【中考一轮复习】2023年中考数学通用版考点梳理+练习——第18讲 等腰三角形与直角三角形（含答案）

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考 点 清 单
考点1 等腰三角形的性质与判定
【易错警示】等腰三角形中的分类讨论：
(1)当顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验；
(2)当腰长和底边长不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验．
考点2 等边三角形的性质与判定
考点3 直角三角形的性质与判定
考点4 等腰直角三角形的性质与判定
强 化 演 练
基础练
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作 CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F.若DF的长为eq \f(\r(2),3)，则AE的长为( )
A．eq \r(2) B．2 C．eq \r(5) D．2eq \r(5)
2．已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足eq \r(2a－3b＋5)＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( )
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
3．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥AC交BC于点D，则AD的值为( )
A．eq \f(12,5) B．eq \f(15,4) C．5 D．eq \f(20,3)
4．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为( )
A．30° B．20° C．25° D．15°
5．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10 m，AD为支柱(即底边BC上的中线)，两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE＋DF等于( )
A．10 m B．5 m C．2.5 m D．9.5 m
6．如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF.若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为( )
A．eq \r(3)＋1 B．eq \r(5)＋3 C．eq \r(5)＋1 D．4
7．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C, 使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在△ABC中AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE.连接DE，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F.若∠C＝40°，则∠AFE的度数为( )
A．60° B．65° C．75° D．80°
9．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD，BE的交点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是( )
A．eq \f(1,2) B．2 C．eq \f(\r(6),3) D．eq \f(\r(6),4)
10．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线．若CD＝2，则AB＝ .
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.若S△ABC＝1，则PE＋PF＝ .
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝ .
13．如图，EA＝EB＝EC，∠AEB＝70°，则∠ACB＝ °.
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E为垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是 .
15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C＝45°.
(1)求证：AB＝BD；
(2)若AE＝3，求△ABC的面积．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至点E，使得CE＝CA，连接AE.
(1)求证：∠B＝∠ACB；
(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．
强化练
17．如图，在等边三角形ABC中，AB＝10，E为AC的中点，点F，G为AB边上的动点，且FG＝5，则EF＋CG的最小值是( )
A．5eq \r(7) B．5eq \r(6) C．5eq \r(3)＋5 D．15
18．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE＝45°，F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G，H，∠CBE＝∠BAD.有下列结论：①FD＝FE；②AH＝2CD；③BC·AD＝eq \r(2)AE2；④S△ABC＝4S△ADF.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
提升练
19．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小聪同学将一个直角边长为20 cm的等腰直角三角形纸板，切割七块，正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为
cm2.
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，P是BC上的动点，Q是AC 上的动点(Q不与A，C重合)．
(1)线段PA的最小值为 ；
(2)当△ABP为直角三角形，△PCQ也为直角三角形时，CQ的长度为 .
参 考 答 案
考点清单
①两角 ②两角 ③ah ④60° ⑤三 ⑥60° ⑦一半 ⑧一半 ⑨a2＋b2＝c2 ⑩30° ⑪90°
⑫a2＋b2＝c2 ⑬90° ⑭45° ⑮45°
强化演练
1. C 2. D 3. B 4. D 5. B 6. C 7. B 8. C 9. A 10. 4 11. 1 12. 54° 13. 35 14. 2eq \r(3)
15. (1)证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝eq \f(1,2)∠ABC＝30°. ∵∠C＝45°，∴∠ADB＝∠DBC＋∠C＝75°，∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝75°，∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD.
(2)解：在Rt△ABE中，∵∠ABC＝60°，AE＝eq \r(3)，∴BE＝eq \f(AE,tan∠ABC)＝eq \r(3). 在Rt△AEC中，∵∠C＝45°，AE＝3，∴EC＝eq \f(AE,tanC)＝3，∴BC＝3＋eq \r(3)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AE＝eq \f(9＋3\r(3),2).
16. (1)证明：在△ADB和△ADC中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝AD，,∠ADB＝∠ADC，,BD＝CD，))∴△ADB≌△ADC(SAS)，∴∠B＝∠ACB.
(2)解：在Rt△ADB中，∵AB＝5，AD＝4，∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(52－42)＝3，∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴BE＝2BD＋CE＝2×3＋5＝11，DE＝CD＋CE＝8. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE＝eq \r(AD2＋DE2)＝eq \r(42＋82)＝4eq \r(5)，∴C△ABE＝AB＋BE＋AE＝5＋11＋4eq \r(5)＝16＋4eq \r(5)，S△ABE＝eq \f(1,2)BE·AD＝eq \f(1,2)×11×4＝22.
17. A 18. D 19. eq \f(25,4) 20. (1)3 (2)4.5或4或3
性质
(1)两底角相等，即∠B＝∠C(等边对等角)；
(2)两腰相等，即AB＝AC；
(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即AD所在的直线；
(4)“三线合一”(即顶角的① 、底边上的中线和底边上的高互相重合)
判定
(1)两边相等的三角形是等腰三角形；
(2)② 相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)
周长、面积
周长：C＝a＋2b；
面积：S＝③ (其中a是底边长，b是腰长，h是底边上的高)
性质
(1)等边三角形的三条边相等，即AB＝BC＝AC；
(2)等边三角形的三个内角相等且每一个角都等于④ ，即∠B＝∠C＝∠BAC＝60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，有⑤ 条对称轴；
(4)等边三角形“三线合一”；
(5)等边三角形的内心、外心重合
判定
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角是⑥ 的等腰三角形是等边三角形
周长、面积
周长：C＝3a；
面积：S＝eq \f(1,2)ah＝eq \f(\r(3),4)a2(h＝eq \f(\r(3),2)a)(其中a是边长，h是任一边上的高)
性质
(1)两锐角之和等于90°，即∠A＋∠B＝90°；
(2)斜边上的中线等于斜边的⑦ ；
(3)30°角所对的直角边等于斜边的⑧ ；
(4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么⑨ ；
【拓展】在直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的锐角等于⑩ ；外接圆半径R＝eq \f(c,2)，内切圆半径r＝eq \f(1,2)(a＋b－c)
判定
(1)有一个角为⑪ 的三角形是直角三角形；
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；
(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足⑫ ，那么这个三角形是直角三角形；
【拓展】一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
周长、面积
周长：C＝a＋b＋c；
面积：S△ABC＝eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)ch(其中a，b分别为两个直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高)
性质
(1)两直角边相等，即AC＝BC；
(2)两锐角相等且都等于45°；
(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即CD所在的直线；
(4)“三线合一”
判定
(1)顶角为⑬ 的等腰三角形是等腰直角三角形；
(2)有两个角为⑭ 的三角形是等腰直角三角形；
(3)有一个角为⑮ 的直角三角形是等腰直角三角形；
(4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形
周长、面积
周长：C＝2a＋c；
面积：S＝eq \f(1,2)a2＝eq \f(1,2)ch＝eq \f(\r(2),2)ah(其中a为直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高)