北师大版数学八年级下册 6.2 第3课时 平行线间的距离及平行四边形判定与性质的综合 课件

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6.2 平行四边形的判定第六章 平行四边形第3课时 平行线间的距离及平行四边形判定与性质的综合情境引入 在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流. 如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出这些垂线段的长度． 经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等(从图中也可以看到这一点)．合作探究猜想：平行线间距离处处相等.平行线之间的距离如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D. 求证：AC = BD.证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD，理论证明∴∠1 =∠2 = 90°.∴ AC∥BD.∵ AB∥CD，∴ 四边形 ACDB 是平行四边形.∴ AC = BD. 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等 (如图，AC = BD)，这个距离称为平行线之间的距离.归纳总结(简记为：两条平行线间的距离处处相等).AB思考：两条平行线之间的距离与点和点之间的距离，点到线之间的距离有何区别与联系？abAB 点到直线的距离只有一条，即过直线外点作直线的垂线段的长度；而平行线的距离有无数条即一直线任一点都可以得到一条两平行直线的距离. 例1 如图，直线 AE∥BD，点 C 在 BD 上，若 AE = 5，BD = 8，△ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 .分析：根据平行线之间的距离处处相等.解析：设高为 h，则 S△ABD = BD·h = 16，h = 4，所以 S△ACE = AE·h = ×5×4 = 10.10典例精析思考：若垂线段改为夹在两条线段间的平行线段呢？它们是否相等呢？ 由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形的性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等.例2 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，BN = DM，BE = DF．求证：四边形 MENF 是平行四边形.证明：在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，∴∠MDF =∠NBE.∵ DM = BN，DF = BE，∴△MDF≌△NBE (SAS).∴ MF = NE，∠MFD =∠NEB.∴ 四边形 MENF 是平行四边形.∴∠MFE =∠NEF. ∴ FM∥EN.问题 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，求证四边形 ABCD 是平行四边形.证明：∵ 四边形 AEFD 和 EBCF都是平行四边形，∴ AD EF，EF BC.∴ AD BC.∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.提示：要由其中的一个或多个平行四边形，得出四边形中边角的条件，判定其他四边形也是平行四边形平行四边形性质与判定的综合运用例3 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 是对角线 AC 上的两点，给出下列四个条件：① AE = CF；② DE = BF；③∠ADE =∠CBF；④∠ABE =∠CDF．其中不能判定四边形 DEBF 是平行四边形的有（　　）A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 B【解析】由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以，故选 B．例4 如图，在 ABCD 中，AE⊥BD 于 E，CF⊥BD于 F，连接 AF，CE．求证：AF = CE．证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB = CD，AB∥CD.∴∠ABE =∠CDF.又∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB =∠CFD = 90°，AE∥CF.在△ABE 和△CDF 中， ∠ABE＝∠CDF， ∠AEB＝∠CFD， AB＝CD，∴△ABE≌△CDF (AAS).∴ AE = CF.∵ AE∥CF，∴ 四边形 AECF 是平行四边形.∴ AF = CE.1. (1) 在□ABCD 中，∠A = 150°，AB = 8 cm，BC = 10 cm，则 S□ABCD= cm2..提示：过点 A 作AE⊥BC 于 E，然后利用勾股定理求出 AE 的值.40 (2) 若点 P 是□ABCD 上 AD 上任意一点，那么△PBC 的面积是 cm2..20 提示：△PBC 与□ABCD 是同底等高.2. 如图，平行四边形 ABCD 中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是（　　）A．13 B．14 C．15 D．18 【解析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边形AEOM、AGPM、ABNM、EGPO、EBNO、GBNP、MOFD、MPHD、MNCD、OPHF、ONCF、PNCH、AEFD、AGHD、ABCD、EGHF、EBCF 和 GBCH 都是平行四边形，共 18 个．D3. 在□ABCD 中，E、F 分别在 BC、AD 上，若想要使四边形 AFCE 为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（　　）A．AF = CE B．AE = CF C．∠BAE =∠FCD D．∠BEA =∠FCE B4. 如图，□ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 边上的点，要使四边形 BEDF 为平行四边形，需添加一个条件：______________________________________________. AE = FC 或∠ABE =∠CDF 或 BE = DF (答案不唯一)5. 如图，在□ABCD 中，E、F 分别为边 AD、BC 的中点，对角线 AC 分别交 BE，DF 于点 G、H．求证：AG = CH．证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD∥BC.∴∠ADF =∠CFH，∠EAG =∠FCH.∵ E、F 分别为 AD、BC 边的中点，∴ AE = DE = AD，CF = BF = BC.∴ DE∥BF，DE = BF.∴ 四边形 BFDE 是平行四边形.∴ BE∥DF.∴∠AEG =∠ADF. ∴∠AEG =∠CFH.在△AEG 和△CFH 中， ∠EAG＝∠FCH， AE＝CF， ∠AEG＝∠CFH，∴△AEG≌△CFH（ASA）.∴ AG = CH．平行四边形五种判定方法对边平行，对边相等，对角相等 判定 性质夹在两条平行线间的平行线段处处相等