江苏省南京师范大学附属中学秦淮科技高中2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

2022-2023学年南京师范大学附属中学秦淮科技高中高二上

期末考试

一．选择题（共8小题）

1．过，两点的直线的倾斜角是　　

A． B． C． D．

2．若曲线在点处的切线方程为，则，的值分别为　　

A．1，1 B．，1 C．1， D．，

3．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

4．已知数列满足，若，则　　

A． B． C．1 D．2

5．已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为4，点在抛物线上，点，则的最小值为　　

A．3 B．5 C．7 D．9

6．设函数是函数的导函数，为自然对数的底数，若函数满足，且，则不等式的解集为　　

A． B． C． D．

7．对于无穷数列，给出下列命题：

①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列；

②若等差数列满足，则数列是常数列；

③若等比数列满足，则数列是常数列；

④若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列．

其中正确的命题个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一渐近线交于点，若，则的离心率为　　

A． B． C． D．2

二．多选题（共4小题）

9．设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是　　

A． 

B．当时，取得最大值 

C． 

D．使得成立的最大自然数是15

10．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是　　

A．当时，曲线是椭圆 

B．当或时，曲线是双曲线 

C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 

D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则

11．已知圆和圆．现给出如下结论，其中正确的是　　

A．圆与圆有四条公切线 

B．过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或 

C．过且与圆相切的直线方程为 

D．，分别为圆和圆上的动点，则的最大值为，最小值为

12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，记点的轨迹为圆，又已知动圆．则下列说法正确的是　　

A．圆的方程是 

B．当变化时，动点的轨迹方程为 

C．当时，过直线上一点引圆的两条切线，切点为，，则的最大值为 

D．存在使得圆与圆内切

三．填空题（共4小题）

13．设等差数列的公差为非零常数，且，若，，成等比数列，则公差　　；数列的前100项和　　．

14．若圆与双曲线的渐近线相切，则　 　；双曲线的渐近线方程是　 　．

15．设函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围是　　．

16．在平面直角坐标系中，已知圆：，点在直线上，若过点存在直线与圆交于，两点，且满足，则点的横坐标的取值范围是 　　．

四．解答题（共6小题）

17．已知在各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

18．已知函数，其图象上点处的切线的斜率是．

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）求在区间，上的最大与最小值．

19．已知直线，圆．

（1）求经过圆心且与平行的直线方程；

（2）求垂直于直线且与圆相切的直线方程．

20．已知正项数列的前项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知对于，不等式恒成立，求实数的最小值．

21．已知函数，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，若关于的不等式恒成立，试求的取值范围．

22．如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作圆的两条切线，记切点分别为，，令，求此时两切点连线的方程；

（3）若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点．当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．

2022-2023学年南京师范大学附属中学秦淮科技高中高二上

期末考试

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．过，两点的直线的倾斜角是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由于，，

所以，

由于，

故；

故选：．

2．若曲线在点处的切线方程为，则，的值分别为　　

A．1，1 B．，1 C．1， D．，

【解答】解：，

曲线在点处的切线方程的斜率为1，

，

又切点在切线，

．

故选：．

3．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为双曲线的离心率为，

所以，即，所以，所以双曲线的渐近线的方程为．

故选：．

4．已知数列满足，若，则　　

A． B． C．1 D．2

【解答】解：由题可知，，且，

令，则，

令，则，

令，则，

令，则，

令，则，

数列为周期为3的周期数列，

．

故选：．

5．已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为4，点在抛物线上，点，则的最小值为　　

A．3 B．5 C．7 D．9

【解答】解：焦点到准线的距离为4，

，

设过点与准线的垂线交准线于，

当，，三点共线时，取得最小值．

故选：．

6．设函数是函数的导函数，为自然对数的底数，若函数满足，且，则不等式的解集为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为函数满足，

所以，

两边积分，

所以，

因为（e），

所以（e），

所以，

所以，

令，

，

所以函数在定义域内单调递减，

若不等式，

则，

所以（e），

所以，

所以，

故选：．

7．对于无穷数列，给出下列命题：

①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列；

②若等差数列满足，则数列是常数列；

③若等比数列满足，则数列是常数列；

④若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列．

其中正确的命题个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：对于①，若数列既是等差数列又是等比数列，则数列为常数列，且，故①正确；

②若等差数列满足，由于数列为无穷数列，

又数列为等差数列，若公差不为0，则无上界，则数列是常数列，故②正确；

③若等比数列满足，考虑，则数列不一定是常数列，故③错误；

④若各项为正数的等比数列满足，即，可得，，

若，则无上界，故，进而数列是常数列，故④正确．

故选：．

8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一渐近线交于点，若，则的离心率为　　

A． B． C． D．2

【解答】解：

，所在直线方程为，

联立，解得，

联立，解得．

由，得，即．

，即．

故选：．

二．多选题（共4小题）

9．设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是　　

A． 

B．当时，取得最大值 

C． 

D．使得成立的最大自然数是15

【解答】解：因为等差数列中，，，

所以，，，正确；

当时，取得最大值，正确；

，正确；

，，

故成立的最大自然数，错误．

故选：ABC．

10．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是　　

A．当时，曲线是椭圆 

B．当或时，曲线是双曲线 

C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 

D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则

【解答】解：当曲线是椭圆时，，解得或，故错误；

当曲线是双曲线时，，解得或，故正确；

若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故正确；

若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故错误．

故选：．

11．已知圆和圆．现给出如下结论，其中正确的是　　

A．圆与圆有四条公切线 

B．过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或 

C．过且与圆相切的直线方程为 

D．，分别为圆和圆上的动点，则的最大值为，最小值为

【解答】解：圆的圆心，半径为2；圆，圆心，半径为1，

中，圆心距，所以两个圆相离，所以两个圆有4条公切线，所以正确；

中，过点又过原点的直线在两坐标轴的截距相等，即在坐标轴的截距相等；当直线不过时，设，将的坐标代入可得，所以过点点在坐标轴的截距相等的直线为，所以不正确；

中，过点的斜率不存在时，即直线显然与圆相切，当切线的斜率存在时，设为，即，圆心到直线的距离，解得，则这时切线方程为：，所以过且与圆相切的直线为或，故不正确；

中，圆心距，由题意可得，，即，，所以正确；

故选：．

12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，记点的轨迹为圆，又已知动圆．则下列说法正确的是　　

A．圆的方程是 

B．当变化时，动点的轨迹方程为 

C．当时，过直线上一点引圆的两条切线，切点为，，则的最大值为 

D．存在使得圆与圆内切

【解答】解：设，由，得，平方整理得：．故正确；

因为动圆的方程为，所以，

设，消去得．即圆心的轨迹方程为，故正确；

当时，圆心，直线的方程为：，

因为，要使最大，只需最小．

所以，所以，即．

所以的最大值为，故正确；

因为圆心距，

若两圆内切有，故不存使得，故错误．

故选：．

三．填空题（共4小题）

13．设等差数列的公差为非零常数，且，若，，成等比数列，则公差　1　；数列的前100项和　　．

【解答】解：设等差数列的公差为非零常数，且，若，，成等比数列，

则，整理得，解得或舍去），

故，

则，

所以，

则．

故答案为：1；．

14．若圆与双曲线的渐近线相切，则　　；双曲线的渐近线方程是　 　．

【解答】解：双曲线的渐近线方程为，

圆的圆心为，半径为1，

由直线和圆相切，可得，

解得，

渐近线方程为．

故答案为：，．

15．设函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围是　，　．

【解答】解：根据题意，函数，其导数，

若，解可得，即的递减区间为，；

若函数在，上单调递减，则有，

解可得：，

即的取值范围为，；

故答案为：，

16．在平面直角坐标系中，已知圆：，点在直线上，若过点存在直线与圆交于，两点，且满足，则点的横坐标的取值范围是 　，　．

【解答】解：由题意设，，设，

因为，则点为的中点，所以，，

而在圆上，

所以，

整理可得：，

即，

可得，

可得，

解得，

故答案为：，．

四．解答题（共6小题）

17．已知在各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【解答】解：（1）根据题意，因为数列为各项均为正数的等差数列，

所以，即得，

设公差为，则有，，，

又因为，，构成等比数列的前三项，

所以，

即，

解之可得或（舍去），

所以，

即得数列是以3为首项，2为公差的等差数列，

故可得，

由题可得，，，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，

故可得；

（2）设，

则①，

在上式两边同时乘以2可得，，②，

①②可得，，

即得．

18．已知函数，其图象上点处的切线的斜率是．

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）求在区间，上的最大与最小值．

【解答】解：（Ⅰ），

由函数，其图象上点处的切线的斜率是．

可知，

解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ），，

由，及，得在上递增，在上递减，在，上递增，

所以；

，（2），．

19．已知直线，圆．

（1）求经过圆心且与平行的直线方程；

（2）求垂直于直线且与圆相切的直线方程．

【解答】解：（1）圆的圆心坐标为，

则经过圆心且与平行的直线方程为；

（2）垂直于直线的斜率为，又过圆心，则直线方程为．

20．已知正项数列的前项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知对于，不等式恒成立，求实数的最小值．

【解答】解：（1）①，

当时，，又，解得，

当时，②，

由①②得，

，，

，

故数列是首项为1，公差为的等差数列，则；

（2）由（1）得，则，则，

则，

对于，不等式恒成立，

，故的最小值为．

21．已知函数，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，若关于的不等式恒成立，试求的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，，

，

，解得；，解得．

可得函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）当时，关于的不等式恒成立，

令，．

，

令，，

可得函数在时取得极小值，即最小值，

，

，

，

函数在上单调递增，（1）．

．

的取值范围是，．

22．如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作圆的两条切线，记切点分别为，，令，求此时两切点连线的方程；

（3）若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点．当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）由已知可得，，所求椭圆的方程为．

（2）由题意，在为直径的圆：上，又圆，

由两圆相减得的方程为；

（3）法一、设切线方程为，则，，

（由△得

设两切线，的斜率为，，则，是上述方程的两根，

所以，联立可得，

设，，，，

则由韦达定理得，；

由，得，，

直线的斜率，

直线的方程为，

整理得，

故直线过定点．

法二、设切线方程为：，则，即，

设两切线，的斜率为，，则，是上述方程的两根，

所以；

可设的直线方程为可得，

设，，，，

由韦达定理，，，

，

代入，

将韦达定理代入得，

化简得或（舍去）．

故直线的直线方程为，直线经过定点．

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