【中考一轮复习】2023年中考数学通用版考点梳理+练习——第15讲 二次函数的综合（含答案）

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考 点 清 单
考点 二次函数的综合
最值问题：当二次函数的自变量x取全体实数时，我们可将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成顶点式y＝a(x＋eq \f(b,2a))2＋eq \f(4ac－b2,4a)，直接可得函数最值为eq \f(4ac－b2,4a)，也就是抛物线顶点的纵坐标．
最值问题一般包含两种类型：线段最值和面积最值．
强 化 演 练
基础练
1．如图，抛物线y＝－(x－m)2＋3的顶点A在第一象限，点B(m－3，0)在x轴的负半轴上，直线AB与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点P(h，n)也在第一象限内．
(1)若交点P(h，n)是AC的中点，且h＝1，求n的值；
(2)连接OP，令△OCP面积为S，求关于m的函数表达式(要求写出m的取值范围)，并求出S的最大值．
2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P，Q，E为顶点的三角形与△BOC相似，请求出点P的坐标．
3．如图，抛物线y＝x2＋2x－8与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)连接AC，直线x＝m(－4＜m＜0)与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD.当OD⊥AC时，求线段DE的长；
(3)点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C，M，N，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．抛物线y＝ax2－2bx＋b(a≠0)与y轴相交于点C(0，－3)，且抛物线的对称轴为直线x＝3，D为对称轴与x轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E，F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；
(3)若P(3，t)是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值(用含t的代数式表示)．
5．在平面直角坐标系中，两条线段AB和CD关于直线x＝1对称(点A，B分别与点C，D对应)，且C，D两点的坐标分别为C(－2，0)，D(2，－4)．
(1)直接写出A，B两点的坐标；
(2)以直线x＝1为对称轴的抛物线l经过A，B，C，D四点．
①求抛物线l的解析式；
②P(m，n)是抛物线l上AB之间的一个动点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，与直线AB分别相交于M，N两点，记W＝PM＋PN，求W关于m的函数解析式，并求W的最大值．
6．如图，抛物线y＝a(x－eq \f(5,2))2＋h经过点A(1，0)，C(0，3)．
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
(2)如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出此时点P坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点Q是OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 图2
参 考 答 案
强化演练
1. 解：(1)∵点C的横坐标为0，点P(1，n)是AC的中点，∴点A的横坐标为2. ∵y＝－(x－m)2＋3，∴m＝2，∴n＝－(1－2)2＋3＝2.
(2)过点P作PD⊥x轴，垂足为D(h，0)，由y＝－(x－m)2＋3知A(m，3)，且B(m－3，0)，则∠ABO＝45°，PD＝BD. ∵PD＝n＝－(h－m)2＋3，BD＝h－(m－3)＝h－m＋3，∴－(h－m)2＋3＝h－m＋3，∴(h－m)(h－m＋1)＝0，∴h＝m(舍去)或h＝m－1. ∵OC＝OB＝3－m，∴S＝eq \f(1,2)OD·OC＝eq \f(1,2)(m－1)(3－m)＝－eq \f(1,2)(m－2)2＋eq \f(1,2). ∵3－m＞0，h＝m－1＞0，∴1＜m＜3，∴当m＝2时，S取最大值，最大值为eq \f(1,2).
2. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A(1，0)，B(－3，0)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋3＝0，,9a－3b＋3＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，))∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x－3.
(2)令x＝0，y＝3，∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形．∵抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3，∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴E(－1，2)．
①若△PQE∽△OBC，∴∠PEH＝45°. 如图1，过点P作PH⊥ED，垂足为H，∴∠PHE＝90°，∴∠HPE＝∠PEH＝45°，∴PH＝HE. 设P(x，－x2－2x＋3)，代入关系式得－x－1＋2＝－x2－2x＋3，整理，得x2＋x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1(舍去)，∴点P的坐标为(－2，3)；
②若△QPE∽△OBC，如图1，可知点Q与点H重合，此时点P的坐标仍为(－2，3)；
③若△PEQ∽△BOC，如图2，设P(x，2)，代入关系式，得2＝－x2－2x＋3，整理，得x2＋2x－1＝0，解得x1＝－1－eq \r(2)，x2＝－1＋eq \r(2)(舍去)，∴点P的坐标为(－1－eq \r(2)，2)．综上所述，点P的坐标为(－1－eq \r(2)，2)或(－2，3)．

图1 图2
3. 解：(1)在y＝x2＋2x－8中，令y＝0，得x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2，∴A(－4，0)，B(2，0)．令x＝0，得y＝－8，∴C(0，－8)．
(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b，∵A(－4，0)，C(0，－8)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4k＋b＝0，,b＝－8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－2，,b＝－8，))∴直线AC的解析式为y＝－2x－8. ∵直线x＝m(－4＜m＜0)与该抛物线交于点E，与AC交于点D，∴E(m，m2＋2m－8)，D(m，－2m－8)，∴DE＝－2m－8－(m2＋2m－8)＝－m2－4m. 如图1，设直线DE交x轴于点F，则F(m，0)，∴OF＝－m，∴AF＝m－(－4)＝m＋4，DF＝2m＋8. ∵OD⊥AC，EF⊥OA，∴∠ODA＝∠OFD＝∠DFA＝∠AOC＝90°，∴∠DOF＋∠COD＝∠OCD＋∠COD＝90°，∴∠DOF＝∠OCD，∴△ACO∽△DOF，∴eq \f(OA,OC)＝eq \f(FD,FO)，∴OC·FD＝OA·FO，∴8(2m＋8)＝4(－m)，解得m＝－eq \f(16,5)，∴DE＝－m2－4m＝－(－eq \f(16,5))2－4×(－eq \f(16,5))＝eq \f(64,25).
(3)存在．点M的坐标为(0，－8＋eq \r(5))或(0，－8－eq \r(5))或(0，－eq \f(27,4))或(0，－12)．
【提示】如图2，∵y＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9，∴抛物线对称轴为直线x＝－1. ∵以C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，∴分三种情况：CP为对角线或CN为对角线或CM为对角线．
①当CP为对角线时， CM∥PN, CM＝PN＝CN. ∵N为直线AC与抛物线对称轴的交点，∴N(－1，－6)，CN＝eq \r((－1－0)2＋(－6＋8)2)＝eq \r(5)，∴CM＝PN＝eq \r(5)，∴M1(0，－8＋eq \r(5))，M2(0，－8－eq \r(5))；
②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP. 设CM＝a，则M(0，－8＋a)，P(－1，－6－a)，∴(－1－0)2＋(－6－a＋8)2＝a2，解得a＝eq \f(5,4)，∴M3(0，－eq \f(27,4))；
③当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P(－1，b)，则N(1，b)，M(0，2b＋8)．∵N(1，b)在直线y＝－2x－8上，∴b＝－2×1－8＝－10，∴M4(0，－12)．
综上所述，点M的坐标为(0，－8＋eq \r(5))或(0，－8－eq \r(5))或(0，－eq \f(27,4))或(0，－12)．

图1 图2
4. 解：(1)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(－2b,2a)＝3，,b＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－3，))故抛物线的解析式为y＝－x2＋6x－3.
(2)∵△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF且∠EDF＝90°，设EF和x轴之间的距离为m，则EF＝2m，故点F(3＋m，m)，则△DEF的面积为eq \f(1,2)EF·m＝eq \f(1,2)×2m·m＝m2. 将点F的坐标代入抛物线的解析式，得m＝－(m＋3)2＋6(m＋3)－3，解得m＝－3(舍去)或m＝2，则△DEF的面积为m2＝4.
(3)设点Q的坐标为(m，－m2＋6m－3)，则PQ2＝(m－3)2＋(－m2＋6m－3－t)2＝(m－3)2＋[(m－3)2＋t－6]2，设n＝(m－3)2，则PQ2＝n＋(n＋t－6)2＝n2＋n(2t－11)＋(t－6)2. ∵1＞0，∴PQ2有最小值，此时n＝eq \f(11－2t,2)，PQ2的最小值为(t－6)2－eq \f(1,4)(11－2t)2＝eq \f(23－4t,4)，故PQ的最小值为eq \f(\r(23－4t),2).
5. 解：(1)由题意得A，B两点的坐标为A(4，0)，B(0，－4)．
(2)设抛物线l的解析式为y＝a(x－1)2＋c. ∵抛物线l经过C(－2，0)，D(2，－4)两点，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a(－2－1)2＋c＝0，,a(2－1)2＋c＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,c＝－\f(9,2)，))∴抛物线l的解析式为y＝eq \f(1,2)(x－1)2－eq \f(9,2)或y＝eq \f(1,2)x2－x－4.
(3)易得直线AB的解析式为y＝x－4，设点P的坐标为(m，eq \f(1,2)m2－m－4)，则点M的坐标为(m，m－4)，PM＝(m－4)－(eq \f(1,2)m2－m－4)＝－eq \f(1,2)m2＋2m. ∵PN垂直于y轴，交直线y＝x－4于点N，∴PM＝PN，∴W＝PM＋PN＝2(－eq \f(1,2)m2＋2m)＝－(m－2)2＋4. ∵－1＜0，∴当m＝2时，W有最大值，最大值为4.
6. 解：(1)由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(5,2)，而点A(1，0)，根据点的对称性，得xB＝2×eq \f(5,2)－1＝4，故点B的坐标为(4，0)．
(2)存在．∵抛物线经过点A(1，0)，B(4，0)，∴A，B两点关于对称轴对称，如图1，连接BC，∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA＋PC＝BC，∴四边形PAOC的周长最小值为OC＋OA＋BC. ∵A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋n，把B，C两点的坐标代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4k＋n＝0，,n＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(3,4)，,n＝3，))∴直线BC的解析式为y＝－eq \f(3,4)x＋3，由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x
＝eq \f(5,2)，当x＝eq \f(5,2)时，y＝－eq \f(3,4)×eq \f(5,2)＋3＝eq \f(9,8)，故点P的坐标为(eq \f(5,2)，eq \f(9,8))．
(3)存在．
①当∠BQM＝90°时，如图2，∵点M在线段BC上，∴设M(m，－eq \f(3,4)m＋3)．∵∠CMQ＞90°，∴只能CM＝MQ＝－eq \f(3,4)m＋3. ∵MQ∥y轴，∴∠MQB＝∠COB，∠QMB＝∠OCB，∴△MQB∽△COB，∴eq \f(BM,BC)＝eq \f(QM,OC)，即eq \f(5－(－\f(3,4)m＋3),5)＝eq \f(－\f(3,4)m＋3,3)，解得m＝eq \f(3,2)，∴M(eq \f(3,2)，eq \f(15,8))；
②当∠QMB＝90°时，如图3，∵∠CMQ＝90°，∴只能CM＝MQ，设CM＝MQ＝m，∴BM＝5－m. ∵∠BMQ＝∠COB＝90°，∠MBQ＝∠OBC，∴△BMQ∽△BOC，∴eq \f(MQ,OC)＝eq \f(BM,BO)，即eq \f(m,3)＝eq \f(5－m,4)，解得m＝eq \f(15,7)＝CM. 过点M作MN∥OB交y轴于点N，∴eq \f(MN,OB)＝eq \f(CM,BC)，即eq \f(MN,4)＝eq \f(\f(15,7),5)，∴MN＝eq \f(12,7). ∵直线BC的解析式为y＝－eq \f(3,4)x＋3，∴当x＝eq \f(12,7)时，则y＝－eq \f(3,4)×eq \f(12,7)＋3＝eq \f(12,7)，∴M(eq \f(12,7)，eq \f(12,7))．
综上所述，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(15,8))或(eq \f(12,7)，eq \f(12,7))．

图1 图2 图3