北师大版九年级下册第三章 圆1 圆集体备课课件ppt

这是一份北师大版九年级下册第三章 圆1 圆集体备课课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了情境引入，合作探究，圆的切线的判定，要点归纳，判一判，做一做，典例精析，∴OE＝OF，平分线，三角形的内切圆及内心等内容，欢迎下载使用。

下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？
问题1 如图，OA 是 ⊙O 的半径， 经过 OA 的外端点 A， 作一条直线 l⊥OA，圆心 O 到直线 l 的距离是多少？ 直线 l 和 ⊙O 有怎样的位置关系？
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
OA 为 ⊙O 的半径
BC ⊥ OA 于 A
BC 为 ⊙O 的切线
在此定理中，“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
(1) 不是，因为没有垂直.
(2)，(3) 不是，因为没有经过半径的外端点 A.
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时， 我们说这条直线是圆的切线;
2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r )时，直线与圆相切；
3. 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
用三角尺过圆上一点画圆的切线.
(2) 过点 P 沿着三角尺的另一条直角边画直线 l，则 l 就是所要画的切线.如图所示.
如下图所示，已知 ⊙O 上一点 P，过点 P 画 ⊙O 的切线．
画法：(1) 连接 OP，将三角尺的直角顶点放在点 P 处，并使一直角边与半径 OP 重合；
例1 已知：直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
证明：连接 OC. ∵ OA＝OB，CA＝CB， ∴ OC 是等腰 △OAB 底边 AB 上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC 是 ⊙O 的半径， ∴ AB 是 ⊙O 的切线.
例2 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是 BC 的中点，⊙O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是⊙O 的切线．
分析：根据切线的判定定理，要证明 AC 是 ⊙O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OF 是⊙O 的半径就可以了，而 OE 是 ⊙O 的半径，因此只需要证明 OF=OE.
证明：连接 OE ，OA， 过 O 作 OF ⊥AC.
∵⊙O 与 AB 相切于 E ， ∴OE ⊥ AB.
又∵在 △ABC 中，AB ＝AC ，O 是 BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是 ⊙O 的切线．
又∵OE ⊥AB ，OF⊥AC.
(1) 已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”；(2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直，证半径”.
证切线时辅助线的添加方法
例3 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC.求作：和 △ABC 的各边都相切的圆 O.
分析：如果圆 O 与 △ABC 的三条边都相切，那么圆心 O 到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等.
到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心 O 是∠A 的__________与∠B 的___________的___点.
作法：1. 作 ∠B 和∠C 的平分线 BM 和 CN，交点为O.2. 过点 O 作 OD⊥BC.垂足为 D.3. 以 O 为圆心，OD 为半径作圆 O.
与 △ABC 的三条边都相切的圆有几个？
因为 ∠B 和∠C 的平分线的交点只有一个,并且交点 O 到 △ABC 三边的距离相等且唯一，所以与 △ABC三边都相切的圆有且只有一个.
1. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
4. 三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
3. 三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O 是 △ABC 的内切圆，点 O 是 △ABC 的内心.
三角形三边中垂线的交点
1. OA = OB = OC2. 外心不一定在三角形的内部．
三角形三条角平分线的交点
1. 到三边的距离相等；2. OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；3. 内心在三角形内部．
例4 △ABC 中，⊙O 是 △ABC 的内切圆，∠A=70°， 求 ∠BOC 的度数.
解：∵∠A = 70°
∴∠ABC +∠ACB =180° -∠A=110°
∵⊙O 是 △ABC 的内切圆
∴BO，CO 分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB) =180°- (∠ABC +∠ACB) =180°- ×110° = 125°.
1. 判断下列命题是否正确.(1) 经过半径外端的直线是圆的切线.(2) 垂直于半径的直线是圆的切线.(3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线 是圆的切线.(5) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.(6) 三角形的内心是三角形三个角平分线的交点.(7) 三角形的内心到三角形各边的距离相等. (8) 三角形的内心一定在三角形的内部.
2. 如图，⊙O 内切于△ABC，切点 D、E、F 分别在BC、AB、AC 上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接 OE，OF，DE，DF，那么∠EDF 等于(　　)A．40° B．55°C．65° D．70°
解析：∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠A＝70°. ∵D、E、F 为⊙O 的切点，∴∠OEA＝∠OFA＝90°. ∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA －∠OFA ＝110°.∴∠EDF＝ ∠EOF＝55°.
3. 如图，△ABC 的内切圆的半径为 r，△ABC 的周长为 l，求 △ABC 的面积 S.
解：设 △ABC 的内切圆与三边相切于 D、E、F，
连接 OA、OB、OC、OD、OE、OF，
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
＝ AB·OD ＋ BC·OE ＋ AC·OF
证明：连接 OP. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB. ∴∠OPB=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE 为 ⊙O 的切线.
4. 如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于E. 求证:PE 是 ⊙O 的切线.
5. 如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为圆心，OA 长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M. 求证： CD 与 ⊙O 相切．
证明：连接 OM，过点 O 作 ON⊥CD 于点 N，∵⊙O 与 BC 相切于点 M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，∴OM＝ON ∴CD 与 ⊙O 相切．
6. 已知：△ABC 内接于 ☉O，过点 A 作直线 EF.(1) 如图 1，AB 为直径，要使 EF 为 ☉O 的切线，还需 添加的条件是（只需写出两种情况）： ① _________ ；② _____________ .(2) 如图 2，AB 是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证： EF 是 ☉O 的切线.
证明：连接 AO 并延长交 ☉O 于 D，连接 CD，则 AD 为 ☉O 的直径.∴ ∠D+∠DAC=90 °.∵ ∠D 与∠B 同对 ，∴ ∠D=∠B.又∵ ∠CAE=∠B,∴ ∠D= ∠CAE.∴ ∠DAC+∠EAC=90°.∴EF 是 ☉O 的切线.
7. 如图，已知 E 是 △ABC 的内心，∠A 的平分线交 BC 于点 F，且与 △ABC 的外接圆相交于点 D.
(1) 证明：∵E 是 △ABC 的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，故 BD＝ED.
(1) 求证：BD＝ED；
(2) 若 AD＝8 cm，DF∶FA＝1∶3.求 DE 的长．
(2)解：∵AD＝8 cm，DF∶FA＝1∶3，∴DF＝ AD＝ ×8＝ 2 ( cm )．∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴ ， ∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，∴BD＝4 cm，又∵BD＝DE，∴DE＝4 cm.