专题08 一元一次方程的解法-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

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专题8 一元一次方程的解法一、解含参的一元一次方程【学霸笔记】 系数含字母的一元一次方程可以化为的形式，当字母的取值范围未给出时，则要分类讨论解的情况，当时，方程有唯一解；当时，方程有无数个解；当时，方程无解. 系数含字母的方程可以根据已知条件讨论解的个数，如解分别是正数、负数时需要满足的条件是什么等.【典例】解关于x的方程：m（x﹣n）（x+2m）．【解答】解：去分母得：4m（x﹣n）＝3（x+2m），去括号得：4mx﹣4mn＝3x+6m，移项合并得：（4m﹣3）x＝4mn+6m，当4m﹣3≠0时，解得：x，当4m﹣3＝0，4mn+6m＝0时，方程有无数个解，当4m﹣3＝0，4mn+6m≠0时，方程无解．【巩固】已知关于x的一元一次方程2，其中a，b，k为常数．（1）当k＝3，a＝﹣1，b＝1时，求该方程的解；（2）试说明当k＝2时，原方程有无数多个解，并求出此时a+4b的值；（3）若无论k为何值时，该方程的解总是x＝﹣3，求ab的值．【解答】解：（1）由题意得：2．∴3x﹣1﹣2x+6＝12．∴x＝7．（2）当k＝2时，方程为：2．∴2x+a﹣2x+4b＝12．∴0•x＝12﹣a﹣4b．∵方程有无数解，∴12﹣a﹣4b＝0．∴a+4b＝12．（3）该方程化为：kx+a﹣2x+2bk＝12当x＝﹣3时，（2b﹣3）k＝12﹣a﹣6．∴（2b﹣3）k＝6﹣a．∵无论k为何值，等式恒成立，∴2b﹣3＝0，6﹣a＝0．∴a＝6，b．∴ab＝69．二、解含有绝对值的方程【学霸笔记】 解绝对值方程的基本方法是去掉绝对值符号，转化为一般方程求解，常见的转化思路如下：（1）简单的绝对值方程：形如的形式，可以将此类方程转化为两个一元一次方程，即和；（2）含多重或多个绝对值符号的绝对值方程，可采用“零点分段法”，解此类方程的步骤如下：①求出各个临界点；②根据未知数的取值范围进行分类讨论；③去绝对值符号，化为一般方程求解.【典例】解方程|x﹣2|+|2x+1|＝7．【解答】解：当x＜﹣0.5时，2﹣x﹣1﹣2x＝7，解得x＝﹣2；当﹣0.5≤x＜2时，2﹣x+2x+1＝7，解得x＝4（不符合题意的解要舍去）；当x≥2时，x﹣2+2x+1＝7，解得x，综上所述：x＝﹣2，x．【巩固】关于x的方程||x﹣2|﹣1|＝a有三个整数解，求a的值．【解答】解：①若|x﹣2|﹣1＝a，当x≥2时，x﹣2﹣1＝a，解得：x＝a+3，a≥﹣1；当x＜2时，2﹣x﹣1＝a，解得：x＝1﹣a；a＞﹣1；②若|x﹣2|﹣1＝﹣a，当x≥2时，x﹣2﹣1＝﹣a，解得：x＝﹣a+3，a≤1；当x＜2时，2﹣x﹣1＝﹣a，解得：x＝a+1，a＜1；又∵方程有三个整数解，∴可得：a＝﹣1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．即a只能取1．      巩固练习1．已知关于x的方程|x|＝ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是（　　）A．a＞1 B．a≤﹣1 C．a＞2或a≤﹣2 D．a＞1或a≤﹣1【解答】解：方法一：①当ax﹣a≥0，a（x﹣1）≥0，解得：x≥1 且 a≥0，或者   x≤1且a≤0，②正根条件：x＞0，x＝ax﹣a，即x0，解得：a＞1 或a＜0， 由①，即得正根条件：a＞1 且x≥1，或者a＜0，0＜x≤1，③负根条件：x＜0，得：﹣x＝ax﹣a，解得：x0，即﹣1＜a＜0， 由①，即得负根条件：﹣1＜a＜0，x＜0，根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取  a＞1（此时x≥1，没负根），或者a≤﹣1（ 此时0＜x≤1，没负根）．综合可得，a＞1或a≤﹣1．故选：D． 方法二：解：如图直线y＝|x|，y＝ax﹣a的图象如图所示：观察图象可知：当直线y＝ax﹣a与直线y＝﹣x平行时，a＝﹣1，当直线y＝ax﹣a与直线y＝x平行时，a＝1，直线y＝ax﹣a与直线y＝|x|的交点在第一象限时，方程|x|＝ax﹣a有正根且没有负根，∴a≤﹣1或a＞1满足条件．故选：D．2．方程的解是x＝（　　）A． B． C． D．【解答】解：，提取公因式，得x （）＝1，将方程变形，得x[（1）（）（）（）]＝1，提取公因式，得（1）＝1，移项，合并同类项，得（1）＝1，系数化为1，得x．故选：C．3．方程|x|+|x﹣2002|＝|x﹣1001|+|x﹣3003|的整数解共有（　　）A．1002个 B．1001个 C．1000个 D．2002个【解答】解：|x|+|x﹣2002|是数轴上点x到0和2002的距离的之和，记为d．显然，当0≤x≤2002时，d＝2002；当x＜0或x＞2002时，d＞2002．同理，|x﹣1001|+|x﹣3003|是数轴上的点x到两点1001和3003的距离之和，记为d′，显然当1001≤x≤3003时，d′＝2002；当x＜1001或x＞3003时，d′＞2002．因此，如果，1001≤x≤2002，则d＝d′＝2002；如果2002＜x≤3003，则d＞2002＝d′；如果0≤x＜1001，则d′＞2002＝d；如果x＞3003，则d＝x+（x﹣2002）＞（x﹣1001）+（x﹣3003）＝d′；如果x＜0，则d＝﹣x+（2002﹣x）＜（1001﹣x）+（3003﹣x）＝d′．所以题设方程是符合1001≤x≤2002的所有整数，共有1002个．故选：A．4．已知方程x3﹣6x﹣10＝0有一根x0满足k＜x0＜k+1，k为正整数，则k＝　3　．【解答】解：∵x3﹣6x﹣10＝0，∴x（x2﹣6）＝10，∵方程有一根，∴，∵x0满足k＜x0＜k+1，k为正整数，∴x只能取正整数部分，∴2＜x＜4，∵方程有一根x0满足k＜x0＜k+1，k为正整数，∴k＝3；故答案为：3．5．20个质量分别为1，2，3，…，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡．（1）试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡　                    　；（2）试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡　                  　．【解答】解：（1）天平一边是砝码①，③，…，⑳，天平另一边是砝码②，④，…，19克，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码；（2）天平一边是砝码①，②，…，14克，天平另一边是砝码15克，16克，17克，18克，19克，⑳，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡．6．解下列方程：（1）|x+3|﹣|x﹣1|＝x+1（2）|x﹣1|+|x﹣5|＝4．【解答】解：（1）①当x≥1时，原方程可化为：x+3﹣（x﹣1）＝x+1，解得：x＝3；②当x＜﹣3时，原方程可化为：﹣x﹣3﹣（1﹣x）＝x+1，解得：x＝﹣5；③当﹣3≤x＜1时，原方程可化为：x+3+x﹣1＝x+1，解得：x＝﹣1．综上可得：方程的解为：x＝3或x＝﹣5或x＝﹣1； （2）方程可理解为一个点到1和5两点的距离和，由此可得方程的解为：1≤x≤5．7．解关于x的方程|x﹣2|﹣3＝a．【解答】解：∵|x﹣2|﹣3＝a，∴|x﹣2|＝3+a，当a≥﹣3时，则x﹣2＝3+a或x﹣2＝﹣3﹣a，解得：x＝10+2a或x＝﹣2﹣2a．当a＜﹣3时，此方程无解．8．当a满足什么条件时，关于x的方程|x﹣2|﹣|x﹣5|＝a有一解？有无数多个解？无解？【解答】解：①x≥5时，x﹣2﹣（x﹣5）＝x﹣2﹣x+5＝3，当a＝3时，有无数多解；当a≠3时，无论a取何值均无解；②x≤2时，2﹣x﹣（5﹣x）＝2﹣x﹣5+x＝﹣3，当a＝﹣3时，有无数解；当a≠﹣3时，无解；③2＜x＜5时，x﹣2﹣（5﹣x）＝x﹣2﹣5+x＝2x﹣7，∴4＜2x＜10，∴4﹣7＜2x﹣7＜10﹣7即：﹣3＜2x﹣7＜3．所以当﹣3＜a＜3时，有一解；当a＞3或a＜﹣3时，无解．综上所述，当a＝±3时，方程有无数个解，当a＞3或a＜﹣3时，无解；当﹣3＜a＜3时，有一解．9．已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q＝97的解是1，求代数式40p+101q+4的值．【解答】解：把x＝1代入方程px+5q＝97可得：p+5q＝97，故p与5q中必有一个为偶数，①若p＝2，则5q＝95，q＝19，40p+101q+4＝2003．②若5q为偶数，则q为2，p＝87，而87不是质数，与题意矛盾．综上可得：40p+101q+4＝2003．故答案为：2003．10．已知关于x的方程和有相同的解，求a与方程的解．【解答】解：由第一个方程得：由第二个方程得：所以，解得，所以