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广西柳州市柳城县2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)
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这是一份广西柳州市柳城县2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西柳州市柳城县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．x2﹣y﹣2＝0 D．
3．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣1，2） D．（﹣2，﹣1）
4．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，2，﹣3
5．将抛物线y＝2x2平移后得到抛物线y＝2x2+1，则平移方式为（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位
6．一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
7．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25
8．某经济开发区今年一月份工业产值达到80亿元，第一季度总产值为275亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意所列方程是（ ）
A．80（1+x）2＝275
B．80+80（1+x）+80（1+x）2＝275
C．80（1+x）3＝275
D．80（1+x）+80（1+x）2＝275
9．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2﹣4上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP＝3，那么PP′的长等于（ ）
A．3 B．2 C．4 D．3
11．若一元二次方程（3a﹣6）x2+a2﹣4＝0的常数项是0，则a的值是（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．4
12．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＞0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＜0；⑤4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空：（每题3分，共18分）
13．一元二次方程x2﹣（3x﹣2）＝8的一般形式是 ．
14．二次函数y＝﹣x2+2x+7的最大值为 ．
15．用配方法解方程x2﹣4x＝5时，方程的两边同时加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
16．在直角△OAB中，∠AOB＝30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB＝ ．
17．已知抛物线的顶点为（1，﹣1），且过点（2，1），求这个函数的表达式为 ．
18．关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
三、解答题：（共66分）
19．选择适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣16＝0；
（2）x（x+3）﹣（2x+6）＝0；
（3）x2﹣3x+1＝0．
20．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（不写作法，只保留作图痕迹）
（1）将△ABC沿x轴翻折后再沿x轴向右平移1个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1．
（2）作△ABC关于坐标原点成中心对称的△A2B2C2．
（3）求B1的坐标C2的坐标 ．（直接写出）
21．已知：关于x的方程x2+4x+（2﹣k）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根．
22．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角尺旋转了多少度？
（2）连接CD，试判断△CBD的形状．
（3）求∠BDC的度数．
23．某企业2016年盈利1500万元，2018年实现盈利2160万元，从2016年到2018年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
（1）年平均增长率是多少？
（2）若该企业盈利的年平均增长率继续保持不变，预计2019年盈利多少万元？
24．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点．
（1）求A、B、C点的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并求其面积．
25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
26．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．x2﹣y﹣2＝0 D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，x2﹣2x+1＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．方程x2﹣y﹣2＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程x2+＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
3．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣1，2） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
解：点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，1），
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，2，﹣3
【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
解：一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣2，﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
5．将抛物线y＝2x2平移后得到抛物线y＝2x2+1，则平移方式为（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位
【分析】直接利用二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）进而得出答案．
解：抛物线y＝2x2平移得到抛物线y＝2x2+1的步骤是：向上平移1个单位．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
6．一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】求出b2﹣4ac的值，再判断即可．
解：x2+3x+5＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×5＝﹣11＜0，
即方程无实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的根的判别式是b2﹣4ac，当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
7．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．某经济开发区今年一月份工业产值达到80亿元，第一季度总产值为275亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意所列方程是（ ）
A．80（1+x）2＝275
B．80+80（1+x）+80（1+x）2＝275
C．80（1+x）3＝275
D．80（1+x）+80（1+x）2＝275
【分析】第一季度总产值＝一月份工业产值+二月份工业产值+三月份工业产值，把相关数值代入即可求解．
解：∵某经济开发区今年一月份工业产值达到80亿元，平均每月的增长率为x，
∴二月份的工业产值为80×（1+x）亿元，
∴三月份的工业产值为80×（1+x）×（1+x）＝80×（1+x）2亿元，
∴可列方程为：80+80（1+x）+80（1+x）2＝275，
故选：B．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．得到第一季度总产值的等量关系是解决本题的关键．
9．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2﹣4上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣4的开口向上，对称轴为直线x＝1，
而A（﹣2，y1）离直线x＝1的距离最远，B（1，y2）在直线x＝1上，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP＝3，那么PP′的长等于（ ）
A．3 B．2 C．4 D．3
【分析】利用等腰直角三角形的性质得∠AB＝AC，∠BAC＝90°，再根据旋转的性质得AP＝AP′，∠PAP′＝∠BAC＝90°，则△APP′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，
∴AP＝AP′，∠PAP′＝∠BAC＝90°，
∴△APP′为等腰直角三角形，
∴PP′＝AP＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．
11．若一元二次方程（3a﹣6）x2+a2﹣4＝0的常数项是0，则a的值是（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．4
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
解：∵一元二次方程程（3a﹣6）x2+a2﹣4＝0的常数项为0，
∴，
∴，
∴a＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＞0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＜0；⑤4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由抛物线的开口方向及与y轴交点的位置，即可得出a＞0、c＜0，进而可得出ac＜0，结论①错误；②由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误；③由抛物线对称轴为直线x＝1，即可得出b＝﹣2a，进而可得出2a+b＝0，结论③正确；④由a＞0、c＜0、b＝﹣2a，可得出b2﹣3ac＝4a2﹣3ac＝a（4a﹣3c）＞0，结论④错误；⑤由当x＝﹣2时，y＞0可得出4a﹣2b+c＞0，结论⑤正确．综上即可得出结论．
解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，结论①错误；
②∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，结论③正确；
④∵a＞0，c＜0，b＝﹣2a，
∴b2﹣3ac＝4a2﹣3ac＝a（4a﹣3c）＞0，结论④错误；
⑤∵当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，结论⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．
二、填空：（每题3分，共18分）
13．一元二次方程x2﹣（3x﹣2）＝8的一般形式是 x2﹣3x﹣6＝0 ．
【分析】先去掉括号，再移项、合并同类项，即可得出答案．
解：x2﹣（3x﹣2）＝8，
x2﹣3x+2＝8，
x2﹣3x﹣6＝0，
故答案为：x2﹣3x﹣6＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．
14．二次函数y＝﹣x2+2x+7的最大值为 8 ．
【分析】先利用配方法把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
解：原式＝﹣x2+2x+7
＝﹣（x﹣1）2+8，
因为抛物线开口向下，
所以当x＝1时，y有最大值8．
故答案为8．
【点评】本题考查了二次函数的最值：二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣时，y＝；（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣时，y＝．
15．用配方法解方程x2﹣4x＝5时，方程的两边同时加上 4 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
【分析】要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：∵x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x+4＝5+4，
∴用配方法解方程x2﹣4x＝5时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一个完全平方式．
【点评】此题考查配方法的一般步骤：
①把常数项移到等号的右边；
②把二次项的系数化为1；
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
16．在直角△OAB中，∠AOB＝30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB＝ 70° ．
【分析】直接根据图形旋转的性质进行解答即可．
解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，
∴∠A1OA＝100°，
∵∠AOB＝30°，
∴∠A1OB＝∠A1OA﹣∠AOB＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键．
17．已知抛物线的顶点为（1，﹣1），且过点（2，1），求这个函数的表达式为 y＝2x2﹣4x+1 ．
【分析】因为抛物线的顶点为（1，﹣1），可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，把（2，1）代入解析式可求a，从而确定这个函数的表达式．
解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，
把点（2，1）代入解析式得：a﹣1＝1，
解得a＝2，
∴这个函数的表达式为y＝2（x﹣1）2﹣1，
即y＝2x2﹣4x+1．
故答案为y＝2x2﹣4x+1．
【点评】此题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，若题目中给出了二次函数的顶点式，则设顶点式解题简单．
18．关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣ ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0实数根，
∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）＝4k+9≥0，
解得：k≥﹣．
故答案为：k≥﹣．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
三、解答题：（共66分）
19．选择适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣16＝0；
（2）x（x+3）﹣（2x+6）＝0；
（3）x2﹣3x+1＝0．
【分析】（1）利用直接开平方即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
（3）利用求根公式即可求解．
解：（1）x2﹣16＝0，
x2＝16，
∴x＝±4，
∴x1＝4，x2＝﹣4；
（2）x（x+3）﹣（2x+6）＝0，
x（x+3）﹣2（x+3）＝0；
（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x+3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2；
（3）x2﹣3x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（不写作法，只保留作图痕迹）
（1）将△ABC沿x轴翻折后再沿x轴向右平移1个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1．
（2）作△ABC关于坐标原点成中心对称的△A2B2C2．
（3）求B1的坐标C2的坐标 B1（﹣1，2），C2（4，1） ．（直接写出）
【分析】（1）先写出A、B、C先关于x轴的对称点，再向右平移1个单位后的对应点的坐标，然后描点即可；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）由（1）（2）写出B1的坐标和C2的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）B1的坐标、C2的坐标分别为（﹣1，2），（4，1）．
故答案为B1（﹣1，2），C2（4，1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
21．已知：关于x的方程x2+4x+（2﹣k）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根．
【分析】（1）因为方程有两个不相等的实数根，Δ＞0，由此可求k的取值范围；
（2）在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可．
解：（1）∵方程x2+4x+（2﹣k）＝0有两个不相等的实数根，
∴42﹣4（2﹣k）＞0，
即4k+8＞0，解得k＞﹣2；
（2）若k是负整数，k只能为﹣1；
如果k＝﹣1，原方程为x2+4x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
【点评】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
22．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角尺旋转了多少度？
（2）连接CD，试判断△CBD的形状．
（3）求∠BDC的度数．
【分析】（1）根据两角互补的性质求出∠ABE的度数即可；
（2）根据图形旋转不变性的性质得出△ABC≌△EBD，故可得出BC＝BD，由此即可得出结论；
（3）根据图形选旋转不变性的性质求出∠EBD的度数，再由等腰三角形的性质即可得出∠BDC的度数．
解：（1）∵△ABC旋转后AB与BE重合，∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝180°﹣30°＝150°，
∴三角尺旋转了150°．
（2）∵△EBD由△ABC旋转而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC＝BD，△CBD是等腰三角形．
（3）∵△ABC≌△EBD，
∴∠EBD＝∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝180﹣30°＝150°，
∵△CBD是等腰三角形，
∴∠BDC＝＝＝15°．
故答案为：150；等腰；15．
【点评】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
23．某企业2016年盈利1500万元，2018年实现盈利2160万元，从2016年到2018年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
（1）年平均增长率是多少？
（2）若该企业盈利的年平均增长率继续保持不变，预计2019年盈利多少万元？
【分析】2017年盈利为1500（1+x），2018年盈利为1500（1+x）2．
解：（1）设年盈利的年增长率为x．根据题意得，
2160＝1500（1+x）2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该企业每年盈利的增长率为20%．
（2）2160×（1+20%）＝2592（万元）．
答：预计2019年盈利2592万元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用增长率表示出2018年的产量是1500（1+x）2，然后得出方程．
24．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点．
（1）求A、B、C点的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并求其面积．
【分析】（1）令y＝0，可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出点A、B的坐标，令x＝0求出y值，由此即可得出点C的坐标；
（2）利用两点间的距离公式可得出AC、BC、AB的长度，结合AB2＝AC2+BC2且AC＝BC即可得出△ABC为等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式求出△ABC的面积即可得出结论．
解：（1）令y＝0，则＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝2，
∴A（﹣2，0）、B（2，0），
令x＝0，y＝﹣2，
∴C点的坐标为（0，﹣2）；
（2）∵A（﹣2，0）、B（2，0）C（0，﹣2），
∴AC＝2，BC＝2，AB＝4，
∴AB2＝AC2+BC2．
∵AC＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形．
S△ABC＝AC•BC＝×2×2＝4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定以及三角形的面积，根据二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标是解题的关键．
25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
【分析】本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值．
解：（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500﹣20x）＝6 000
解得x＝5或x＝10，
为了使顾客得到实惠，所以x＝5．
（2）设涨价z元时总利润为y，
则y＝（10+z）（500﹣20z）＝﹣20z2+300z+5 000（0＜z＜25），
即y＝﹣20（z2﹣15z）+5000＝﹣20（z2﹣15z+﹣）+5000
＝﹣20（z﹣7.5）2+6125当z＝7.5时，y取得最大值，最大值为6 125．
答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．
26．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．
【分析】（1）直接将（﹣1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；
（2）分别得出AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；
（3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，再求△ACM周长最小值．
解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，
∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2＝0，
解得：b＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
y＝（x﹣）2﹣，
∴顶点D的坐标为：（，﹣）；
（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．
当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B （4，0），
∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
（3）如图所示：连接AM，
点A关于对称轴的对称点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，
MC+MA的值最小，即△ACM周长最小，
设直线BC解析式为：y＝kx+d，则，
解得：，
故直线BC的解析式为：y＝x﹣2，
当x＝时，y＝﹣，
∴M（，﹣），
△ACM最小周长是：AC+AM+MC＝AC+BC＝+2＝3．
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及利用轴对称求最短路线和勾股定理的逆定理等知识，得出M点位置是解题关键．
2022-2023学年广西柳州市柳城县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．x2﹣y﹣2＝0 D．
3．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣1，2） D．（﹣2，﹣1）
4．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，2，﹣3
5．将抛物线y＝2x2平移后得到抛物线y＝2x2+1，则平移方式为（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位
6．一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
7．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25
8．某经济开发区今年一月份工业产值达到80亿元，第一季度总产值为275亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意所列方程是（ ）
A．80（1+x）2＝275
B．80+80（1+x）+80（1+x）2＝275
C．80（1+x）3＝275
D．80（1+x）+80（1+x）2＝275
9．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2﹣4上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP＝3，那么PP′的长等于（ ）
A．3 B．2 C．4 D．3
11．若一元二次方程（3a﹣6）x2+a2﹣4＝0的常数项是0，则a的值是（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．4
12．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＞0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＜0；⑤4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空：（每题3分，共18分）
13．一元二次方程x2﹣（3x﹣2）＝8的一般形式是 ．
14．二次函数y＝﹣x2+2x+7的最大值为 ．
15．用配方法解方程x2﹣4x＝5时，方程的两边同时加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
16．在直角△OAB中，∠AOB＝30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB＝ ．
17．已知抛物线的顶点为（1，﹣1），且过点（2，1），求这个函数的表达式为 ．
18．关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
三、解答题：（共66分）
19．选择适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣16＝0；
（2）x（x+3）﹣（2x+6）＝0；
（3）x2﹣3x+1＝0．
20．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（不写作法，只保留作图痕迹）
（1）将△ABC沿x轴翻折后再沿x轴向右平移1个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1．
（2）作△ABC关于坐标原点成中心对称的△A2B2C2．
（3）求B1的坐标C2的坐标 ．（直接写出）
21．已知：关于x的方程x2+4x+（2﹣k）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根．
22．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角尺旋转了多少度？
（2）连接CD，试判断△CBD的形状．
（3）求∠BDC的度数．
23．某企业2016年盈利1500万元，2018年实现盈利2160万元，从2016年到2018年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
（1）年平均增长率是多少？
（2）若该企业盈利的年平均增长率继续保持不变，预计2019年盈利多少万元？
24．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点．
（1）求A、B、C点的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并求其面积．
25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
26．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．x2﹣y﹣2＝0 D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，x2﹣2x+1＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．方程x2﹣y﹣2＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程x2+＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
3．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣1，2） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
解：点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，1），
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，2，﹣3
【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
解：一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣2，﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
5．将抛物线y＝2x2平移后得到抛物线y＝2x2+1，则平移方式为（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位
【分析】直接利用二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）进而得出答案．
解：抛物线y＝2x2平移得到抛物线y＝2x2+1的步骤是：向上平移1个单位．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
6．一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】求出b2﹣4ac的值，再判断即可．
解：x2+3x+5＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×5＝﹣11＜0，
即方程无实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的根的判别式是b2﹣4ac，当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
7．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．某经济开发区今年一月份工业产值达到80亿元，第一季度总产值为275亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意所列方程是（ ）
A．80（1+x）2＝275
B．80+80（1+x）+80（1+x）2＝275
C．80（1+x）3＝275
D．80（1+x）+80（1+x）2＝275
【分析】第一季度总产值＝一月份工业产值+二月份工业产值+三月份工业产值，把相关数值代入即可求解．
解：∵某经济开发区今年一月份工业产值达到80亿元，平均每月的增长率为x，
∴二月份的工业产值为80×（1+x）亿元，
∴三月份的工业产值为80×（1+x）×（1+x）＝80×（1+x）2亿元，
∴可列方程为：80+80（1+x）+80（1+x）2＝275，
故选：B．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．得到第一季度总产值的等量关系是解决本题的关键．
9．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2﹣4上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣4的开口向上，对称轴为直线x＝1，
而A（﹣2，y1）离直线x＝1的距离最远，B（1，y2）在直线x＝1上，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP＝3，那么PP′的长等于（ ）
A．3 B．2 C．4 D．3
【分析】利用等腰直角三角形的性质得∠AB＝AC，∠BAC＝90°，再根据旋转的性质得AP＝AP′，∠PAP′＝∠BAC＝90°，则△APP′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，
∴AP＝AP′，∠PAP′＝∠BAC＝90°，
∴△APP′为等腰直角三角形，
∴PP′＝AP＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．
11．若一元二次方程（3a﹣6）x2+a2﹣4＝0的常数项是0，则a的值是（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．4
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
解：∵一元二次方程程（3a﹣6）x2+a2﹣4＝0的常数项为0，
∴，
∴，
∴a＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＞0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＜0；⑤4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由抛物线的开口方向及与y轴交点的位置，即可得出a＞0、c＜0，进而可得出ac＜0，结论①错误；②由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误；③由抛物线对称轴为直线x＝1，即可得出b＝﹣2a，进而可得出2a+b＝0，结论③正确；④由a＞0、c＜0、b＝﹣2a，可得出b2﹣3ac＝4a2﹣3ac＝a（4a﹣3c）＞0，结论④错误；⑤由当x＝﹣2时，y＞0可得出4a﹣2b+c＞0，结论⑤正确．综上即可得出结论．
解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，结论①错误；
②∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，结论③正确；
④∵a＞0，c＜0，b＝﹣2a，
∴b2﹣3ac＝4a2﹣3ac＝a（4a﹣3c）＞0，结论④错误；
⑤∵当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，结论⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．
二、填空：（每题3分，共18分）
13．一元二次方程x2﹣（3x﹣2）＝8的一般形式是 x2﹣3x﹣6＝0 ．
【分析】先去掉括号，再移项、合并同类项，即可得出答案．
解：x2﹣（3x﹣2）＝8，
x2﹣3x+2＝8，
x2﹣3x﹣6＝0，
故答案为：x2﹣3x﹣6＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．
14．二次函数y＝﹣x2+2x+7的最大值为 8 ．
【分析】先利用配方法把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
解：原式＝﹣x2+2x+7
＝﹣（x﹣1）2+8，
因为抛物线开口向下，
所以当x＝1时，y有最大值8．
故答案为8．
【点评】本题考查了二次函数的最值：二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣时，y＝；（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣时，y＝．
15．用配方法解方程x2﹣4x＝5时，方程的两边同时加上 4 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
【分析】要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：∵x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x+4＝5+4，
∴用配方法解方程x2﹣4x＝5时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一个完全平方式．
【点评】此题考查配方法的一般步骤：
①把常数项移到等号的右边；
②把二次项的系数化为1；
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
16．在直角△OAB中，∠AOB＝30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB＝ 70° ．
【分析】直接根据图形旋转的性质进行解答即可．
解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，
∴∠A1OA＝100°，
∵∠AOB＝30°，
∴∠A1OB＝∠A1OA﹣∠AOB＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键．
17．已知抛物线的顶点为（1，﹣1），且过点（2，1），求这个函数的表达式为 y＝2x2﹣4x+1 ．
【分析】因为抛物线的顶点为（1，﹣1），可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，把（2，1）代入解析式可求a，从而确定这个函数的表达式．
解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，
把点（2，1）代入解析式得：a﹣1＝1，
解得a＝2，
∴这个函数的表达式为y＝2（x﹣1）2﹣1，
即y＝2x2﹣4x+1．
故答案为y＝2x2﹣4x+1．
【点评】此题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，若题目中给出了二次函数的顶点式，则设顶点式解题简单．
18．关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣ ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0实数根，
∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）＝4k+9≥0，
解得：k≥﹣．
故答案为：k≥﹣．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
三、解答题：（共66分）
19．选择适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣16＝0；
（2）x（x+3）﹣（2x+6）＝0；
（3）x2﹣3x+1＝0．
【分析】（1）利用直接开平方即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
（3）利用求根公式即可求解．
解：（1）x2﹣16＝0，
x2＝16，
∴x＝±4，
∴x1＝4，x2＝﹣4；
（2）x（x+3）﹣（2x+6）＝0，
x（x+3）﹣2（x+3）＝0；
（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x+3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2；
（3）x2﹣3x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（不写作法，只保留作图痕迹）
（1）将△ABC沿x轴翻折后再沿x轴向右平移1个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1．
（2）作△ABC关于坐标原点成中心对称的△A2B2C2．
（3）求B1的坐标C2的坐标 B1（﹣1，2），C2（4，1） ．（直接写出）
【分析】（1）先写出A、B、C先关于x轴的对称点，再向右平移1个单位后的对应点的坐标，然后描点即可；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）由（1）（2）写出B1的坐标和C2的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）B1的坐标、C2的坐标分别为（﹣1，2），（4，1）．
故答案为B1（﹣1，2），C2（4，1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
21．已知：关于x的方程x2+4x+（2﹣k）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根．
【分析】（1）因为方程有两个不相等的实数根，Δ＞0，由此可求k的取值范围；
（2）在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可．
解：（1）∵方程x2+4x+（2﹣k）＝0有两个不相等的实数根，
∴42﹣4（2﹣k）＞0，
即4k+8＞0，解得k＞﹣2；
（2）若k是负整数，k只能为﹣1；
如果k＝﹣1，原方程为x2+4x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
【点评】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
22．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角尺旋转了多少度？
（2）连接CD，试判断△CBD的形状．
（3）求∠BDC的度数．
【分析】（1）根据两角互补的性质求出∠ABE的度数即可；
（2）根据图形旋转不变性的性质得出△ABC≌△EBD，故可得出BC＝BD，由此即可得出结论；
（3）根据图形选旋转不变性的性质求出∠EBD的度数，再由等腰三角形的性质即可得出∠BDC的度数．
解：（1）∵△ABC旋转后AB与BE重合，∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝180°﹣30°＝150°，
∴三角尺旋转了150°．
（2）∵△EBD由△ABC旋转而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC＝BD，△CBD是等腰三角形．
（3）∵△ABC≌△EBD，
∴∠EBD＝∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝180﹣30°＝150°，
∵△CBD是等腰三角形，
∴∠BDC＝＝＝15°．
故答案为：150；等腰；15．
【点评】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
23．某企业2016年盈利1500万元，2018年实现盈利2160万元，从2016年到2018年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
（1）年平均增长率是多少？
（2）若该企业盈利的年平均增长率继续保持不变，预计2019年盈利多少万元？
【分析】2017年盈利为1500（1+x），2018年盈利为1500（1+x）2．
解：（1）设年盈利的年增长率为x．根据题意得，
2160＝1500（1+x）2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该企业每年盈利的增长率为20%．
（2）2160×（1+20%）＝2592（万元）．
答：预计2019年盈利2592万元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用增长率表示出2018年的产量是1500（1+x）2，然后得出方程．
24．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点．
（1）求A、B、C点的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并求其面积．
【分析】（1）令y＝0，可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出点A、B的坐标，令x＝0求出y值，由此即可得出点C的坐标；
（2）利用两点间的距离公式可得出AC、BC、AB的长度，结合AB2＝AC2+BC2且AC＝BC即可得出△ABC为等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式求出△ABC的面积即可得出结论．
解：（1）令y＝0，则＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝2，
∴A（﹣2，0）、B（2，0），
令x＝0，y＝﹣2，
∴C点的坐标为（0，﹣2）；
（2）∵A（﹣2，0）、B（2，0）C（0，﹣2），
∴AC＝2，BC＝2，AB＝4，
∴AB2＝AC2+BC2．
∵AC＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形．
S△ABC＝AC•BC＝×2×2＝4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定以及三角形的面积，根据二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标是解题的关键．
25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
【分析】本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值．
解：（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500﹣20x）＝6 000
解得x＝5或x＝10，
为了使顾客得到实惠，所以x＝5．
（2）设涨价z元时总利润为y，
则y＝（10+z）（500﹣20z）＝﹣20z2+300z+5 000（0＜z＜25），
即y＝﹣20（z2﹣15z）+5000＝﹣20（z2﹣15z+﹣）+5000
＝﹣20（z﹣7.5）2+6125当z＝7.5时，y取得最大值，最大值为6 125．
答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．
26．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．
【分析】（1）直接将（﹣1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；
（2）分别得出AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；
（3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，再求△ACM周长最小值．
解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，
∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2＝0，
解得：b＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
y＝（x﹣）2﹣，
∴顶点D的坐标为：（，﹣）；
（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．
当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B （4，0），
∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
（3）如图所示：连接AM，
点A关于对称轴的对称点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，
MC+MA的值最小，即△ACM周长最小，
设直线BC解析式为：y＝kx+d，则，
解得：，
故直线BC的解析式为：y＝x﹣2，
当x＝时，y＝﹣，
∴M（，﹣），
△ACM最小周长是：AC+AM+MC＝AC+BC＝+2＝3．
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及利用轴对称求最短路线和勾股定理的逆定理等知识，得出M点位置是解题关键．
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