2023年中考数学二轮专题复习《二次函数压轴题-几何图形的周长与面积最值问题》（2份打包，教师版+原卷版）

这是一份2023年中考数学二轮专题复习《二次函数压轴题-几何图形的周长与面积最值问题》（2份打包，教师版+原卷版），文件包含2023年中考数学二轮专题复习《二次函数压轴题-几何图形的周长与面积最值问题》教师版doc、2023年中考数学二轮专题复习《二次函数压轴题-几何图形的周长与面积最值问题》原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮专题复习
《二次函数压轴题-几何图形的周长与面积最值问题》
如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与一直线相交于A(1，0)、C(﹣2，3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；
(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小.若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由.

【答案解析】解：(1)将A(1，0)，C(﹣2，3)代入y＝﹣x2＋bx＋c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x＋3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx＋n(m≠0)，
将A(1，0)，C(﹣2，3)代入y＝mx＋n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x＋1.

(2)过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示.
设点P的坐标为(x，﹣x2﹣2x＋3)(﹣2＜x＜1)，则点E的坐标为(x，0)，点F的坐标为(x，﹣x＋1)，
∴PE＝﹣x2﹣2x＋3，EF＝﹣x＋1，
EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x＋3﹣(﹣x＋1)＝﹣x2﹣x＋2.
∵点C的坐标为(﹣2，3)，
∴点Q的坐标为(﹣2，0)，
∴AQ＝1﹣(﹣2)＝3，
∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x＋3＝﹣(x＋)2＋.
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为(﹣，).
(3)当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x＋3＝3，
∴点N的坐标为(0，3).
∵y＝﹣x2﹣2x＋3＝﹣(x＋1)2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1.
∵点C的坐标为(﹣2，3)，
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称.
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示.
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM＋MN＝AM＋MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值.
当x＝﹣1时，y＝﹣x＋1＝2，
∴此时点M的坐标为(﹣1，2).
∵点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(﹣2，3)，点N的坐标为(0，3)，
∴AC＝3，AN＝，
∴C△ANM＝AM＋MN＋AN＝AC＋AN＝3＋.
∴在对称轴上存在一点M(﹣1，2)，使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3＋.
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx﹣3的图象与x轴交于点A(1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值.
(3)如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，使△FCG是等腰三角形，直接写出P的横坐标.

【答案解析】解：(1)将A(1，0)和B(3，0)代入y＝ax2＋bx﹣3得：
，解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2＋4x﹣3；
(2)连接BC交直线DE于M′，如答图1：

抛物线的解析式y＝﹣x2＋4x﹣3中令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝1或3，
∴C(0，﹣3)，A(1，0)，B(3，0)，且顶点D(2，1)，对称轴x＝2，
∴AC＝，BC＝3，
△AMC的周长最小，即是AM＋CM最小，而M在对称轴上，
∴AM＝BM，AM＋CM最小就是BM＋CM最小，
此时M与M′重合，AM＋CM最小值即是BC的长度即AM＋CM最小值为3，
∴△AMC的周长最小为3＋，
设直线BC解析式为y＝kx＋n，将C(0，﹣3)，B(3，0)代入得：
，解得，
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，令x＝2得y＝1，
∴M(2，1)；
(3)设P(m，0)，
∵过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，
∴F(m，﹣m2＋4m﹣3)，G(m，m﹣3)，
而C(0，﹣3)，
∴CF2＝m2＋(﹣m2＋4m)2，CG2＝m2＋m2＝2m2，FG2＝(﹣m2＋3m)2，
△FCG是等腰三角形，分三种情况：
①CF＝CG时，m2＋(﹣m2＋4m)2＝2m2，解得m＝0或m＝3或m＝5，
m＝0时F、G与C重合，舍去；m＝3时，F、G与B重合，舍去，
∴m＝5，P(5，0)，
②CF＝FG时，m2＋(﹣m2＋4m)2＝(﹣m2＋3m)2，解得m＝0(舍去)或m＝4，
∴P(4，0)，
③CG＝FG时，2m2＝(﹣m2＋3m)2，解得m＝0(舍去)或m＝3﹣或m＝3＋，
∴P(3﹣，0)或P(3＋，0)，
总上所述，△FCG是等腰三角形，P的坐标是：(5，0)或(4，0)或(3﹣，0)或(3＋，0).
如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)AB＝4，与y轴交于点C，OC＝OA，点D为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式；
(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图1，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积；
(3)已知H(0，﹣1)，点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F，若BF＝BC，求点G的坐标.
【答案解析】解：(1)由抛物线y＝ax2＋2ax＋c，可得C(0，c)，对称轴为x＝﹣1，
∵OC＝OA，
∴A(﹣c，0)，B(﹣2＋c，0)，
∵AB＝4，
∴﹣2＋c﹣(﹣c)＝4，
∴c＝3，
∴A(﹣3，0)，
代入抛物线y＝ax2＋2ax＋3，得0＝9a﹣6a＋3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3；
(2)如图1，∵M(m，0)，PM⊥x轴，
∴P(m，﹣m2﹣2m＋3)，
又∵对称轴为x＝﹣1，PQ∥AB，
∴Q(﹣2﹣m，﹣m2﹣2m＋3)，
又∵QN⊥x轴，
∴矩形PQNM的周长
＝2(PM＋PQ)
＝2[(﹣m2﹣2m＋3)＋(﹣2﹣m﹣m)]＝2(﹣m2﹣4m＋1)＝﹣2(m＋2)2＋10，
∴当m＝﹣2时，矩形PQNM的周长有最大值10，
此时，M(﹣2，0)，
由A(﹣3，0)，C(0，3)，可得直线AC为y＝x＋3，AM＝1，
∴当x＝﹣2时，y＝1，即E(﹣2，1)，ME＝1，
∴△AEM的面积＝×AM×ME＝×1×1＝；

(3)如图2，连接CB并延长，交直线HG于点Q，
∵HG⊥CF，BC＝BF，
∴∠BFC＋∠BFQ＝∠BCF＋∠Q＝90°，∠BFC＝∠BCF，
∴∠BFQ＝∠Q，
∴BC＝BF＝BQ，
又∵C(0，3)，B(1，0)，
∴Q(2，﹣3)，
又∵H(0，﹣1)，
∴QH的解析式为y＝﹣x﹣1，
解方程组，
可得或，
∴点G的坐标为(，)或(，).
己知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）点A、点B的横坐标是一元二次方程x2-4x-12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．

【答案解析】

如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1，0)、C(﹣2，3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；
(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小.若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由.

【答案解析】解：(1)将A(1，0)，C(﹣2，3)代入y=﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y=mx+n(m≠0)，
将A(1，0)，C(﹣2，3)代入y=mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y=﹣x+1.
(2)过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，
如图1所示.
设点P的坐标为(x，﹣x2﹣2x+3)(﹣2＜x＜1)，
则点E的坐标为(x，0)，点F的坐标为(x，﹣x+1)，
∴PE=﹣x2﹣2x+3，EF=﹣x+1，
EF=PE﹣EF=﹣x2﹣2x+3﹣(﹣x+1)=﹣x2﹣x+2.
∵点C的坐标为(﹣2，3)，
∴点Q的坐标为(﹣2，0)，
∴AQ=1﹣(﹣2)=3，
∴S△APC=AQ•PF=﹣x2﹣x+3=﹣(x+)2+3.
∵﹣＜0，
∴当x=﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为3，
此时点P的坐标为(﹣，).
(3)当x=0时，y=﹣x2﹣2x+3=3，
∴点N的坐标为(0，3).
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.
∵点C的坐标为(﹣2，3)，
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称.
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示.
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN=CM，
∴AM+MN=AM+MC=AC，
∴此时△ANM周长取最小值.
当x=﹣1时，y=﹣x+1=2，
∴此时点M的坐标为(﹣1，2).
∵点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(﹣2，3)，点N的坐标为(0，3)，
∴AC=3，AN=，
∴C△ANM=AM+MN+AN=AC+AN=3+.
∴在对称轴上存在一点M(﹣1，2)，使△ANM的周长最小，
△ANM周长的最小值为3+.
抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(﹣3，0)、B(1，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式
(2)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长
(3)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线与点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由.

【答案解析】解：(1)将A(﹣3，0)，B(1，0)代入y=ax2+bx+2，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2.
(2)当x=0时，y=﹣x2﹣x+2=2，∴点C的坐标为(0，2).
∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.
连接AC，交抛物线对称轴于点M，如图1所示.
∵点A，B关于直线x=﹣1对称，∴MA=MB，
∴MB+MC=MA+MC=AC，
∴此时△MBC的周长取最小值.
∵点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)，
∴AC=，BC=，直线AC的解析式为y=x+2(可用待定系数法求出来).
当x=﹣1时，y=x+2=，
∴当△MBC的周长最小时，点M的坐标为(﹣1，)，△MBC的周长为+.
(3)∵以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点B，P的纵坐标为0，点C的纵坐标为2，
∴点Q的纵坐标为2或﹣2，如图2所示.
当y=2时，﹣x2﹣x+2=2，解得：x1=﹣2，x2=0(舍去)，
∴点Q的坐标为(﹣2，2)；
当y=﹣2时，﹣x2﹣x+2=﹣2，解得：x1=﹣4，x2=2，
∴点Q的坐标为(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).
∴在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
点Q的坐标为(﹣2，2)或(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).

如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x＋3的图象与x轴交于A.B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.
(1)求点A.B.C的坐标；
(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A.B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM.如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；
(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；
(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG＝2DQ，求点F的坐标.

【答案解析】解：(1)由抛物线y＝﹣x2﹣2x＋3可知，C(0，3).
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x＋3，解得，x＝﹣3或x＝l，
∴A(﹣3，0)，B(1，0).
(2)由抛物线y＝﹣x2﹣2x＋3可知，对称轴为x＝﹣1.
∵M(m，0)，
∴PM＝﹣m2﹣2m＋3，MN＝(﹣m﹣1)×2＝﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长＝2(PM＋MN)＝(﹣m2﹣2m＋3﹣2m﹣2)×2＝﹣2m2﹣8m＋2.
(3)∵﹣2m2﹣8m＋2＝﹣2(m＋2)2＋10，
∴矩形的周长最大时，m＝﹣2.
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，
设直线AC的解析式y＝kx＋b，
∴解得k＝l，b＝3，
∴解析式y＝x＋3，
令x＝﹣2，则y＝1，
∴E(﹣2，1)，
∴EM＝1，AM＝1，
∴S＝AM×EM＝.
(4)∵M(﹣2，0)，抛物线的对称轴为x＝﹣l，
∴N应与原点重合，Q点与C点重合，
∴DQ＝DC，
把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x＋3，解得y＝4，
∴D(﹣1，4)，
∴DQ＝DC＝.
∵FG＝2DQ，
∴FG＝4.
设F(n，﹣n2﹣2n＋3)，则G(n，n＋3)，
∵点G在点F的上方且FG＝4，
∴(n＋3)﹣(﹣n2﹣2n＋3)＝4.解得n＝﹣4或n＝1，
∴F(﹣4，﹣5)或(1，0).
已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1，0)、B(2，0)、C(0，2)三点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；
(3)如图2，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1，0)、B(2，0)、C(0，2)三点．
∴，解得，∴这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．
(2)设直线BC的解析式为：y=kx+b，将B(2，0)、C(0，2)代入得：
，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如答图1，连接BC．
四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．
设P(x，﹣x2+x+2)，过点P作PF∥y轴，交BC于点F，则F(x，﹣x+2)．
∴PF=(﹣x2+x+2)﹣(﹣x+2)=﹣x2+2x．
S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF(xF﹣xC)+PF(xB﹣xF)=PF(xB﹣xC)=PF
∴S△PBC=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1
∴当x=1时，△PBC面积最大，即四边形ABPC面积最大．此时P(1，2)．
∴当点P坐标为(1，2)时，四边形ABPC的面积最大．
(3)存在．
∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，∴∠ACO=∠AED，
又∵∠CAO=∠CAO，∴△AOC∽△ADE，
∴=，即=，解得AE=，∴E(，0)．
∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点D为AC的中点，∴D(﹣，1)．
可求得直线DE的解析式为：y=﹣x+ ①．
∵y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣)2+，∴M(，)．
又A(﹣1，0)，则可求得直线AM的解析式为：y=x+ ②．
∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点A、C关于直线DE对称．
如答图2，连接AM，与DE交于点G，此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．
联立①②式，可求得交点G的坐标为(﹣，)．
∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，点G的坐标为(﹣，)．
















如图，已知抛物线y=x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C．
(1)求直线BC的解析式；
(2)点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，是否存在这样的点Q(0，m)，使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．

【答案解析】解：(1)对于抛物线y=x2+3x﹣8，
令y=0，得到x2+3x﹣8=0，解得x=﹣8或2，
∴B(﹣8，0)，A(2，0)，
令x=0，得到y=﹣8，
∴A(2，0)，B(﹣8，0)，C(0，﹣8)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则有，解得，
∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣8．
(2)如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F(m，m2+3m﹣8)，则N(m，﹣m﹣8)

∴S△FBC=S△FNB+S△FNC=•FN×8=4FN=4[(﹣m﹣8)﹣(m2+3m﹣8)]
=﹣2m2﹣16m=﹣2(m+4)2+32，
∴当m=﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F(﹣4，﹣12)，
∵抛物线的对称轴x=﹣3，
点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，
设直线AF的解析式为y=ax+b，
则有，解得，
∴直线AF的解析式为y=2x﹣4，
∴P(﹣3，﹣10)，
∴点F的坐标和点P的坐标分别是F(﹣4，﹣12)，P(﹣3，﹣10)．
(3)如图2中，

∵B(﹣8，0)，F(﹣4，﹣12)，
∴BF=4，
①当FQ1=FB时，Q1(0，0)或(0，﹣24)(虽然FB=FQ，但是B、F、Q三点一线应该舍去)．
②当BF=BQ时，易知Q2(0，﹣4)，Q3(0，4)．
③当Q4B=Q4F时，设Q4(0，m)，
则有82+m2=42+(m+12)2，解得m=﹣4，
∴Q4(0，﹣4)，
∴Q点坐标为(0，0)或(0，4)或(0，﹣4)或(0，﹣4)．
如图，直线y=－x＋分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2＋bx＋经过A、B两点．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

【答案解析】解：(1)∵直线y=－x＋与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴令x=0得y=，令y=0得x=3，
∴点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，)．
∴tan∠CBO==，
∴∠CBO=30°，
∴∠BCO=60°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO=30°，
∴AO=CO·tan∠ACO=×=1，
∴点A的坐标为(－1，0)；
(2)∵抛物线y=ax2＋bx＋经过A，B两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=－x2＋x＋；
(3)∵MD∥y轴，
∴∠MDH=∠BCO=60°，
∵MH⊥BC，
∴HD=MD，MH=MD.
∴△DMN的周长为(1＋＋)MD.
设点D的坐标为(t，－t＋)，则点M的坐标为(t，－t2＋t＋)，
∵点M在直线BC上方的抛物线上，
∴MD=(－t2＋t＋)－(－t＋)=－t2＋t=－(t－)2＋.
∵0＜t＜3，
∴当t=时，MD有最大值，且MD的最大值为，
∴△DMH周长的最大值为(1＋＋)×=.















如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为　   　．
(3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
(4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案解析】解：(1)∵OA=2，OC=6∴A(﹣2，0)，C(0，﹣6)
∵抛物线y=x2+bx+c过点A、C
∴   解得：
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣6
(2)∵当y=0时，x2﹣x﹣6=0，解得：x1=﹣2，x2=3
∴B(3，0)，抛物线对称轴为直线x=
∵点D在直线x=上，点A、B关于直线x=对称
∴xD=，AD=BD
∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC最小
设直线BC解析式为y=kx﹣6∴3k﹣6=0，解得：k=2
∴直线BC：y=2x﹣6∴yD=2×﹣6=﹣5∴D(，﹣5)故答案为：(，﹣5)
(3)过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F
设E(t，t2﹣t﹣6)(0＜t＜3)，则F(t，2t﹣6)
∴EF=2t﹣6﹣(t2﹣t﹣6)=﹣t2+3t
∴S△BCE=S△BEF+S△CEF=EF•BG+EF•OG=EF(BG+OG)=EF•OB
=×3(﹣t2+3t)=﹣(t﹣)2+
∴当t=时，△BCE面积最大 ∴yE=()2﹣﹣6=﹣5
∴点E坐标为(，﹣5)时，△BCE面积最大，最大值为3．
(4)存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．
∵A(﹣2，0)，C(0，﹣6)∴AC=2
①若AC为菱形的边长，如图3，则MN∥AC且，MN=AC=2
∴N1(﹣2，2)，N2(﹣2，﹣2)，N3(2，0)
②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4=CN4
设N4(﹣2，n)∴﹣n=解得：n=﹣∴N4(﹣2，﹣)
综上所述，点N坐标为(﹣2，2)，(﹣2，﹣2)，(2，0)，(﹣2，﹣)．

如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A.B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A.B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM.如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；
(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；
(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2DQ，求点F的坐标.



【答案解析】解：(1)由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3).
令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，[解得，x=﹣3或x=l，
∴A(﹣3，0)，B(1，0).
(2)由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1.
∵M(m，0)，
∴PM=﹣m2﹣2m+3，MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长=2(PM+MN)=(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2=﹣2m2﹣8m+2.
(3)∵﹣2m2﹣8m+2=﹣2(m+2)2+10，[
∴矩形的周长最大时，m=﹣2.
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，
设直线AC的解析式y=kx+b，
∴解得k=l，b=3，
∴解析式y=x+3，
令x=﹣2，则y=1，
∴E(﹣2，1)，
∴EM=1，AM=1，
∴S=AM×EM=.
(4)∵M(﹣2，0)，抛物线的对称轴为x=﹣l，
∴N应与原点重合，Q点与C点重合，
∴DQ=DC，
把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，
∴D(﹣1，4)，
∴DQ=DC=.
∵FG=2DQ，
∴FG=4.
设F(n，﹣n2﹣2n+3)，则G(n，n+3)，
∵点G在点F的上方且FG=4，
∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)=4.解得n=﹣4或n=1，[来源
∴F(﹣4，﹣5)或(1，0).