．
【思路点拨】
（1）直接过AB两点画直线即可；
（2）用量角器直接画图即可；
（3）以B为圆心，BA长度为半径画圆即可；
（4）用带刻度的直尺量出AD长度取中点即可；
（5）用量角器测量各个角度大小即可；
【解题过程】
（1）画图如下，基本事实：两点确定一条直线
（2）画图如下；
（3）画图如下；
（4）画图如下；
（5）不唯一，正确即可．
例如：∠BDA=∠BAD，∠ABE=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°等
或
18．（2022·山东菏泽·七年级期中）如图①②③是将正方体截去一部分后得到的几何体．
（1）根据要求填写表格：
图
面数（f）
顶点数（v）
棱数（e）
①



②



③



（2）猜想f，v，e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个几何体有2021个顶点，4035条棱，试求出它的面数．

【思路点拨】
（1）根据图形数出即可．
（2）根据（1）中结果得出f+v-e=2．
（3）代入f+v-e=2求出即可．
【解题过程】
解：（1）图①，面数f=7，顶点数v=9，棱数e=14，
图②，面数f=6，顶点数v=8，棱数e=12，
图③，面数f=7，顶点数v=10，棱数e=15，
故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．
（2）f+v-e=2．
（3）∵v=2021，e=4035，f+v-e=2
∴f+2021-4035=2，
f=2016，
即它的面数是2016．
19．（2022·全国·七年级课时练习）晚饭后，小明准备外出散步，出发时看了一下时钟，时间是18时多，时针与分针成90°角，散步完回家，小明又看了一下钟，还不到19时，而时针与分针又恰好成90°角，小明外出了多少分钟？
【思路点拨】
方法1 ：以18时为标准状态，分针比时针落后30小格（30分钟）．设出发的时间为6时x分，由于分针每分钟走1小格，时针每分钟走112小格，因此分针走了x 小格，时针走了112x小格．依题意，若时针与分针初次形成90°角，则分针比时针落后15小格．
方法2： 将该问题看作是钟面上分针追及时针的问题．时针每小时旋转30°，即每分钟旋转0.5°；分针每小时旋转360°，即每分钟旋转6°．由于分针旋转速度比时针快，依题可得，前一个时针与分针的夹角90°可看成分针滞后时针90°，后一个时针与分针的夹角90°可看成分针超前时针90°．
【解题过程】
【方法1】设出发的时间为6时x分．
根据题意，可列出方程：
30−x+x12=15
解得x=18011．
即出发的时间为6时18011分．
设回家的时间为6时y分，此时时针与分针再次成90°角，分针比时针超前15小格，即重叠后再加90°角．根据题意，可列出方程：y=112y=30+15．
解得y=54011
即回家的时间为6时54011分．
所以小明外出的时间为54011−18011=36011=32811 （分）．
答：小明外出时间为32811分．
【方法2】设小明外出时间为x分钟，则在这一过程中，时针旋转0.5x°，分针旋转6x°．根据题意，可列出方程：6x−0.5x=90×2
解得x=36011=32811
答：小明外出时间为32811分．
20．（2022·全国·七年级课时练习）已知，点O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE是∠AOD的平分线．

（1）如图1，若∠COE=63°，求∠BOD的度数；
（2）如图2，OF是∠BOC的平分线，求∠EOF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，OP是∠BOD的一条三等分线，∠DOP=13∠BOD，若∠AOC+∠DOF=∠EOF，请直接写出∠FOP的度数．（不用写过程）
【思路点拨】
（1）由互余得∠DOE度数，进而由角平分线得到∠AOD度数，根据BOD=180°-∠AOD可得∠BOD度数；
（2）由角平分线得出∠AOE=12∠AOD=12(∠AOC+90°)，∠BOF=12(∠BOD+90°)，继而由∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF得出结论．
（3）∠DOF=45°-12∠BOD，结合已知∠AOC+∠DOF=∠EOF和∠AOC+∠BOD=90°可求∠BOD=60°，再由∠FOP=∠DOF+∠DOP即可解答．
【解题过程】
解：（1）∵∠COD=90°，∠COE=63°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=27°，
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOD=2∠DOE=54°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-54°=126°；
答：∠BOD的度数为126°；
（2）∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE=12∠AOD=12∠AOC+90°
∵OF是∠BOC的平分线，
∴∠BOF=∠COF=12∠BOC=12∠BOD+90°，
∴∠EOF=180°−∠AOE−∠BOF=12∠AOC+∠BOD，
∵∠AOC+∠BOD=180°−90°=90°，
∴∠EOF=12×90°=45°，
答：∠EOF的度数为45°；
（3）由（2）得∠EOF=45°，
∵∠AOC+∠DOF=∠EOF=45°，
∴∠DOF=45°-∠AOC，
又∵∠DOF=∠COD−∠COF=90°−12∠BOD+90°=45°−12∠BOD，
∴45°−∠AOC=45°−12∠BOD，
∴∠AOC=12∠BOD，
∵∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠AOC=30°，∠BOD=60°，
∴∠DOF=45°−30°=15°，
∵∠DOP=13∠BOD，
∴∠DOP=20°，
∴∠FOP=∠DOF+∠DOP=15°+20°=35°．
21．（2022·江苏·七年级专题练习）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．

（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A′,B′处．
①如图2，若A′,B′恰好重合于点O处，MN= cm，

②如图3，若点A′落在B′的左侧，且A′B′=20cm，求MN的长度；

③若A′B′=ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B′处，在重合部分B′N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．

【思路点拨】
（1）①根据MN=MO+NO=12AO+12BO=12AB即可求解；
②根据M、N分别为AA′、BB′的中点，得出AM=12AA'，BN=12BB'，再由MN= AB–（AM+ BN）即可求解；
③根据M、N分别为AA′、BB′的中点，得出AM=12AA'，BN=12BB'，然后分两种情况点A′落在点B′的左侧，点A′落在点B′的右侧，根据MN= AB–（AM+ BN）即可求解；
（2）根据三段的长度由短到长的比为3：4：5，得出绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段，然后分6中情况讨论，根据AN=AP+12 PP'即可求解．
【解题过程】
解：（1）①MN=MO+NO=12AO+12BO=12AB=30；
②因为AB=60 cm，A′B′=20 cm，
所以AA′+BB′=AB - A′B′=60 - 20=40 cm．
根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，
所以AM=12AA'，BN=12BB'．
AM+ BN=12AA'+12BB'=12AA'+BB'=12×40=20cm．
所以MN= AB–（AM+ BN）=60 - 20=40 cm．
③因为M、N分别为AA′、BB′的中点，所以AM=12AA'，BN=12BB'．
（ⅰ）如图，若点A′落在点B′的左侧，

AA′+BB′=AB - A′B′=(60– n) cm．
AM+ BN=12AA'+12BB'
=12AA'+BB'=12×60−n=30−n2cm．
所以MN= AB–（AM+ BN）=60−30−n2=30+n2cm．
（ⅱ）如图，若点A′落在点B′的右侧，
                  
AA′+BB′=AB + A′B′=(60 +n)cm．
AM+ BN=12AA'+12BB'
=12AA'+BB'=12×60+n=30+n2cm．
所以MN= AB–（AM+ BN）=60−30+n2=30−n2（cm）．  
综上，MN的长度为30+n2cm或30−n2cm．
（2）如图，

∵三段的长度由短到长的比为3：4：5，
∴60×33+4+5=15，60×43+4+5=20，60×53+4+5=25，
故绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段
当B'P'=15，PP'=20，AP=25时，
AN=AP+12 PP'=25+12×20=35；
当B'P'=15，PP'=25，AP=20时，
AN=AP+12 PP'=20+12×25=32.5；
当B'P'=20，PP'=15，AP=25时，
AN=AP+12 PP'=25+12×15=32.5；
当B'P'=20，PP'=25，AP=15时，
AN=AP+12 PP'=15+12×25=27.5；
当B'P'=25，PP'=20，AP=15时，
AN=AP+12 PP'=15+12×20=25；
当B'P'=25，PP'=15，AP=20时，
AN=AP+12 PP'=20+12×15=27.5．
综上AN所有可能的长度为：25 cm或27．5 cm或32．5 cm或35cm．
22．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足a+3+c−92=0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止．

（1）a=________，b=________，c=________．
（2）点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC=13，求x的值．
（3）点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值．
【思路点拨】
（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值；
（2）由题意知，依次求出PC、PB的长，再进行分类讨论即可：当P从B到A时，当P从A到C时，当P从C到B时，三种情况分类讨论．
（3）以点从为PN中点时，当0 【解题过程】
解：（1）∵b是最大的负整数，且a，c满足a+3+c−92=0，
∴b=-1，a+3=0，c-9=0，
∴a=-3，c=9．
故答案为：-3；-1；9．
（2）由题意知，此过程中，当点P在AB上时．
∴PA+PB=AB=b-a=-1-(-3)=2．
∴PC=13-PA+PB=13-2=11．
又∵BC=c-b=9-(-1)=10．
∴PB=PC-BC=11-10=1．
当P从B到A时，如图所示：
∵PB=1，可以列方程为：3x=1，
解得：x=1；

当P从A到C时，分两种情况讨论：①当P在线段AB之间时，如图所示：

可以列方程为：3x=3,
解得：x=1，
②当P在线段BC之间时，如图所示：

∵PA+PB+PC=13，AB=2，BC=10，
∵PB+PC=10
∴PA=13-10=3，
∴PB=PA-AB=3-2=1，
可列方程为：3x=5，
解得：x=53．
当P从C到B时，如图所示：

可列方程为：3x=23，解得：x=233．
综上所述，x=13或x=1或x=53或x=233．
（3）当点从为PN中点时，
当0 此时，P=-1-3t，M=-3+4t，N=9-5t．
（-1-3t）+（9-5t）=2（-3+4t），解得t=78 （舍去）．
当23≤t≤43时，点P从A返回向B运动．
此时，P=-3+3（t-23）=3t-5．
3t-5+9-5t=2（-3+4t），解得t=1．
当P为MN中点时，t>43．
（9-5t）+（-3+4t）=2（3t-5），解得t=167 ．
当点N为PM中点时，t>43．
（-3+4t）+（3t-5）=2（9-5t）,解得t=2617．
综上所述，t的值为1， 167或2617．
23．（2022·河北唐山·七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数．
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过 程中，第t秒时．直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为________秒（直接写出结果）

【思路点拨】
（1）先根据角平分线的定义求出∠BOM的度数，继而根据平角的定义求得∠COM，继而根据∠CON=∠COM+∠MON求解即可；
（2）结论：∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：根据平角定义先求出∠AOC的度数，继而根据角的和差得到90°-∠AOM=60°-∠NOC，由此求解即可；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分ON的反向延长线OF平分∠AOC和ON的平分∠AOC两种情况分别画出图形进行解答即可.
【解题过程】
解：（1）∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC=120°，
∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM=12∠BOC=120°÷2=60°，
∴∠COM=180°−∠AOC−∠BOM=180°−60°−60°=60°，
∴∠CON=∠COM+∠MON=60°+90°=150°；
（2）∠AOM-∠NOC=30°，
理由如下：如图，

∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=60°，
∵∠AON=∠MON-∠AOM=90°-∠AOM，
∠AON=∠AOC-∠NOC=60°-∠NOC，
∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
如图，当ON的反向延长线OF平分∠AOC时，∠AOF=12∠AOC=30°，

∴∠BON=∠AOF=30°，
∴ON旋转的角度是90°+180°+30°=300°，
∴10x=300，
∴x=30；
如图，当ON平分∠AOC时，∠CON=12∠AOC=30°，

∴ON旋转的角度是90°+30°=120°，
∴10x=120，
∴x=12，
综上，x=30或x=12，
即此时三角板绕点O旋转的时间是30或12秒．
故答案为：30或12．
24．（2022·浙江·七年级专题练习）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝12∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝12∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD＝12∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．

【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝　 　°，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是　 　．（用含α的代数式表示）
（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【思路点拨】
（1）根据伴随线定义即可求解；
（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；
②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．
【解题过程】
解：（1）如图，∵ 射线是OA的伴随射线，
∴∠AOC=12∠BOC,
∴∠AOC=13∠AOB=13×120°=40° ，

∵ 同理，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，
∴∠BON=13∠AOB=13α ,
∵ 射线OC是∠AOB的平分线，
∴∠BOC=12∠AOB=12α ,
∴∠NOC=∠BOC−∠BON=12α−13α =16α，

故答案为：40°,α6
（2）射线OD与OA重合时，t＝1805＝36（秒）
①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则180﹣5t﹣3t＝20，
∴t＝20；
若在相遇之后，则5t+3t﹣180＝20，
∴t＝25；
所以，综上所述，当t＝20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．
②相遇之前：
（i）如图1，

OC是OA的伴随线时，则∠AOC＝12 ∠COD
即  3t＝12（180﹣5t﹣3t）
∴t＝907
（ii）如图2，

OC是OD的伴随线时，
则∠COD＝12∠AOC
即180﹣5t﹣3t＝12×3t
∴t＝36019
相遇之后：
（iii）如图3，

OD是OC的伴随线时，
则∠COD＝12 ∠AOD
即5t+3t﹣180＝12（180﹣5t）
∴t＝1807
（iv）如图4，

OD是OA的伴随线时，则∠AOD＝12 ∠COD
即180﹣5t＝12（3t+5t﹣180）
∴t＝30
所以，综上所述，当t＝907,36019,1807， 30时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．