苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算第二课时学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算第二课时学案，共12页。学案主要包含了课前小题演练，当堂巩固训练，综合突破拔高等内容，欢迎下载使用。

1、理解并掌握向量数乘的运算律和向量共线定理．
2、理解并掌握向量的线性运算．
3、会用已知向量表示未知向量．
4、理解并掌握向量共线的应用.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：用已知向量表示未知向量；
难点：向量共线的应用．
教学过程
基础知识点
1.向量的数乘运算
(1)定义
向量
(2)应用:①与向量的加减法综合运算;②用其几何意义研究向量共线问题.
2.向量数乘的运算律
设λ,μ为实数,则(1);
(2);
(3).
特别地,我们有.
3.向量的线性运算
(1)定义:向量的_____________、___________、____________统称为向量的线性运算.
(2)运算结果:向量线性运算的结果仍是______________.
(3)运算律:对于任意向量,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有.
4.向量共线定理
(1)条件:为非零向量;
(2)如果有一个实数λ,使,那么与是共线向量;
(3)如果与是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使.
【思考】
(1)两个向量共线的充要条件中的“”是否可以去掉?
(2)与非零向量共线的单位向量怎样表示?
(3)如果条件是向量b是非零向量,应如何表示呢?
【课前小题演练】
题1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向
B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量
D．与b不可能是平行向量
题2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是( )
A． eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(CD,\s\up6(→))
B． eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BD,\s\up6(→))
C． eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→))
D． eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝0
题3．下列四式不能化简为 eq \(AD,\s\up6(→)) 的是( )
A． eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(BM,\s\up6(→))
B．( eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) )＋( eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CM,\s\up6(→)) )
C．( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) )＋ eq \(BC,\s\up6(→))
D． eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→))
题4．已知 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b，若| eq \(OA,\s\up6(→)) |＝7，| eq \(OB,\s\up6(→)) |＝24，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________．
题5．如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
【当堂巩固训练】
题6．化简向量 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(BA,\s\up6(→)) － eq \(OD,\s\up6(→)) 等于( )
A． eq \(DC,\s\up6(→)) B． eq \(OD,\s\up6(→)) C． eq \(CD,\s\up6(→)) D． eq \(AB,\s\up6(→))
题7．在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则 eq \(AF,\s\up6(→)) － eq \(DB,\s\up6(→)) 等于( )
A． eq \(FD,\s\up6(→)) B． eq \(FC,\s\up6(→)) C． eq \(FE,\s\up6(→)) D． eq \(BE,\s\up6(→))
题8．设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
题9．如图，在平行四边形ABCD 中， eq \(AO,\s\up6(→)) ＝a， eq \(DO,\s\up6(→)) ＝b，用向量a，b表示向量 eq \(CB,\s\up6(→)) ＝________．
题10．如图所示，在▱ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，用a，b表示向量 eq \(AC,\s\up6(→)) ， eq \(BD,\s\up6(→)) ，则 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝________， eq \(BD,\s\up6(→)) ＝________．
题11．已知△OAB中， eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积.
【综合突破拔高】
题12．设非零向量 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝a＋b满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(＝))b\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(，))a＋b\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(＝))a－b)) ，则四边形ABCD形状是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
题13．已知O为四边形ABCD所在的平面内的一点，且向量 eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OB,\s\up6(→)) ， eq \(OC,\s\up6(→)) ， eq \(OD,\s\up6(→)) 满足等式 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OD,\s\up6(→)) ，若点E为AC的中点，则 eq \f(S△EAB,S△BCD) ＝( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2) C． eq \f(1,3) D． eq \f(2,3)
题14．(多选)八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH，其中OA＝1，则给出下列结论中真命题为( )
A． eq \(BF,\s\up6(→)) － eq \(HF,\s\up6(→)) ＋ eq \(HD,\s\up6(→)) ＝0
B． eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝－ eq \r(2) eq \(OF,\s\up6(→))
C． eq \(AE,\s\up6(→)) ＋ eq \(FC,\s\up6(→)) － eq \(GE,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→))
D． eq \(OA,\s\up6(→)) ＝ eq \(OC,\s\up6(→))
题15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则 eq \(BA,\s\up6(→)) － eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DA,\s\up6(→)) ＝________．
题16．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))) ＝1，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))－\(CD,\s\up6(→)))) ＝________．
题17．如图所示，已知 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝c， eq \(OD,\s\up6(→)) ＝d， eq \(OE,\s\up6(→)) ＝e， eq \(OF,\s\up6(→)) ＝f，试用a，b，c，d，e，f表示下列各式：
(1) eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ；(2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CF,\s\up6(→)) ；(3) eq \(EF,\s\up6(→)) － eq \(CF,\s\up6(→)) .
编号：003 课题:§9.2.2 向量的数乘
目标要求
1、理解并掌握向量数乘的运算律和向量共线定理．
2、理解并掌握向量的线性运算．
3、会用已知向量表示未知向量．
4、理解并掌握向量共线的应用.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：用已知向量表示未知向量；
难点：向量共线的应用．
教学过程
基础知识点
向量的减法
(1)定义：若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b.求两个向量差的运算，叫作向量的减法．
(2)作法：在平面内任取一点O，作 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b，则向量 eq \(BA,\s\up6(→)) ＝a－b，如图所示．
【课前小题演练】
题1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向
B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量
D．与b不可能是平行向量
【解析】选C.a－b必定与a是平行向量．
题2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是( )
A． eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(CD,\s\up6(→))
B． eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BD,\s\up6(→))
C． eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→))
D． eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝0
【解析】选C.在平行四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－ eq \(CD,\s\up6(→)) ，故A错误；由向量减法法则得 eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(DB,\s\up6(→)) ，故B错误；由向量加法的平行四边形法则知 eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) ，即C正确；由于 eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AD,\s\up6(→)) ，故D错误．
题3．下列四式不能化简为 eq \(AD,\s\up6(→)) 的是( )
A． eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(BM,\s\up6(→))
B．( eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) )＋( eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CM,\s\up6(→)) )
C．( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) )＋ eq \(BC,\s\up6(→))
D． eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→))
【解析】选A.对B，( eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) )＋( eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CM,\s\up6(→)) )＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CM,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ，故B正确；
对C，( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) )＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ，故C正确；
对D， eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ，故D正确．
题4．已知 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b，若| eq \(OA,\s\up6(→)) |＝7，| eq \(OB,\s\up6(→)) |＝24，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________．
【解析】如图，在矩形OACB中， eq \(OA,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \(BA,\s\up6(→)) ，
则|a－b|＝| eq \(BA,\s\up6(→)) |＝ eq \r(|a|2＋|b|2) ＝ eq \r(72＋242) ＝25.
答案：25
题5．如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
【解析】如图所示，在平面内任取一点O，作 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝c， eq \(OD,\s\up6(→)) ＝d.则a－b＝ eq \(BA,\s\up6(→)) ，c－d＝ eq \(DC,\s\up6(→)) .
【当堂巩固训练】
题6．化简向量 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(BA,\s\up6(→)) － eq \(OD,\s\up6(→)) 等于( )
A． eq \(DC,\s\up6(→)) B． eq \(OD,\s\up6(→)) C． eq \(CD,\s\up6(→)) D． eq \(AB,\s\up6(→))
【解析】选A. eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(BA,\s\up6(→)) － eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \(DC,\s\up6(→)) .
题7．在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则 eq \(AF,\s\up6(→)) － eq \(DB,\s\up6(→)) 等于( )
A． eq \(FD,\s\up6(→)) B． eq \(FC,\s\up6(→)) C． eq \(FE,\s\up6(→)) D． eq \(BE,\s\up6(→))
【解析】选D.如图所示，在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，可得 eq \(DB,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ， eq \(DF,\s\up6(→)) ＝ eq \(BE,\s\up6(→)) ，
则 eq \(AF,\s\up6(→)) － eq \(DB,\s\up6(→)) ＝ eq \(AF,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(DF,\s\up6(→)) ＝ eq \(BE,\s\up6(→)) .
题8．设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
【解析】选A.利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(＝))\(DB,\s\up6(→)))) ，如图所示．
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
题9．如图，在平行四边形ABCD 中， eq \(AO,\s\up6(→)) ＝a， eq \(DO,\s\up6(→)) ＝b，用向量a，b表示向量 eq \(CB,\s\up6(→)) ＝________．
【解析】由题意可得 eq \(CB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(DO,\s\up6(→)) － eq \(AO,\s\up6(→)) ＝b－a.
答案：b－a
题10．如图所示，在▱ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，用a，b表示向量 eq \(AC,\s\up6(→)) ， eq \(BD,\s\up6(→)) ，则 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝________， eq \(BD,\s\up6(→)) ＝________．
【解析】由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝a＋b， eq \(BD,\s\up6(→)) ＝b－a.
答案：a＋b b－a
题11．已知△OAB中， eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积.
【解析】由已知得| eq \(OA,\s\up6(→)) |＝| eq \(OB,\s\up6(→)) |，以 eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OB,\s\up6(→)) 为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，
且 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝a＋b， eq \(BA,\s\up6(→)) ＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，
所以△OAB为正三角形，
所以|a＋b|＝| eq \(OC,\s\up6(→)) |＝2× eq \r(3) ＝2 eq \r(3) ，S△OAB＝ eq \f(1,2) ×2× eq \r(3) ＝ eq \r(3) .
【综合突破拔高】
题12．设非零向量 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝a＋b满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(＝))b\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(，))a＋b\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(＝))a－b)) ，则四边形ABCD形状是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
【解析】选C.因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，所以 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝a＋b， eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(DB,\s\up6(→)) ＝a－b，
因为|a|＝|b|，所以| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝| eq \(AD,\s\up6(→)) |，
根据平行四边形法则，所以四边形ABCD是菱形，
又因为|a＋b|＝|a－b|，
所以| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝| eq \(DB,\s\up6(→)) |，所以四边形ABCD是正方形．
题13．已知O为四边形ABCD所在的平面内的一点，且向量 eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OB,\s\up6(→)) ， eq \(OC,\s\up6(→)) ， eq \(OD,\s\up6(→)) 满足等式 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OD,\s\up6(→)) ，若点E为AC的中点，则 eq \f(S△EAB,S△BCD) ＝( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2) C． eq \f(1,3) D． eq \f(2,3)
【解析】选B.因为向量 eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OB,\s\up6(→)) ， eq \(OC,\s\up6(→)) ， eq \(OD,\s\up6(→)) 满足等式 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OD,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(OA,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OD,\s\up6(→)) － eq \(OC,\s\up6(→)) ，即 eq \(BA,\s\up6(→)) ＝ eq \(CD,\s\up6(→)) ，
则四边形ABCD为平行四边形，因为E为AC的中点，所以E为对角线AC与BD的交点，
则S△EAB＝S△ECD＝S△ADE＝S△BCE，
则 eq \f(S△EAB,S△BCD) ＝ eq \f(1,2) .
题14．(多选)八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH，其中OA＝1，则给出下列结论中真命题为( )
A． eq \(BF,\s\up6(→)) － eq \(HF,\s\up6(→)) ＋ eq \(HD,\s\up6(→)) ＝0
B． eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝－ eq \r(2) eq \(OF,\s\up6(→))
C． eq \(AE,\s\up6(→)) ＋ eq \(FC,\s\up6(→)) － eq \(GE,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→))
D． eq \(OA,\s\up6(→)) ＝ eq \(OC,\s\up6(→))
【解析】选BC.对于A：因为 eq \(BF,\s\up6(→)) － eq \(HF,\s\up6(→)) ＋ eq \(HD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BF,\s\up6(→)) ＋ eq \(FH,\s\up6(→)) ＋ eq \(HD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BH,\s\up6(→)) ＋ eq \(HD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BD,\s\up6(→)) ，故A错误；对于B：因为∠AOC＝ eq \f(360°,8) ×2＝90°，则以OA，OC为邻边的平行四边形为正方形，又因为OB平分∠AOC，
所以 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \r(2) eq \(OB,\s\up6(→)) ＝－ eq \r(2) eq \(OF,\s\up6(→)) ，故B正确；
对于C：因为 eq \(AE,\s\up6(→)) ＋ eq \(FC,\s\up6(→)) － eq \(GE,\s\up6(→)) ＝ eq \(AE,\s\up6(→)) ＋ eq \(EG,\s\up6(→)) ＋ eq \(FC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AG,\s\up6(→)) ＋ eq \(FC,\s\up6(→)) ，且 eq \(FC,\s\up6(→)) ＝ eq \(GB,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(AE,\s\up6(→)) ＋ eq \(FC,\s\up6(→)) － eq \(GE,\s\up6(→)) ＝ eq \(AG,\s\up6(→)) ＋ eq \(GB,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ，故C正确， eq \(OA,\s\up6(→)) 与 eq \(OC,\s\up6(→)) 方向不同，所以 eq \(OA,\s\up6(→)) ≠ eq \(OC,\s\up6(→)) ，所以D错误．
题15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则 eq \(BA,\s\up6(→)) － eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DA,\s\up6(→)) ＝________．
【解析】 eq \(BA,\s\up6(→)) － eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DA,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BA,\s\up6(→))－\(BC,\s\up6(→)))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OD,\s\up6(→))－\(OA,\s\up6(→)))) ＋ eq \(DA,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DA,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) .
答案： eq \(CA,\s\up6(→))
题16．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))) ＝1，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))－\(CD,\s\up6(→)))) ＝________．
【解析】如图所示，作出菱形ABCD，连接BD，AC，交于点O，
由题意知，在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，
所以△ABD为等边三角形，BD＝1.
所以| eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(CD,\s\up6(→)) |＝| eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(BA,\s\up6(→)) |＝| eq \(AC,\s\up6(→)) |.
由四边形ABCD为菱形可知，O为BD，AC的中点．
又△ABD是边长为1的等边三角形，
所以| eq \(AO,\s\up6(→)) |＝ eq \f(\r(3),2) ，
所以| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝2| eq \(AO,\s\up6(→)) |＝ eq \r(3) .
所以| eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(CD,\s\up6(→)) |＝ eq \r(3) .
答案： eq \r(3)
题17．如图所示，已知 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝c， eq \(OD,\s\up6(→)) ＝d， eq \(OE,\s\up6(→)) ＝e， eq \(OF,\s\up6(→)) ＝f，试用a，b，c，d，e，f表示下列各式：
(1) eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ；(2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CF,\s\up6(→)) ；(3) eq \(EF,\s\up6(→)) － eq \(CF,\s\up6(→)) .
【解析】(1) eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OD,\s\up6(→))－\(OA,\s\up6(→)))) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→))－\(OA,\s\up6(→)))) ＝ eq \(OD,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) ＝d－b.
(2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CF,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→))－\(OA,\s\up6(→)))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OF,\s\up6(→))－\(OC,\s\up6(→)))) ＝b－a＋f－c＝b＋f－a－c.
(3) eq \(EF,\s\up6(→)) － eq \(CF,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OF,\s\up6(→))－\(OE,\s\up6(→)))) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OF,\s\up6(→))－\(OC,\s\up6(→)))) ＝ eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OE,\s\up6(→)) ＝c－e.
文字
表述
一般地,我们规定实数与向量的积是一个_________,这种运
算叫作向量的数乘,记作______________.
规定
长度
方向
当λ>0时,的方向与的方向_____________;
当λ<0时,的方向与的方向______________;
当λ=0时,=_______.
方向
λ>1
把向量沿着向量的相同方向放大
0<λ<1
把向量沿着向量的相同方向缩小
-1<λ<0
把向量沿着向量的相反方向缩小
λ<-1
把向量沿着向量的相反方向放大