初中数学北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线多媒体教学ppt课件

这是一份初中数学北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线多媒体教学ppt课件，共26页。PPT课件主要包含了问题引入，线段垂直平分线的性质，知识要点，探究发现，活动探究，你能证明这一结论吗，验证结论，点击视频开始播放←，总结归纳，典例精析等内容，欢迎下载使用。
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
观察： 已知点 A 与点 A′ 关于直线 l 对称，如果线段 AA′ 沿直线 l 折叠，则点 A 与点 A′ 重合，AD = A′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线 l 既平分线段 AA′，又垂直于线段 AA′.
我们把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，… 是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
将△ABC 沿直线 l 对折，由于 l 是线段 AB 的垂直平分线，因此点 A 与点 B 重合. 从而线段 PA 与线段 PB 重合，于是 PA = PB.
猜想：点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P 在 l 上.求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．又 AC = CB，PC = PC，∴△PCA≌△PCB (SAS)．∴ PA = PB．
微课——证明线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cmB．10 cmC．15 cmD．17.5 cm
解析：∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
练一练：1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 .
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论
① 当点 P 在线段 AB 上时，
∴ 点 P 为线段 AB 的中点，
显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上；
② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示.
∴△PAB 是等腰三角形.
过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C.
∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线.
即 PC⊥AB，且 AC = BC.
∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，
此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.
微课——线段垂直平分线的逆命题
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：∵ PA = PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
例2 已知：如图 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB = AC，∴ A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线.∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线).
证明：延长 AO 交 BC 于点 D.∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△ABO ≌ △ACO (SSS).∴∠BAO ＝ ∠CAO.∵ AB＝AC，∴ AO⊥BC.∵ OB＝OC，OD＝OD，∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).∴ BD＝CD.∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC.
试一试：已知：如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，连接 CD.求证：OE 是 CD 的垂直平分线.
∵ OE 平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ DE = CE (角平分线上的点到角的两边的距离相等).
∴ OE 是 CD 的垂直平分线.
1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是 　 (　　) A. AB 垂直平分 CD B. CD 垂直平分 AB C.AB 与 CD 互相垂直平分 D.CD 平分∠ACB
2. 已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使 DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合共有 　　　种.
3. 下列说法：① 若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点，则 EA＝ EB，PA＝PB；② 若 PA＝PB，EA＝EB，则直线 PE 垂直平分线段 AB；③ 若 PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点；④ 若 EA＝EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB．其中正确的有 （填序号）.
4. 如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC于 E，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则△BCE 的周长是 cm.
5. 已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O. 求证：AO = BO.
证明：∵ AC = BC，AD = BD，
∴ CD 为线段 AB 的垂直平分线.
又 ∵ AB 与 CD 相交于点 O，