【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题14 反比例函数（原卷版＋解析版）

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技巧1：求反比例函数表达式的六种方法
技巧2：反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题
技巧3：反比例函数与一次函数的综合应用
【题型】一、反比例的定义
【题型】二、反比例函数的图象
【题型】三、反比例函数的性质
【题型】四、求反比例函数解析式
【题型】五、反比例函数比例系数k的几何意义
【题型】六、反比例函数与一次函数综合
【题型】七、实际问题与反比例函数
【考纲要求】
1、理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．
2、会画反比例函数图象，根据图象和解析式讨论其基本性质．
3、能用反比例函数解决某些实际问题.
【考点总结】一、反比例函数的概念
【考点总结】二、反比例函数的图象和性质
【注意】
反比例函数（k≠0）系数k的几何意义
从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。常见模型如图：
【技巧归纳】
技巧1：求反比例函数表达式的六种方法
【类型】一、利用反比例函数的定义求表达式
1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数表达式．【类型】二、利用反比例函数的性质求表达式
2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的表达式．
【类型】三、利用反比例函数的图象求表达式
3．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为(0，2)，OA＝OB，B是线段AC的中点．求：
(1)点A的坐标及一次函数表达式；
(2)点C的坐标及反比例函数表达式．
【类型】四、利用待定系数法求表达式
4．已知y1与x成正比例，y2与x成反比例，若函数y＝y1＋y2的图象经过点(1，2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，求y与x的函数表达式．
【类型】五、利用图形的面积求表达式
5．如图，点A在双曲线y＝eq \f(1,x)上，点B在双曲线y＝eq \f(k,x)上，且AB∥x轴，C，D两点在x轴上，若矩形ABCD的面积为6，求B点所在双曲线对应的函数表达式．
【类型】六、利用实际问题中的数量关系求表达式
6．某运输队要运300 t物资到江边防洪．
(1)运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间有怎样的函数关系？
(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速度至少为多少？
参考答案
1．解：由反比例函数的定义可知
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－10＝－1，,m＋3≠0，))∴m＝3.
∴此反比例函数的表达式为y＝eq \f(6,x).
易错点拨：该题容易忽略m＋3≠0这一条件，得出m＝±3的错误结论．
2．解：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n2＋2n－9＝－1，,n＋3＞0.))
解得n＝2(n＝－4舍去)．
∴此函数的表达式是y＝eq \f(5,x).
3．解：(1)∵OA＝OB，B(0，2)，点A在x轴负半轴上，
∴点A的坐标为(－2，0)．
设一次函数表达式为y＝ax＋b，将A(－2，0)，B(0，2)的坐标代入表达式得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2a＋b＝0，,b＝2，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2.))
∴一次函数表达式为y＝x＋2.
(2)如图，过点C作x轴的垂线，交x轴于点D.
∵B为AC中点，且BO∥CD，
∴eq \f(BO,CD)＝eq \f(1,2).∴CD＝4.
又∵C点在第一象限，
∴设点C的坐标为(m，4)，代入y＝x＋2得m＝2.
∴点C的坐标为(2，4)．
将C(2，4)的坐标代入y＝eq \f(k,x)(k≠0)，得k＝8.
∴反比例函数表达式为y＝eq \f(8,x).
4．解：∵y1与x成正比例，
∴设y1＝k1x(k1≠0)．
∵y2与x成反比例，
∴设y2＝eq \f(k2,x)(k2≠0)．
由y＝y1＋y2，得y＝k1x＋eq \f(k2,x).
又∵y＝k1x＋eq \f(k2,x)的图象经过(1，2)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))两点，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝k1＋k2，,\f(1,2)＝2k1＋\f(k2,2).))
解此方程组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝－\f(1,3)，,k2＝\f(7,3).))
∴y与x的函数表达式是y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(7,3x).
5．解：如图，延长BA交y轴于点E，由题意可知S矩形ADOE＝1，S矩形OCBE＝k.
∵S矩形ABCD＝6，
∴k－1＝6.∴k＝7.
∴B点所在双曲线对应的函数表达式是y＝eq \f(7,x).
6．解：(1)由已知得vt＝300.
∴t与v之间的函数关系式为t＝eq \f(300,v)(v＞0)．
(2)运了一半物资后还剩300×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝150(t)，故t与v之间的函数关系式变为t＝eq \f(150,v)(v＞0)．将t＝2代入t＝eq \f(150,v)，得2＝eq \f(150,v).解得v＝75.
因此剩下的物资要在2 h之内运到江边，运输速度至少为75 t/h.
技巧2：反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题
【类型】一、反比例函数的系数k与面积的关系
1．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝－eq \f(4,x)和y＝eq \f(2,x)的图象交于A点和B点，若C为x轴上的任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，P是反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上一点，过P点分别向x轴，y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为( )
A．y＝－eq \f(6,x) B．y＝eq \f(6,x) C．y＝－eq \f(3,x) D．y＝eq \f(3,x)

3．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝eq \f(6,x)在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC－S△BAD为( )
A．36 B．12 C．6 D．3
4．如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝eq \f(1,x)的图象相交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为( )
A．1 B．2 C． 3 D．4

5．如图，函数y＝－x与函数y＝－eq \f(4,x)的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，点A，C为反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＜0)图象上的点，过点A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为eq \f(3,2)时，k的值为( )
A．4 B．6 C．－4 D．－6
【类型】二、已知面积求反比例函数的表达式
题型1：已知三角形面积求函数表达式
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2，n)，连接BO，已知S△AOB＝4.
(1)求该反比例函数的表达式和直线AB对应的函数表达式；
(2)若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．
题型2：已知四边形面积求函数表达式
8．如图，矩形ABOD的顶点A是函数y＝－x－(k＋1)的图象与函数y＝eq \f(k,x)在第二象限的图象的交点，AB⊥x轴于B，AD⊥y轴于D，且矩形ABOD的面积为3.
(1)求两函数的表达式；
(2)求两函数图象的交点A，C的坐标；
(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标．
【类型】三、已知反比例函数表达式求图形的面积
题型1：利用对称性求面积
9．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为y＝－eq \f(6,x)，y＝eq \f(6,x)，现用四根钢条固定这四条曲线．这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共要花多少钱？
题型2：利用点的坐标及面积公式求面积
10．如图，直线y＝k1x＋b与反比例函数y＝eq \f(k2,x)(x＜0)的图象相交于点A，点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(－2，4)，点B的横坐标为－4.
(1)试确定反比例函数的表达式；
(2)求△AOC的面积．
题型3：利用面积关系求点的坐标
11．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A(eq \r(3)，1)在反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上．
(1)求反比例函数y＝eq \f(k,x)的表达式；
(2)在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP＝eq \f(1,2)S△AOB，求点P的坐标；
(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，点A，O的对应点分别为点E，D.直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
参考答案
1．A 点拨：设△ABC的边AB上的高为h，则
S△ABC＝eq \f(1,2)AB·h
＝eq \f(1,2)(AP＋BP)·h
＝eq \f(1,2)(AP·h＋BP·h)
＝eq \f(1,2)(|－4|＋|2|)
＝eq \f(1,2)×6
＝3.
故选A.
2．A
3．D 点拨：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a，b，可得出B点坐标为(a＋b，a－b)．因为点B在反比例函数y＝eq \f(6,x)第一象限的图象上，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝6.所以S△AOC－S△BAD＝eq \f(1,2)a2－eq \f(1,2)b2＝eq \f(1,2)(a2－b2)＝eq \f(1,2)×6＝3.故选D.
4．A
5．D 点拨：由题意，易得出S△ODB＝S△AOC＝eq \f(1,2)×|－4|＝2.易知OC＝OD，AC＝BD，所以S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2.所以四边形ACBD的面积为S△AOC＋S△ODA＋S△ODB＋S△OBC＝8.
6．C 点拨：设点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(k,m)))，则点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)m，\f(k,2m)))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)m，\f(2k,m)))，根据三角形的面积公式可得出S△AEC＝－eq \f(3,8)k＝eq \f(3,2)，由此即可求出k值．
7．解：(1)如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D.
由题易知OA＝2，BD＝n.
∴S△AOB＝eq \f(1,2)OA·BD＝eq \f(1,2)×2n＝4.∴n＝4.∴B点的坐标为(2，4)．
∴反比例函数的表达式为y＝eq \f(8,x).
设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b，由题意得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2k＋b＝0，,2k＋b＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1，,b＝2.))
∴直线AB对应的函数表达式为y＝x＋2.
(2)对于y＝x＋2，当x＝0时，y＝0＋2＝2，∴C点的坐标为(0，2)．
∴OC＝2.
∴S△OCB＝S△AOB－S△AOC＝4－eq \f(1,2)×2×2＝2.
8．解：(1)由题中图象知k＜0，由已知条件得|k|＝3，∴k＝－3.
∴反比例函数的表达式为y＝－eq \f(3,x)，
一次函数的表达式为y＝－x＋2.
(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(3,x)，,y＝－x＋2，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝－1，,y1＝3，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝3，,y2＝－1.))
∴点A，C的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．
(3)设点P的坐标为(0，m)，直线y＝－x＋2与y轴的交点为M，则点M的坐标为(0，2)．
∵S△APC＝S△AMP＋S△CMP＝eq \f(1,2)PM(|－1|＋|3|)＝5，
∴PM＝eq \f(5,2)，即|m－2|＝eq \f(5,2).
∴m＝eq \f(9,2)或m＝－eq \f(1,2).
∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(9,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2))).
9．解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形ABCD分成四个全等的小矩形．因为点A为y＝eq \f(6,x)的图象上的一点，所以S矩形AEOH＝6.所以S矩形ABCD＝4×6＝24.所以总费用为25×24＝600(元)．
所以所需钢条一共要花600元．
10．解：(1)∵点A(－2，4)在反比例函数y＝eq \f(k2,x)的图象上，
∴k2＝－8.
∴反比例函数的表达式为y＝－eq \f(8,x).
(2)∵点B的横坐标为－4，且点B在反比例函数y＝－eq \f(8,x)的图象上，
∴其纵坐标为2.
∴点B的坐标为(－4，2)．
∵点A(－2，4)，B(－4，2)在直线y＝k1x＋b上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝－2k1＋b，,2＝－4k1＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝1，,b＝6.))
∴直线AB对应的函数表达式为y＝x＋6.当y＝0时，x＝－6.
∴点C的坐标为(－6，0)．
∴S△AOC＝eq \f(1,2)×6×4＝12.
11．解：(1)∵点A(eq \r(3)，1)在反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上，
∴k＝eq \r(3)×1＝eq \r(3).
∴反比例函数的表达式为y＝eq \f(\r(3),x).
(2)∵A(eq \r(3)，1)，AB⊥x轴于点C，
∴OC＝eq \r(3)，AC＝1.
由题意易得△AOC∽△OBC，
∴eq \f(OC,BC)＝eq \f(AC,OC).
∴BC＝eq \f(OC2,AC)＝3.
∴B点坐标为(eq \r(3)，－3)．
∴S△AOB＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×(1＋3)＝2eq \r(3).
∴S△AOP＝eq \f(1,2)S△AOB＝eq \r(3).
设点P的坐标为(m，0)，
∴eq \f(1,2)×|m|×1＝eq \r(3).
∴|m|＝2eq \r(3).
∵P是x轴的负半轴上的点，
∴m＝－2eq \r(3).
∴点P的坐标为(－2eq \r(3)，0)．
(3)点E的坐标为(－eq \r(3)，－1)．
点E在该反比例函数的图象上，理由如下：
∵－eq \r(3)×(－1)＝eq \r(3)＝k，
∴点E在该反比例函数的图象上．
技巧3：反比例函数与一次函数的综合应用
【类型】一、反比例函数图象与一次函数图象的位置判断
1．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象大致是( )
2．一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则k，b的取值范围是( )
A．k>0，b>0 B．k0 C．k0?
(2)求一次函数表达式及m的值．
(3)P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．
参考答案
1．A 2.C
3．C点拨：把点A(1，2)的坐标分别代入y＝k1x，y＝eq \f(k2,x)中，得k1＝2，k2＝2.所以①是错误的，易知点B的坐标为(－1，－2)，由图象可知②，④是正确的，当y1＞y2时，x>1或－1＜x＜0，所以③是错误的，故选C.
4．①②④⑤
5．解：(1)把C(1，m)的坐标代入y＝eq \f(4,x)，得m＝eq \f(4,1)，∴m＝4.
∴点C的坐标为(1，4)．
把C(1，4)的坐标代入y＝2x＋n，得4＝2×1＋n，解得n＝2.
(2)对于y＝2x＋2，令x＝3，则y＝2×3＋2＝8，
∴点P的坐标为(3，8)．
令y＝0，则2x＋2＝0，得x＝－1，
∴点A的坐标为(－1，0)．
对于y＝eq \f(4,x)，令x＝3，则y＝eq \f(4,3).
∴点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(4,3))).
∴PQ＝8－eq \f(4,3)＝eq \f(20,3)，AD＝3＋1＝4.
∴△APQ的面积＝eq \f(1,2)AD·PQ＝eq \f(1,2)×4×eq \f(20,3)＝eq \f(40,3).
点拨：注意反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的表达式，解答这类题通常运用方程思想．
6．解：(1)在第二象限内，当－40．
∵，
∴方程有两个不相等的根．
∵，
∴方程有一个正根一个负根．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是求出ab>0．
5．如果A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，那么y1与y2的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的增减性即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数y=的图象在每一象限内随的增大而减小，而A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=第一象限的图象上，
∴
故选B
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握“的图象当时，图象在每一象限内随的增大而减小”是解本题的关键．
二、填空题
6．如图，A、B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，连接OA，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为________．
【答案】8
【分析】设．根据中点坐标公式和△ODC的面积确定mn=16，再结合反比例函数比例系数k的几何意义即可求解．
【详解】解：设．
∵D为OB中点，
∴．
∵AC⊥x轴，
∴，．
∵△ODC的面积为1，
∴．
∴mn=8．
∵点B在反比例函数上，
∴．
∴k=mn．
∴k=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查中点坐标公式，根据图形面积求反比例函数比例系数k，熟练掌握这些知识点是解题关键．
7．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为________．（用“”连接）
【答案】
【分析】分别将点代入反比例函数解析式中，求出的大小进行比较即可．
【详解】解：将点代入反比例函数中，
可得：，，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数值的大小比较，解本题的关键在熟练掌握代入法和有理数比大小的方法．当然本题也可以利用反比例函数的性质来进行比较．
三、解答题
8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式：
(2)根据图象，直接写出满足的的取值范围；
(3)连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求ABC的面积．
【答案】(1)反比例函数解析式为 ，次函数解析式为
(2)x≥4或-1≤x＜0
(3)
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式；
（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；
（3）过C点作CDy轴，交直线AB于D，求出D的坐标，即可求得CD，然后根据 即可求出答案．
（1）
解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（4，1），
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
又点B（﹣1，n）在反比例函数上，
∴ ，
∴B的坐标为（-1，-4），
把A（4，1），B（﹣1，-4）代入 ，
得 ，
解得 ，
∴一次函数解析式为 ；
（2）
解：由图象及交点坐标可知：
当x≥4或-1≤x＜0时，k1x+b≥﹣；
（3）
解：过C点作CDy轴，交直线AB于D，
∵B（-1，-4），B、C关于原点对称，
∴C（1，4），
把x=1代入y=x-3，得y=-2，
∴D（1，-2），CD=6，
∴．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．
反比例函数的概念
反比例函数的定义
如果两个变量x，y之间的关系可以表示成(k为常数,且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.
二次函数的图象及性质
图象的特征:反比例函数的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三象限或第二、四象限.
反比例函数的图象和性质
反比例函数(k≠0,k为常数)的图象和性质
函数
图象
所在象限
性质
(k≠0,k为常数)
k>0
三象限
(x,y同号)
在每个象限内,y随x增大而减小
k