2023年中考数学复习专项专练专题17 锐角三角函数及答案(四川版)

这是一份2023年中考数学复习专项专练专题17 锐角三角函数及答案(四川版)，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题17  锐角三角函数  一、单选题1．（2020·四川凉山）如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A． B． C．2 D．【答案】A【解析】【分析】如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；【详解】如图，取格点E，连接BE， 由题意得：，，，∴．故答案选A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键．2．（2022·四川宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（       ） A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，，根据折叠可知，，，，∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS），∴，，设，则，在中，，即，解得：，则，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键．3．（2021·四川巴中）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　）A．sinB B．sinCC．tanB D．sin2B+sin2C＝1【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．【详解】解：由勾股定理得：,∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴，，，，只有A错误．故选择：A．【点睛】此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出AB，AC，BC的长解答．二、填空题4．（2020·四川攀枝花）_______．【答案】【解析】【详解】.故答案为.5．（2021·四川广元）如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点．则的正切值为________．【答案】【解析】【分析】由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∵∠BAE=∠BDC，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键．6．（2021·四川乐山）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点处测得石碑顶点的仰角为，她朝石碑前行5米到达点处，又测得石顶点的仰角为，那么石碑的高度的长________米．（结果保留根号）【答案】【解析】【分析】先根据已知条件得出△ADC是等腰三角形，再利用AB=sin60°×AD计算即可【详解】解：由题意可知：∠A=30°，∠ADB=60°∴∠CAD=30°∴△ADC是等腰三角形，∴DA=DC又DC=5米故AD=5米在Rt△ADB中，∠ADB=60°∴AB=sin60°×AD=米故答案为：【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键三、解答题7．（2021·四川内江）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）【答案】米．【解析】【分析】作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．【详解】解：作于点，设米，在中，，则（米，∵，且AE=8∴ ∴ 在直角中，米，在直角中，，米．，即．解得：，则米．答：的高度是米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．8．（2020·四川巴中）如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台合风中心距离小岛200海里．（1）过点B作于点P，求的度数；（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数：，，，）【答案】（1）59°；（2）沿海城市B不会受到台风影响，见解析【解析】【分析】（1）先由∠MAC=60°知∠BAC=30°，再由BP⊥AC知∠ABP=60°，结合∠CBN=29°，∠ABN=90°得∠ABC=119°，继而根据∠PBC=∠ABC-∠ABP可得答案；（2）先求出∠C=31°，由tan31°=0.60知，设BP为x海里，表示出海里，海里，根据AC=200海里建立关于x的方程，解之求出x的值，与50进行大小比较可得答案．【详解】解：（1）∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，，∴，∴；（2）不会受到影响．理由如下：由（1）可知，，∴，又∵，∴，设BP为x海里，则海里，海里，∴，解得：，∵，∴沿海城市B不会受到台风影响．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握直角三角形的有关性质和三角函数的定义及其应用．9．（2020·四川广安）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB=154cm，∠A=30°，另一根辅助支架DE=78cm，∠E=60°．（1）求CD的长度．（结果保留根号）（2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732）【答案】（1）的长度为；（2）的长度为18.9cm【解析】【分析】（1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE中利用三角函数sin60°=，求出CD的长．（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO=AO，再代入数计算即可得到答案．【详解】解：（1）在中，，答：的长度为；（2）设水箱半径OD的长度为x厘米，则CO=（+x）厘米，AO=（154+x）厘米，∵∠A=30°，∴CO=AO，+x=（154+x），解得：x=154-78≈154-135.096≈18.9cm．答：的长度为18.9cm．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用和圆的基本性质，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和圆的半径相等是解题关键．