【中考一轮复习】2023年中考数学通用版考点梳理+练习——第23讲 矩形、菱形、正方形（含答案）

这是一份【中考一轮复习】2023年中考数学通用版考点梳理+练习——第23讲 矩形、菱形、正方形（含答案），共10页。试卷主要包含了定义，常用结论等内容，欢迎下载使用。

考 点 清 单
考点1 矩形的性质及判定
考点2 菱形的性质及判定
考点3 正方形的性质及判定
考点4 特殊四边形之间的关系
考点5 中点四边形
1．定义：依次连接一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形
2．常用结论：
强 化 演 练
基础练
1．下列命题是真命题的是( )
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝30°，BC＝4，则边AD与BC之间的距离为( )
A．2eq \r(5) B．2eq \r(3) C．eq \r(5) D．eq \r(3)
3．如图，在菱形ABDC中，AD与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，与AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则eq \f(2OE＋AE,BD)的值为( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(3,4) C．eq \f(5,3) D．eq \f(5,4)
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是( )
A．1 B．eq \f(4,3) C．eq \f(3,2) D．eq \f(5,3)
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6, AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP, QD，则PC＋ QD的最小值为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3eq \r(6)，则AD的长为( )
A．eq \r(6) B．2eq \r(3) C．eq \r(3)＋1 D．2eq \r(3)－1
7．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为( )
A．1 B．eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
8．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 (写出一个即可)．
9．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 .
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D.
(1)求证：BE＝CF；
(2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
11．如图，四边形ABCD是矩形，E，F分别是线段AD，BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若ED＝2AE，AB·AD＝3eq \r(3)，求EF·BD的值．
12．已知在正方形ABCD中，点E，F，G分别在BC，AB和CD上，FG⊥ED，垂足为H.
(1)如图1，点G与点C重合，求证： FG＝ED；
(2)如图2，点G与点C不重合，延长FG交BC的延长线于点M，若H为FM的中点，求证：AF＝CM；
(3)如图3，在(2)的条件下，取AD的中点N，连接HN，若BF＝2AF，HN＝eq \r(17)，求EM的长．

13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD＝BE；
(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．
14．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于点H，连接GH.
(1)求证：BE＝CF；
(2)若AB＝6，BE＝eq \f(1,3)BC，求GH的长．
强化练
15．如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在矩形的边AB，AD上，将矩形纸片沿CE，CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C，H，G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是( )
A．2 B．eq \f(7,4) C．eq \f(3\r(2),2) D．3
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG.若AE＝BF，则BG的最小值为 .
17．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E在边BC上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F.设eq \f(CE,EB)＝λ(λ＞0)．
(1)若AB＝2，λ＝1，则线段CF的长为 ；
(2)连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 .
18．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B，C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE.
(1)求证：△DCE≌△DAF；
(2)如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC.
①求证：∠HCD＝∠HCB；
②求证：DK·HC＝eq \r(2)HE2.

提升练
19．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD.连接EG并延长交BC于点M.若AB＝eq \r(13)，EF＝1，则GM的长为( )
A．eq \f(2\r(2),5) B．eq \f(2\r(2),3) C．eq \f(3\r(2),4) D．eq \f(4\r(2),5)
参 考 答 案
考点清单
①直角 ②直角 ③相等且互相平分 ④两 ⑤三 ⑥相等 ⑦邻边相等 ⑧互相垂直平分 ⑨对角线的交点 ⑩相等 ⑪互相垂直 ⑫相等 ⑬直角 ⑭相等且互相垂直平分 ⑮四
强化演练
1. B 2. B 3. D 4. D 5. D 6. C 7. C 8. AE＝AF 9. 20
10. (1)证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF＋∠BAF＝∠BAC＋∠BAF，即∠EAB＝∠FAC. ∵AB＝AC，∴AE＝AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE＝CF.
(2)解：∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝eq \r(2)AC＝eq \r(2)，∴BD＝BE－DE＝eq \r(2)－1.
11. (1)证明：∵将△BED沿直线BD折叠，点E与点F重合，∴OE＝OF，EF⊥BD. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF. 在△OBF和△ODE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠OBF＝∠ODE，,∠BOF＝∠DOE，,OF＝OE，))∴△OBF≌△ODE(AAS)，∴OB＝OD. ∵OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．
(2)解：∵AB·AD＝3eq \r(3)，∴S△ABD＝eq \f(1,2)AB·AD＝eq \f(3\r(3),2). ∵ED＝2AE，∴ED＝eq \f(2,3)AD，∴S△BDE∶S△ABD＝2∶3，∴S△BDE＝eq \r(3)，∴菱形BEDF的面积为eq \f(1,2)EF·BD＝2S△BDE＝2eq \r(3)，∴EF·BD＝4eq \r(3).
12. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，BC＝CD. ∵DE⊥FC，∴∠DHC＝90°. ∴∠HDC＋∠DCH＝∠HCE＋∠DCH，∴∠HDC＝∠HCE，∴△BCF≌△CDE(ASA)，∴FC＝FG＝ED.
(2)证明：连接DF，DM，如图1. ∵DE⊥FG，H为FM的中点，∴DF＝DM. ∵∠A＝∠DCM＝90°，AD＝DC，∴Rt△ADF≌Rt△CDM(HL)，∴AF＝CM.
(3)解：过H作PQ∥AB交AD于点P，交BC于点Q，如图2，则∠APQ＝∠PQB＝90°，∴四边形PQBA是矩形，∴PQ＝AB，AP＝BQ. 设AF＝x，则CM＝AF＝x，∴BF＝2x，∴AB＝PQ＝BC＝3x.∵H为FM的中点，HQ∥BF，∴HQ＝eq \f(1,2)BF＝x，BQ＝QM＝2x，∴PH＝2x，AP＝2x.∵N是AD的中点，∴AN＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(3,2)x，NP＝eq \f(1,2)x. ∵HN2＝PN2＋PH2，∴(eq \r(17))2＝(eq \f(1,2)x)2＋(2x)2，解得x＝2(负值已舍去)，∴BF＝4，BM＝8，∴FM＝eq \r(BF 2＋BM 2)＝4eq \r(5)，∴HM＝2eq \r(5). ∵∠B＝∠EHM＝90°，∠HME＝∠BMF，∴△EHM∽△FBM，∴eq \f(HM,BM)＝eq \f(EM,FM)，∴eq \f(2\r(5),8)＝eq \f(EM,4\r(5))，∴EM＝5.

13. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AB∥CD. 又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC＝BE，∴BD＝BE.
(2)解：如图，过点O作OF⊥CD于点F，由(1)知BE＝BD＝10，CD＝AB＝CE＝6，∴DE＝12，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC＝8. ∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝OC，∠BCD＝90°. ∵OF⊥CD，∴DF＝CF，∴OF为△BCD的中位线，∴OF＝eq \f(1,2)BC＝4，∴△ODE的面积为eq \f(1,2)DE·OF＝eq \f(1,2)×12×4＝24.
14. (1)证明：∵AE⊥BF，∠ABE＝90°，∴∠EAB＋∠ABF＝90°，∠ABF＋∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF. 在△EAB和△BCF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EAB＝∠CBF，,AB＝BC，,∠ABC＝∠C，))∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴BE＝CF.
(2)解：∵∠EAB＝∠CBF，∴∠GAE＝∠PBH. ∵PH⊥GP，∴∠GPH＝90°. ∵∠APB＝90°，∴∠GPA＋∠APH＝∠APH＋∠HPB，∴∠GPA＝∠HPB，∴△GPA∽△HPB，∴eq \f(GA,HB)＝eq \f(AP,BP). ∵tan∠EAB＝eq \f(EB,AB)＝eq \f(BP,AP)，BE＝eq \f(1,3)BC，∴eq \f(GA,HB)＝3. ∵G为AD的中点，∴AG＝3，∴HB＝1，∴AH＝5，∴GH＝eq \r(AG2＋AH2)＝eq \r(34).
15. A 16. eq \r(5)－1 17. (1)2eq \r(2)－2 (2)eq \f(1,15)
18. 证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°. ∵CE＝AF，∴△DCE≌△DAF(SAS)．
(2)①∵△DCE≌△DAF，∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF，∴∠FDE＝∠ADF＋∠ADE＝∠CDE＋∠ADE＝∠ADC＝90°，∴△DFE为等腰直角三角形．∵DH⊥EF，∴H是EF的中点，∴DH＝eq \f(1,2)EF，由HB是Rt△EBF的中线得，HB＝EH＝FH＝eq \f(1,2)EF，∴HD＝HB.∵CD＝CB，CH＝CH，∴△CDH≌△CBH(SSS)，∴∠HCD＝∠HCB.
②∵∠BCD＝90°，∴∠HCD＝∠HCB＝45°. ∵△DEF为等腰直角三角形，∴∠DFE＝45°，∴∠HCE＝∠DFK. ∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴∠DKF＝∠HEC，∴△DKF∽△HEC，∴eq \f(DK,HE)＝eq \f(DF,HC)，∴DK·HC＝DF·HE，在等腰直角三角形DFH中，DF＝eq \r(2)HF＝eq \r(2)HE，∴DK·HC＝DF·HE＝eq \r(2)HE2.
19. D
定义
有一个角是① 的平行四边形叫做矩形
特殊性质
(1)边：对边平行且相等；
(2)角：四个角都是② ；
(3)对角线：两条对角线③
对称性
既是轴对称图形，也是中心对称图形，矩形有④
条对称轴
判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(2)有⑤ 个角是直角的四边形是矩形；
(3)对角线⑥ 的平行四边形是矩形
面积
S矩形ABCD＝AB·BC；S△AOB＝S△COD＝S△AOD＝S△COB
定义
有一组⑦ 的平行四边形叫做菱形
特殊性质
(1)边：对边平行，四条边都相等；
(2)角：对角相等；
(3)对角线：两条对角线⑧ 且每一条对角线平分一组对角
对称性
既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，对称中心是⑨
判定
(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
(2)四条边⑩ 的四边形是菱形；
(3)对角线⑪ 的平行四边形是菱形
面积
S菱形ABCD＝ah＝eq \f(1,2)AC·BD
定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形
特殊性质
(1)边：四条边都⑫ ；
(2)角：四个角都是⑬ ；
(3)对角线：两条对角线⑭ ，每条对角线平分一组对角
对称性
既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴有⑮ 条
判定
同时具备菱形和矩形特征的四边形是正方形
面积
S正方形ABCD＝a2(a为正方形的边长)
原始图形
中点四边形形状
任意四边形
平行四边形
对角线相等的四边形
菱形
对角线垂直的四边形
矩形
对角线垂直且相等的四边形
正方形