安徽省十校联盟2022-2023学年高一数学下学期开学试题（Word版附解析）

安徽省十校联盟2022-2023学年高一第二学期开年考

数学试题

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 命题“”的否定为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用全称量词命题的否定求解.

【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，

因为命题“”是全称量词的命题，

则“”的否定为“”.

故选：D.

2. 已知集合，，则（）

A. {1} B. {0，1} C. {1，2} D. {0，1，2}

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式，再利用交集定义直接求解.

详解】由可得解得，

又因为，所以，所以，

则.

故选:B.

3. 已知a是实数，则“”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用特殊值及基本不等式，结合充分条件及必要条件的定义即可求解.

【详解】当时，；

当时，，

当且仅当，即时等号成立，

所以当时，成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选: A.

4. 下列各式中，值为的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即可.

【详解】，故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

，故D错误，

故选:B.

5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用幂函数与对数函数的单调性得出的范围，结合中间值“1”比较得结论．

【详解】∵，，∴；

∵，∴，

∴.

故选：A.

6. 已知函数，且恒成立，则下列说法中错误的是（）

A.

B. 是奇函数

C. 在区间上单调递增

D. 的图象关于点对称

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得当时，取到最大值，结合正弦函数的最值可求得，即，再根据正弦函数性质逐项分析判断.

【详解】由题意可得：当时，取到最大值，

则，解得，

∴.

对A：，故A不符合题意；

对B：∵，

故函数为奇函数，故B不符合题意；

对C：令，解得，

故的单调递增区间为，

∵，则取，可得在区间上单调递增，在上单调递减，故C符合题意；

对D：∵，∴的图象关于点对称，故D不符合题意.

故选：C.

7. 已知函数，且满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】依题意可得是R上的减函数，从而得到不等式组，求解即可.

【详解】由题意可得：是R上的减函数，

则，解得，

故实数a的取值范围是.

故选：C.

8. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则经过300天时，“进步值”大约是“退步值”的（）（参考数据：，，）

A. 22倍 B. 55倍 C. 217倍 D. 407倍

【答案】D

【解析】

【分析】“进步值”与“退步值”的比值，再两边取对数计算即得解.

【详解】由题意得，经过300天时，“进步值”为，“退步值”为，

则“进步值”与“退步值”的比值，

两边取对数可得，

又，，∴，

∴，

即经过300天时，“进步值”大约是“退步值”的407倍.

故选：D.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 下列不等式成立的是（）

A B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】将选项中所需比较的角,根据诱导公式转化为区间内,再根据,两个函数的单调性进行判断大小即可.

【详解】解:由于函数在上单调递增,且,

所以,故选项A错误;

因为在上单调递增,

,故选项B正确;

因为,

,

所以,故选项C正确;

因为,所以,故选项D错误.

故选:BC

10. 已知函数,则（）

A. 的定义域为 B. 的值域为R

C. 是奇函数 D. 在上单调递减

【答案】BCD

【解析】

【分析】判断的正负即可判断选项A的正误;判断与0的关系即可判断选项C的正误;通过,判断及的单调性,根据复合函数单调性即可判断在上单调性,进而判断选项D的正误;根据单调性求的值域,根据奇偶性再求的值域,即可判断选项B的正误.

【详解】解:因为,所以,

即恒成立,所以函数的定义城为R,故选项A错误;

因为,

所以函数是奇函数,故选项C正确;

因为,

且函数在上单调递增,

又有在上单调递减,

所以在上单调递减,故选项D正确;

因为在上单调递减,所以,

因为是奇函数,所以在上单调递增,所以,

综上的值域为R,故选项B正确.

故选:BCD

11. 如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.5m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下时，d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（）

A B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据实际含义分别求的值即可，再根据可求得,进而判断各个选项即可.

【详解】振幅A即为半径，∴；∵筒车按逆时针方向每分钟转2圈，∴；

；∵，d＝0，∴，

∴，∵，∴.

故选:ACD.

12. 下列命题中，是真命题的是（）

A. 函数在区间内有零点

B.

C. 已知，，且，则

D. 如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A，利用零点存在定理即可判断；对于B，利用指数幂与根式的互化即可判断；对于C，利用基本不等式即可判断；对于D，利用弧长公式求解即可判断.

【详解】对于A，因为，，

所以，故函数在区间内有零点，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，因为，所以，

当且仅当且，即时，等号成立，故C正确；

对于D，设半径为R，则，解得，

所以弧长，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知函数是偶函数，则实数m＝______.

【答案】

【解析】

【分析】根据偶函数的定义计算即可.

【详解】因为函数是偶函数，

所以，即，

即，解得.

故答案为：.

14. =_______．

【答案】

【解析】

【分析】将式子上下乘以，然后利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系式求解即可.

【详解】解：，

故答案为：.

15. 已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】设幂函数，将点代入求出的值，再利用幂函数的单调性求解即可.

【详解】设幂函数，，

因为幂函数的图象过点，所以，解得，

所以，的定义域为，且在上单调递减，

因为，所以，解得，

故答案为：

16. 已知，函数，，若，，有，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】利用三角恒等变换化简，由三角函数的性质求得，由题意得的值域是的子集，结合的单调性分类讨论求解即可．

【详解】，

∵，∴，∴，∴．

∵，，有，

∴的值域是的子集．

①当时，，则，此时，解得；

②当时，，则，此时，无解．

综合①②，．

故答案为：．

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知集合，

（1）若，求；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）或

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，写出集合，求出集合，利用补集和并集的定义可求得集合；

（2）分析可知，分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可解得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：当时，，则或，

因为，

因此，或.

【小问2详解】

解：因为“”是“”的充分不必要条件，则，

当时，，解得，此时满足；

当时，，解得，

要使成立，则，解得，

当时，，合乎题意.

综上所述，.

18. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）求不等式的解集.

【答案】（1）；

（2）

【解析】

【分析】（1）根据最值求出的值，再根据函数的周期求出的值，再根据最小值点求出的值即得解；

（2）利用余弦函数图象解不等式即得解.

【小问1详解】

由图知，，最小正周期，∴.

由图象过点，得，解得.

∵，∴，∴.

【小问2详解】

由，得，

∴，解得.

即不等式的解集为

19. 已知，，且.

（1）求的最小值；

（2）若，求t的值.

【答案】（1）4；（2）.

【解析】

【分析】（1）化简，再利用基本不等式求解；

（2）根据已知求出，再利用对数的运算性质化简得解.

【小问1详解】

∵，，

∴，

当且仅当，即时，等式成立，

∴的最小值为4.

【小问2详解】

∵，，∴，，

∴，

∴.

所以.

∵，∴.

20. 已知函数.

（1）判断函数的单调性,并用定义法证明;

（2）若不等式对任意恒成立,求实数k的取值范围.

【答案】（1）在R上是增函数,证明见解析

（2）

【解析】

【分析】(1)利用单调性定义,对函数取值,作差,变形至几个因式乘积,判断正负后得出结论即可;

(2)先判断的奇偶性,将不等式化为,再根据(1)中的单调性结论,变为恒成立,对不等式全分离后,利用基本不等式即可求得最值,进而求得k的取值范围.

【小问1详解】

在R上是增函数,

证明:,

设,则,

因为,所以,,,

所以,即,

故在R上增函数.

【小问2详解】

由于,

所以是奇函数,

因为不等式对任意恒成立,

所以不等式对任意恒成立,

由(1)知在R上是增函数,

所以只需不等式对任意恒成立即可,

即不等式对任意恒成立,

即对任意恒成立,

因为（当且仅当时等号成立）,

故,所以即可,

即实数k的取值范围为.

21. 设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有.

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，求函数的值域.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）令，可得出的值，然后再令，可求得函数的解析式；

（2）令，令，其中，利用二次函数基本性质求出的值域，即为函数的值域.

【小问1详解】

解：令，得，即.

令，则，则.

【小问2详解】

解：由（1）得，.

令，则，所以，，

令，其中，则，

即函数的值域为.

22. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD的池底水平铺设污水净化管道（三条边）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上（含线段两端点），已知米，米，.

（1）设的周长为L，求L关于的函数关系式，并求出定义域；

（2）为何值时，污水净化效果最好？

【答案】（1），

（2）或

【解析】

【分析】（1）利用直角三角形中边角关系求得边长，进而得L关于的函数关系式，由求出定义域；

（2）由（1）得，令，结合辅助角公式及三角函数的性质求得答案.

【小问1详解】

由题意得，，

则，，∴，

∵，，∴，∴，

∴，.

【小问2详解】

由（1）得，，

设，则，，

∴，

∵，∴，则，

∴在上单调递减，

∴当时，即或时，污水净化效果最好.