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2023中考复习大串讲初中数学第13课时二次函数的应用 课件(福建版)
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这是一份2023中考复习大串讲初中数学第13课时二次函数的应用 课件(福建版)，共39页。PPT课件主要包含了考点3销售问题，1求ab的值等内容，欢迎下载使用。
· 考点1 二次函数的综合应用
· 考点2 几何图形问题
· 考点3 销售问题
· 考点4 抛物线型问题
· 考点5 方案设计问题
考点1 二次函数的综合应用
【2022贺州】如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
解：由题意得y＝－(x＋1)·(x－3)，∴y＝－x2＋2x＋3.
(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
解：由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝1，点C的坐标为(0，3)．设P(1，m)，∵PB2＝PC2，∴(3－1)2＋m2＝1＋(m－3)2，解得m＝1，∴P(1，1)．
(3)在(2)的条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在M点满足条件．作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N，易得PQ的解析式为y＝－x＋2，∴Q(0，2)，∵C(0，3)，S△BCM＝S△BCP，∴N(0，4)，
【2020福建节选14分】已知直线l1：y＝－2x＋10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2.
(1)求二次函数的解析式；
解：∵直线l1：y＝－2x＋10交y轴于点A，交x轴于点B，∴A(0，10)，B(5，0)．∵BC＝4，∴C(9，0)或C(1，0)．∵点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2，∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C(9，0)时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意，舍去；
(2)若直线l2：y＝mx＋n(n≠10)，求证：当m＝－2时，l2∥l1.
【变式练习】如图2，已知二次函数y＝－ x2＋bx＋c的图象的对称轴与x轴交于点A(1，0)，图象与y轴交于点B(0，3)，C、D为该二次函数图象上的两个动点(点C在点D的左侧)，且∠CAD＝90°.(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值.
考点2 几何图形问题
【2018福建10分】如图3，在足够大的空地上有一段长为a m的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 m木栏.
(1)若a＝20，所围成的矩形菜园ABCD的面积为450 m2，求所利用旧墙AD的长；
解：设AB＝t m，则BC＝(100－2t)m，根据题意得t(100－2t)＝450，解得t1＝5，t2＝45，当t＝5时，100－2t＝90＞20，不合题意，舍去；当t＝45时，100－2t＝10.答：AD的长为10 m.
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间存在一次函数关系(其中10≤x≤21，且x为整数).当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
解：依题意得w＝(x－10)(－5x＋150)＝－5x2＋200x－1 500＝－5(x－20)2＋500.∵－5＜0，∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为500.答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．
【变式练习】某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元.(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元.
(2)甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱.如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场所获利润最大？最大利润是多少？
解：设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得w＝(15－a)(100＋20a)＝－20a2＋200a＋1 500＝－20(a－5)2＋2 000，∵－20＜0，∴当a＝5时，w有最大值，最大值是2 000.答：当降价5元时，该商场所获利润最大，最大利润是2 000元．
考点4 抛物线型问题
图4是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝－ x2＋ 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方的点A滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝－ x2＋bx＋c运动.
(1)当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大，为 米，直接写出b，c的值；
(2)在(1)的条件下，当小张滑出后离点A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为 米？
(3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求b，c的值或取值范围.
某公司分别在A，B两城生产同种产品共100件.A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y＝ax2＋bx.当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1 000.B城生产产品的每件成本为70万元.
考点5 方案设计问题
(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件；
解：由(1)得y＝x2＋30x，设A，B两城生产这批产品的总成本为w万元，由题意得w＝x2＋30x＋70(100－x)＝x2－40x＋7 000＝(x－20)2＋6 600，
由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6 600，此时100－20＝80(件)．答：A城生产20件，B城生产80件．
(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件.C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示).
· 考点1 二次函数的综合应用
· 考点2 几何图形问题
· 考点3 销售问题
· 考点4 抛物线型问题
· 考点5 方案设计问题
考点1 二次函数的综合应用
【2022贺州】如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
解：由题意得y＝－(x＋1)·(x－3)，∴y＝－x2＋2x＋3.
(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
解：由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝1，点C的坐标为(0，3)．设P(1，m)，∵PB2＝PC2，∴(3－1)2＋m2＝1＋(m－3)2，解得m＝1，∴P(1，1)．
(3)在(2)的条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在M点满足条件．作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N，易得PQ的解析式为y＝－x＋2，∴Q(0，2)，∵C(0，3)，S△BCM＝S△BCP，∴N(0，4)，
【2020福建节选14分】已知直线l1：y＝－2x＋10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2.
(1)求二次函数的解析式；
解：∵直线l1：y＝－2x＋10交y轴于点A，交x轴于点B，∴A(0，10)，B(5，0)．∵BC＝4，∴C(9，0)或C(1，0)．∵点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2，∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C(9，0)时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意，舍去；
(2)若直线l2：y＝mx＋n(n≠10)，求证：当m＝－2时，l2∥l1.
【变式练习】如图2，已知二次函数y＝－ x2＋bx＋c的图象的对称轴与x轴交于点A(1，0)，图象与y轴交于点B(0，3)，C、D为该二次函数图象上的两个动点(点C在点D的左侧)，且∠CAD＝90°.(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值.
考点2 几何图形问题
【2018福建10分】如图3，在足够大的空地上有一段长为a m的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 m木栏.
(1)若a＝20，所围成的矩形菜园ABCD的面积为450 m2，求所利用旧墙AD的长；
解：设AB＝t m，则BC＝(100－2t)m，根据题意得t(100－2t)＝450，解得t1＝5，t2＝45，当t＝5时，100－2t＝90＞20，不合题意，舍去；当t＝45时，100－2t＝10.答：AD的长为10 m.
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间存在一次函数关系(其中10≤x≤21，且x为整数).当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
解：依题意得w＝(x－10)(－5x＋150)＝－5x2＋200x－1 500＝－5(x－20)2＋500.∵－5＜0，∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为500.答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．
【变式练习】某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元.(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元.
(2)甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱.如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场所获利润最大？最大利润是多少？
解：设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得w＝(15－a)(100＋20a)＝－20a2＋200a＋1 500＝－20(a－5)2＋2 000，∵－20＜0，∴当a＝5时，w有最大值，最大值是2 000.答：当降价5元时，该商场所获利润最大，最大利润是2 000元．
考点4 抛物线型问题
图4是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝－ x2＋ 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方的点A滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝－ x2＋bx＋c运动.
(1)当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大，为 米，直接写出b，c的值；
(2)在(1)的条件下，当小张滑出后离点A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为 米？
(3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求b，c的值或取值范围.
某公司分别在A，B两城生产同种产品共100件.A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y＝ax2＋bx.当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1 000.B城生产产品的每件成本为70万元.
考点5 方案设计问题
(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件；
解：由(1)得y＝x2＋30x，设A，B两城生产这批产品的总成本为w万元，由题意得w＝x2＋30x＋70(100－x)＝x2－40x＋7 000＝(x－20)2＋6 600，
由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6 600，此时100－20＝80(件)．答：A城生产20件，B城生产80件．
(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件.C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示).
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