【中考一轮复习】2023年中考数学复习训练——第30讲 锐角三角函数（含解析）

这是一份【中考一轮复习】2023年中考数学复习训练——第30讲 锐角三角函数（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．计算的结果，正确的是 （ ）
A．B．C．D．
2．如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是 （ ）
A．B．C．D．
3．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为 （ ）
A．米B．米C．米D．米
4．如图，在四边形纸片中，，，．将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为．若，则的长为 （ ）
A．5B．C．D．
5．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）（精确到1m．参考数据：，，，）
A．28mB．34mC．37mD．46m
二、填空题
6．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 ____m．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则csB＝_____．
8．如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则_________．
9．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是______．
10．如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么______．
三、解答题
11．如图，某飞机于空中处测得目标，此时垂直高度米，从飞机上看到指挥所的俯角为，求飞机与指挥所之间的距离的长．
12．如图，在中，，，，求的面积．
13．某学校教学楼（甲楼）的顶部和大门之间挂了一些彩旗．小颖测得大门距甲楼的距离是，在处测得甲楼顶部处的仰角是．
(1)求甲楼的高度及彩旗的长度；
(2)若小颖在甲楼楼底处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶处的仰角为，爬到甲楼楼顶处测得乙楼楼顶处的仰角为，求乙楼的高度．（，，）
14．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角度数为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树的高度（结果保留根号）．
15．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）
(1)求此时小区楼房的高度；
(2)在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？
16．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：
(1)的值为___________
A． B．1 C． D．2
(2)对于，的正对值的取值范围是___________．
(3)已知，其中α为锐角，试求的值．
参考答案：
1．B
【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比，再按照正确的运算顺序进行计算即可．
【解析】解：
＝
＝
＝．
故选：B
【点睛】此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．C
【分析】结合图形利用正切函数求解即可．
【解析】解：根据题意可得：
，
∴，
故选C．
【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键．
3．A
【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来．
【解析】在Rt△ABC中，
,
即，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是根据解三角函数的定义，列出方程．
4．C
【分析】过点A作 于H，由折叠知识得： ，再由锐角三角函数可得，然后根据，可证得四边形AHFG是矩形，即可求解．
【解析】解：过点A作 于H，
由折叠知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，
，
，
在 中，，，
，
，
，
，
四边形AHFG是矩形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠变换，解直角三角形，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．C
【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB．
【解析】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，
∴，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴，
解得：m，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．
6．50
【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案．
【解析】解：根据题意得：∠ACB=90°，sinα＝，
∴，
∵BC＝30m，
∴，
解得：AB=50m，
即迎水坡面AB的长度为50m．
故答案为：50
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
7．
【分析】根据三角函数的定义即可得到csB＝sinA＝．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵sinA＝＝，
∴csB＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，则sinA＝csB，csA＝sinB．熟知相关定义是解题关键．
8．##0.8
【分析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的长，从而利用勾股定理求出AC的长，由此求解即可．
【解析】解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E，
由题意得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
9．
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，结合正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到≌≌，然后表示出点C和点D的坐标，求出，即可求出答案．
【解析】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
∵，
设，，
∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图像上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，三角函数，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的表示出点C和点D的坐标，从而进行解题．
10．
【分析】根据D为AB中点，得到AD=CD=BD，即有∠A=∠DCA，根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，再根据CE⊥AB，求得∠A=∠BCE，即有∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°，则有∠A=30°，在Rt△ACB中，即可求出AC，则问题得解．
【解析】∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵D为AB中点，
∴在直角三角形中有AD=CD=BD，
∴∠A=∠DCA，
根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，
∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCE=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA，
∵∠BCE+∠ECD+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°
∴∠A=30°，
∴在Rt△ACB中，BC=1，
则有，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边对等角以及解直角三角形的知识，求出∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°是解答本题的关键．
11．
【分析】根据俯角的概念、直角三角形的性质解答．
【解析】解：在中，，
，
答：机与指挥所之间的距离为2400米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、直角三角形的性质是解题的关键．
12．
【分析】过点C作于点D，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可．
【解析】解：如图，过点C作于点D．
在中，，，
∴，
∴．
在中，
∵，
∴，．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形．
13．(1)甲楼的高度为，彩旗的长度
(2)
【分析】（1）在中，根据锐角三角函数，即可求解；
（2）过点F作于点M，在中，根据锐角三角函数可得，
在中，根据锐角三角函数可得，再由，求出x的值，即可求解．
【解析】（1）解：在中，，，
∴，，
解得：，，
答：甲楼的高度为，彩旗的长度；
（2）解：如图，过点F作于点M，
设两楼间的距离为，则，
根据题意得：，，
在中，，
∴，即，
在中，，
∴，即，
∴，
解得：，
∴乙楼的高度．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
14．
【分析】先证明得到，再解直角三角形求出即可．
【解析】解：由题意知，，
∴，
∴，
在，，
∴，
答：这棵树 的高度约为．
【点睛】本题考查了利用三角函数解直角三角形的知识，把实际问题转化成成几何图形求解是解决本体的关键．
15．(1)此时小区楼房的高度为米
(2)经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线
【分析】（1）过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E，可知四边形为矩形，再根据平行线的性质可证，可得，设米，则根据题意列方程即可求解；
（2）当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G，先利用特殊角的三角函数值求出的度数，接着求出的度数，再通过三角函数求得和，进而得到的值，最后除以无人机的速度即可．
【解析】（1）如图1，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E，
由作图可知四边形为矩形，
∴，
∵无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为，，
∴，
∴，
∴，
设米，
∴米，且，
∴，
∴，
解得，
经检验，为原方程的解，
∴米，
∴米，
答：此时小区楼房的高度为米；
（2）如图2，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G，
由（1）知，米，
∴（米），
∵，
∴，
∵，
∴，
∴米，
∴米，
∵无人机速度为5米秒，
∴所需时间为（秒），
答：经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用、三角函数的问题、矩形的判定和性质和平行线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
16．(1)B
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；
（2）求出0度和度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角，构造等腰三角形，根据正对的定义解答．
【解析】（1）解：根据正对定义，
当顶角为时，等腰三角形底角为，
则三角形为等边三角形，
则，
故选B；
（2）解：当接近时，接近0，
当近时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故接近2．
于是的取值范围是．
故答案为；
（3）解：如图，在中，，，
在上取点D，使，
作，H为垂足，令，，
则，
又∵在中，，，
∴，，
则在中，，，
于是在中，，，
由正对的定义可得：，即．
【点睛】本题考查了新定义的运算，解题的关键是理解新定义，再根据新定义直接求解．