2023年中考数学一轮复习 模拟汇编第3讲 函数(含答案)　

这是一份2023年中考数学一轮复习 模拟汇编第3讲 函数(含答案)　，共85页。试卷主要包含了和y2＝x+1等内容，欢迎下载使用。

第三讲 函数
一．坐标与图形性质（共1小题）
1．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在网格中建立平面直角坐标系，已知A（0，0），B（﹣3，1），C（3，4），若点D使得∠BCD＝∠DAB，则点D的坐标可能是（　　）

A．（6，3） B．（﹣3，4） C．（﹣4，5） D．（﹣1，3）
二．函数的图象（共3小题）
2．（2022•南京二模）函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y＝y1+y2的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
3．（2022•鼓楼区一模）甲乙两地相距8km，如图表示往返于两地的公交车离甲地的距离y（单位：km）与从早晨7：00开始经过的时间x（单位：min）之间的关系．小明早晨7点从甲地出发，匀速跑步去乙地，若他在中途与迎面而来的公交车相遇3次，被同向行驶的公交车超越2次，则小明的速度可能是（　　）

A．0.2km/min B．0.15km/min C．0.12km/min D．0.1km/min
4．（2022•雨花台区校级模拟）函数y＝x2+的图象如图所示，下列结论中：
①该函数自变量x的取值范围是x≠0；
②该函数有最小值；
③方程x2+＝3有三个根；
④如果（x1，y1）和（x2，y2）是该函数图象上的两个点，当x1＜x2＜0时一定有（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．
所有正确结论的序号是 　 　．

三．动点问题的函数图象（共1小题）
5．（2022秋•南京期末）在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P，从A出发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，△PAC的面积为y．请结合右侧函数图象分析当x＝2022时，y的值为（　　）


A．2 B．4 C．6 D．8
四．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
6．（2022•南京二模）已知一次函数y1＝ax+3a+2（a为常数，a≠0）和y2＝x+1．
（1）当a＝﹣1时，求两个函数图象的交点坐标；
（2）不论a为何值，y1＝ax+3a+2（a为常数，a≠0）的图象都经过一个定点，这个定点坐标是 　 　；
（3）若两个函数图象的交点在第三象限，结合图象，直接写出a的取值范围．



五．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
7．（2022•建邺区二模）平面直角坐标系xOy中，点A，B，C，D的位置如图所示，当k＞0且b＜0时，A，B，C，D四点中，一定不在一次函数y＝kx+b图象上的点为 　 　．

六．一次函数图象与几何变换（共2小题）
8．（2022•秦淮区校级模拟）将函数y＝﹣2x+4的图象绕图象上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图象经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
9．（2022•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，将函数y＝4x的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为 　 　．
七．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
10．（2022秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l的表达式为y＝2x﹣6，点A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），直线AB与l相交于点P．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）若直线l上存在一点C，使得△APC的面积是△ABO的面积的2倍，请直接写出点C的坐标．



八．一次函数与一元一次不等式（共2小题）
11．（2022•建邺区二模）已知一次函数y1＝kx﹣2（k为常数，k≠0）和y2＝﹣x+3．
（1）若y1的图象经过点（2，2），求k的值；
（2）在（1）的条件下，若y1＜y2，求x的取值范围；
（3）当x＞1时，y1＜y2．结合图象，直接写出k的取值范围是 　 　．




12．（2022•玄武区二模）已知一次函数y1＝﹣x+m﹣3（m为常数）和y2＝2x﹣6．
（1）若一次函数y1＝﹣x+m﹣3的图象与x轴的交点在y轴右侧，求m的取值范围；
（2）当x＜3时，y1＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围．

















九．一次函数的应用（共7小题）
13．（2022•秦淮区二模）小明骑自行车从家匀速驶往学校，经过一个路口时恰好遇到红灯，红灯变成绿灯后，小明立即以原速骑到学校．在整个过程中，小明离家的距离y1（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小明家与学校的距离是 　 　m，小明骑车的速度是 　 　m/min；
（2）求图中点A的坐标，并解释它的实际意义；
（3）小明从家出发一段时间后，妈妈发现粗心的小明把数学书忘在家里了，于是立即从家出发，沿着小明上学的路线骑电动车以300m/min的速度追赶小明，经过路口时遇到红灯，等待30s后以原速继续骑行，结果在离学校还有150m处追上小明．在图中画出妈妈从出发到追上小明的过程中，她离家的距离y2（m）与小明出发的时间x（min）之间的函数图象．













14．（2022•建邺区一模）甲、乙两人从A地前往B地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发30s后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离A地的距离分别为y1（单位：m）、y2（单位：m），都是甲出发时间x（单位：s）的函数，它们的图象如图①．设甲的速度为v1m/s，乙的速度为v2m/s．
（1）v1：v2＝　 　，a＝　 　；
（2）求y2与x之间的函数表达式；
（3）在图②中画出甲、乙两人之间的距离s（单位：m）与甲出发时间x（单位：s）之间的函数图象．



15．（2022•南京一模）一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿一条笔直的公路匀速开往乙地．图中的线段OA和线段BC分别表示货车和轿车离甲地的距离y（km）与货车出发时间x（h）之间的函数关系．
（1）轿车出发时，两车相距 　 　km；
（2）若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，求线段BC对应的函数表达式及a的值；
（3）若轿车出发1.6h，此时与货车的距离小于12km，直接写出轿车速度v的取值范围．


16．（2022•南京一模）哥哥弟弟进行100米赛跑，哥哥跑得比弟弟快．图1、图2均描述了两人2次赛跑的实际情形．假设两人2次赛跑的速度保持不变，其中所跑路程为y米，时间为x秒．
（1）请描述图1中两人赛跑的实际情形；
（2）求哥哥、弟弟的速度；
（3）求图2中直线AB对应的函数表达式．




17．（2022•玄武区一模）甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离y（单位：km）与慢车的行驶时间x（单位：min）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：
（1）慢车的速度为 　 　km/min；
（2）求线段AB表示的y与x之间的函数表达式；
（3）请根据题意补全图象．

18．（2022•秦淮区校级模拟）某地市场上第一年大米价格p（元/公斤）与销售数量m（万公斤）之间的函数表达式为，第二年大米产量n（万公斤）与第一年大米价格p（元/公斤）之间的函数表达式为n＝25（p﹣1）．
（1）若该地市场第一年大米的销售数量为100万公斤，预计第二年该地大米产量为多少？
（2）若该地市场第一年大米的销售总价达到最大值，预计第二年该地大米产量为多少？




19．（2022•雨花台区校级模拟）实际情境：甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，小狗随甲一起出发，每小时跑12千米，小狗遇到乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直跑下去．
数学研究：如图，折线A﹣B﹣C、A﹣D﹣E分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程y（km）与甲行进时间x（h）之间的部分函数图象．
（1）求线段AB对应的函数表达式；
（2）求点E的坐标；
（3）小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，直接写出x为何值时，它离乙的路程与它离甲的路程相等？





一十．反比例函数的图象（共1小题）
20．（2022•秦淮区二模）将函数y＝的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是 　 　．
一十一．反比例函数系数k的几何意义（共4小题）
21．（2022•建邺区二模）点A在函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝的图象上，点C、D在x轴上，若四边形ABCD是正方形且面积为9，则k＝　 　．
22．（2022•建邺区一模）如图，点A是函数y＝图象上的任意一点，点B、C在反比例函数y＝的图象上．若AB∥x轴，AC∥y轴，阴影部分的面积为4，则k＝　 　．

23．（2022•南京一模）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴上，且AO＝AB，若△OAB的面积为5，则k的值为 　 　．

24．（2022•建邺区二模）如图，P为反比例函数的图象上的点，过P分别向x轴和y轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，这个反比例函数解析式为　 　．


一十二．反比例函数图象上点的坐标特征（共8小题）
25．（2022•雨花台区校级模拟）如图，已知矩形ABCD的顶点 A、B分别落在双曲线y＝（k≠0）上，顶点 C、D分别落在y轴、x轴上，双曲线y＝经过AD的中点E，若OC＝3，则k的值为（　　）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
26．（2022•鼓楼区校级二模）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）都在y＝的图象上．若x1•x2＝﹣2，则y1•y2的值为 　 　．
27．（2022•玄武区二模）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，4），当y＝6时，x＝　 　．
28．（2022•鼓楼区二模）如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，顶点A，D分别在函数y1＝﹣（x＜0），y2＝（x＞0）的图象上．若∠BCD＝150°，则A的坐标为 　 　．

29．（2022•南京一模）已知反比例函数y＝的图象经过点（1，3）、（m，n），则mn的值为 　 　．


30．（2022•玄武区一模）已知P1（m，y1），P2（m+1，y2），P3（m+2，y3）是下列函数图象上的点：
①y＝x+1； ②y＝（x＞0）； ③y＝x2﹣3x﹣2（x＞0）； ④y＝﹣x2﹣3x+2（x＞0）
其中，使不等式|y1﹣y2|＜|y3﹣y2|总成立的函数有 　 　．（填正确的序号）
31．（2022•秦淮区一模）点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y＝﹣的图象上，若x1＜0＜x2，则y1　 　y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
32．（2022•玄武区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，OA⊥OB，OB＝2OA，反比例函数y1＝（x＞0），y2＝（x＜0）的图象分别经过点A，B，则k的值为 　 　．

一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
33．（2022•南京二模）若函数y1＝﹣x+6与y2＝（k为常数，且k≠0）的图象没有交点，则k的值可以为 　 　（写出一个满足条件的值）．
34．（2022•鼓楼区一模）在同一直角坐标系中，若正比例函数y＝x的图象与反比例函数的图象有公共点，则对于反比例函数，当x＞0时，y随x增大而 　 　．（填“增大”或“减小”）
一十四．反比例函数的应用（共1小题）
35．（2022•玄武区二模）生活中充满着变化，有些变化缓慢，几乎不被人们所察觉；有些变化太快，让人们不禁发出感叹与惊呼，例如：气温“陡增”，汽车“急刹”，股价“暴涨”，物价“飞涨”等等．
【数学概念】
点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是函数图象上不同的两点，对于A，B两点之间函数值的平均变化率k（A，B）用以下方式定义：k（A，B）＝．
【数学理解】
（1） 点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣2x+4图象上不同的两点，求证：k（A，B）是一个定值，并求出这个定值．


（2）点C（x3，y3），D（x4，y4）是函数y＝（x＞0）图象上不同的两点，且x4﹣x3＝2．当k（C，D）＝﹣4时，则点C的坐标为 　 　．
（3）点E（x5，y5），F（x6，y6）是函数y＝﹣2x2+8x﹣3图象上不同的两点，且x5+x6＜2，求k（E，F）的取值范围．



【问题解决】
（4）实验表明，某款汽车急刹车时，汽车的停车距离y（单位：m）是汽车速度x（单位：km/h）的二次函数．已知汽车速度x与停车距离y部分对应值如表：
汽车速度x
78
80
82
84
86
88
90
停车距离y
35.1
36.8
38.54
40.32
42.14
44
45.9
当x＝100时，y的值为 　 　．





一十五．二次函数的性质（共1小题）
36．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．
（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 　 　；
②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 　 　；
③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 　 　．
（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．

一十六．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
37．（2022•南京一模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＞0 C．b＞0，c＜0 D．b＜0，c＜0
一十七．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）
38．（2022•鼓楼区二模）已知点（﹣2，m）、（2，p）和（4，q）在二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象上．若pq＜0，则p，q，m
的大小关系是 　 　（用“＜”连接）．
39．（2022•建邺区一模）如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+6的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 　 　．

一十八．二次函数的最值（共2小题）
40．（2022•南京一模）若x+y＝5，则xy+1的最大值为 　 　．
41．（2022•鼓楼区一模）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为 　 　．




一十九．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
42．（2022•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，1），与y轴的交点坐标是（0，5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，求n的取值范围．




二十．抛物线与x轴的交点（共5小题）
43．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，以下结论正确的是（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
D．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
44．（2022•秦淮区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m为常数），它的图象与x轴的公共点个数的情况是（　　）
A．有两个公共点 B．有一个公共点
C．没有公共点 D．无法确定






45．（2022•鼓楼区校级二模）小淇利用绘图软件画出函数y＝﹣x（x﹣1）（x+1）（﹣2≤x≤2）的图象，下列关于该函数性质的四种说法：
①图象与x轴有两个交点；
②图象关于原点中心对称；
③最大值是3，最小值是﹣3；
④当x＞1时，y随x的增大而减小．
其中，所有正确说法的序号是 　 　．

46．（2022•南京一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，比较y1与y2的大小；
（3）当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．



47．（2022•南京一模）已知二次函数y＝ax2﹣2mx+m（a、m是常数，a≠0）过点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）．
（1）若y1＝m．
①该抛物线的对称轴为直线 　 　；
②求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2） 若y2＝1，y1＜y3＜y2，求m的取值范围．


二十一．二次函数与不等式（组）（共3小题）
48．（2022•秦淮区校级模拟）函数y＝﹣x3+x的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 　 　．

49．（2022•鼓楼区二模）（1）解方程：x2+x﹣1＝0．
（2）直接写出二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的坐标；
（3）直接写出不等式x2+x﹣1＞0的解集．



50．（2022•建邺区一模）已知二次函数y＝x2﹣2（p+1）x+q的图象经过（1，0）、（0，﹣5）两点．
（1）求p、q的值；
（2）点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，若x1+x2＝2，求证y1+y2＞0．



二十二．二次函数的应用（共5小题）
51．（2022•玄武区二模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70m，坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度（即tanα）为3：4．以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．
（1）求这段抛物线表示的二次函数表达式；
（2）在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；
（3）落点P与坡顶C之间的距离为 　 　m．

52．（2022•建邺区二模）某服装店销售一款卫衣，该款卫衣每件进价为60元，规定每件售价不低于进价．经市场调查发现，该款卫衣每月的销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系y＝﹣20x+2800．
（1）若服装店每月既想从销售该款卫衣中获利24000元，又想尽量给顾客实惠，售价应定为多少元？
（2）为维护市场秩序，物价部门规定该款卫衣的每件利润不允许超过每件进价的50%．设该款卫衣每月的总利润为W（元），那么售价定为多少元时服装店可获得最大利润？最大利润是多少元？










53．（2022•南京二模）某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：
方式一：若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩．
方式二：每亩土地的年租金是600元．
（1）若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是 　 　；
（2）当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？并求出最大值；
（3）农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元（a＞0）给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构．当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围．
（注：年收入＝年总租金﹣捐款数）



54．（2022•秦淮区一模）在某次科技创新活动中，机器人A和B沿一直道同时同地出发进行50m赛跑．设A出发第xs时，A，B离终点的距离分别为y1m，y2m，其中y1是x的一次函数，y2＝﹣0.01x2﹣0.02x+50，它们的图象如图所示．

（1）求y1与x之间的函数表达式；
（2）在比赛过程中，求两机器人离终点距离相等时x的值．










55．（2022•建邺区二模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格x元（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量p（千克）
600
450
300
150
0
（1）请直接写出p与x之间的函数关系式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．




二十三．二次函数综合题（共5小题）
56．（2022•雨花台区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．
（1）该抛物线的对称轴为 　 　；
（2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3，求a，m的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜x＜3n+5，若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．







57．（2022•建邺区二模）我们在研究一个新函数时，常常会借助图象研究新函数的性质．在经历列表、描点、连线的步骤后，就可以得到函数图象．利用此方法对函数y＝﹣（|x|﹣2）2进行探究．
绘制图象：
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象．

观察探究：
（2）结合图象，写出该函数的一条性质：　 　．
（3）方程﹣（|x|﹣2）2＝﹣1的解是 　 　．
（4）若关于x的方程﹣（|x|﹣2）2＝x+b有两个不相等的实数解，则b的取值范围是 　 　．
延伸思考：
（5） 将该函数的图象经过怎样的变换可以得到函数y2＝﹣（|x﹣1|﹣2）2+3的图象？写出变换过程，并直接写出当2＜y2≤3时，自变量x的取值范围．





58．（2022•秦淮区一模）阅读下面的问题及其解决途径．
问题：将函数y＝2x﹣3的图象向右平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？

结合阅读内容，完成下面的问题．
（1）填写下面的空格．
问题：将函数y＝的图象向左平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？

（2）将函数y＝﹣2x2+3x+1的图象沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式为 　 　．
（3）将函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图象对应的函数表达式．







59．（2022•秦淮区校级模拟）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣2，4）、（3，2），连接AB．
（1）若一次函数y＝kx+5的图象与线段AB有公共点，则k的取值范围是 　 　；
（2）若反比例函数y＝m/x的图象与线段AB有公共点，则m的取值范围是 　 　；
（3）已知点P是x轴上的一点且横坐标为n（n＞0），若一条抛物线经过（0，5）、（2，4）和点P，请直接写出抛物线与线段AB的公共点的个数及对应的n的取值范围．



60．（2022•玄武区一模）已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）二次函数的图象与x轴交于点M，N，与y轴交于点P，若△MNP是等腰直角三角形，则m的值为 　 　；
（3）点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，当y1•y2•y3＜0时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．



61．（2022•建邺区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出方程ax2+bx+c＜0时x的取值范围；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

62．（2022•雨花台区校级模拟）阅读并解答下列问题；在学习完《中心对称图形》一章后，老师给出了以下一个思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC，CD，DB，求AC+CD+DB最小值．

【思考交流】小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC．BD．此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．
小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点A1关于x轴的对称点A2，连接A2B可以求解．
小亮：对称和平移还可以有不同的组合…．
【尝试解决】在图2中，AC+CD+DB的最小值是　 　．
【灵活应用】如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1），D（a+2，0），连接AC，CD，DB，则AC+CD+DB的最小值是　 　，此时a＝　 　，并在图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
【拓展提升】如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y＝x图象上一点，CD与y轴垂直且CD＝2（点D在点C右侧），连接AC，CD，AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是　 　，此时点C的坐标是　 　．
63．（2022•鼓楼区校级二模）设二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．
（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．
（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．



















第三讲 函数
参考答案与试题解析
一．坐标与图形性质（共1小题）
1．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在网格中建立平面直角坐标系，已知A（0，0），B（﹣3，1），C（3，4），若点D使得∠BCD＝∠DAB，则点D的坐标可能是（　　）

A．（6，3） B．（﹣3，4） C．（﹣4，5） D．（﹣1，3）
【分析】采用数形结合思想，利用平移求解．
【解答】解：当四边形ABCD为平行四边形，
有∠BCD＝∠DAB，
∴AB∥DC，
根据平移原理．所以D（6，3），
故选：A．
二．函数的图象（共3小题）
2．（2022•南京二模）函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y＝y1+y2的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据函数图象的开口大小与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【解答】解：设y1＝a1x2+b1x+c1，y2＝a2x2+b2x+c2，
由图象知，a1＞0，b1＜0，c1＞0，a2＞0，b2＜0，c2＜0，|c2|＞|c1|，
∴a1+a2＞0，b1+b2＜0，c1+c2＜0，
∵y＝y1+y2＝（a1+a2）x2+（b1+b2）x+（c1+c2），﹣＞0，
∴函数y＝y1+y2的图象开口向上，对称轴也在y轴的右侧，开口比函数y1、y2的开口都小，与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴只有选项A符合题意，
故选：A．
3．（2022•鼓楼区一模）甲乙两地相距8km，如图表示往返于两地的公交车离甲地的距离y（单位：km）与从早晨7：00开始经过的时间x（单位：min）之间的关系．小明早晨7点从甲地出发，匀速跑步去乙地，若他在中途与迎面而来的公交车相遇3次，被同向行驶的公交车超越2次，则小明的速度可能是（　　）

A．0.2km/min B．0.15km/min C．0.12km/min D．0.1km/min
【分析】根据题意画出小明的函数图象，得到小明所用时间的范围，即可求出他的速度范围．
【解答】解：∵小明在中途与迎面而来的公交车相遇3次，被同向行驶的公交车超越2次．
∴他的函数图象如图在OA和OB之间，
∴小明所用的时间在50﹣60分钟之间，
8÷50＝0.16，8÷60≈0.1333，
∴小明的速度在0.133﹣0.16之间，
故选：B．

4．（2022•雨花台区校级模拟）函数y＝x2+的图象如图所示，下列结论中：
①该函数自变量x的取值范围是x≠0；
②该函数有最小值；
③方程x2+＝3有三个根；
④如果（x1，y1）和（x2，y2）是该函数图象上的两个点，当x1＜x2＜0时一定有（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．
所有正确结论的序号是 　①③　．

【分析】根据函数解析式，结合函数图象进行判断．
【解答】解：如图：
①函数y＝x2+中，分母不能为0，所以函数自变量x的取值范围是x≠0，故①符合题意．
②如图所示，函数没有最大值，没有最小值，故②不符合题意．
③如图所示，函数y＝x2+的图象与直线y＝3有3个交点，所以方程x2+＝3有三个根，故③符合题意．
④如图所示，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴当x1＜x2＜0时，y1﹣y2＞0，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，故④不符合题意．
综上所述，正确的结论有①③个．
故答案为：①③．
三．动点问题的函数图象（共1小题）
5．（2022秋•南京期末）在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P，从A出发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，△PAC的面积为y．请结合右侧函数图象分析当x＝2022时，y的值为（　　）


A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】观察函数图象可知，点P在正方形ABCD的边上每运动一周，则x的值增加16，而2022÷16＝126（周）……6（单位长度），则当x＝2022时，点P位于BC边的中点处，于是可以求得△PAC的面积为4，即y＝4，得到问题的答案．
【解答】解：∵点P在正方形ABCD的边上每运动一周，则x的值增加16，
∴2022÷16＝126（周）……6（单位长度），
∴当x＝2022时，点P位于BC边的中点处，
∴y＝×2×4＝4，
故选：B．
四．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
6．（2022•南京二模）已知一次函数y1＝ax+3a+2（a为常数，a≠0）和y2＝x+1．
（1）当a＝﹣1时，求两个函数图象的交点坐标；
（2）不论a为何值，y1＝ax+3a+2（a为常数，a≠0）的图象都经过一个定点，这个定点坐标是 　（﹣3，2）　；
（3）若两个函数图象的交点在第三象限，结合图象，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）当a＝﹣1时，求出y1＝﹣x﹣1，联立两函数解析式即可求出交点坐标；
（2）将y1＝ax+3a+2变形为a（x+3）+2，即可求出定点坐标；
（3）画出函数图象即可求出a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，y1＝﹣x﹣1，
当y1＝y2，得﹣x﹣1＝x+1，
解得x＝﹣1，
当x＝﹣1时，y1＝﹣（﹣1）﹣1＝0，
∴两个函数图像的交点坐标为（﹣1，0）；
（2）y1＝ax+3a+2＝a（x+3）+2，
当x+3＝0时，y1＝2，
此时x＝﹣3，
∴不论a为何值，y1＝ax+3a+2（a为常数，a≠0）的图象都经过定点（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）；
（3）函数图象如图所示：

根据图象可知，两个函数图象的交点在第三象限，a的取值范围是：a＜﹣1或a＞1．
五．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
7．（2022•建邺区二模）平面直角坐标系xOy中，点A，B，C，D的位置如图所示，当k＞0且b＜0时，A，B，C，D四点中，一定不在一次函数y＝kx+b图象上的点为 　D　．

【分析】根据一次函数性质解答即可．
【解答】解：∵k＞0且b＜0，
∴图象过一、三、四象限，
∵D点在第二象限，
故答案为：D．
六．一次函数图象与几何变换（共2小题）
8．（2022•秦淮区校级模拟）将函数y＝﹣2x+4的图象绕图象上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图象经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】把P点的横坐标代入y＝﹣2x+4求得纵坐标，在坐标系中作出经过点P和点（3，5）的直线以及直线y＝﹣2x+4，观察图象即可判断．
【解答】解：观察图象可知，当P的横坐标为2时，P的坐标为（2，0），过点（2，0），（3，5）的直线与直线y＝﹣2x+4的夹角小于45°或大于90°，
故选：D．

9．（2022•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，将函数y＝4x的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为 　y＝4x﹣4　．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将函数y＝4x的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为：y＝4（x﹣1）＝4x﹣4；
故答案为：y＝4x﹣4．
七．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
10．（2022秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l的表达式为y＝2x﹣6，点A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），直线AB与l相交于点P．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）若直线l上存在一点C，使得△APC的面积是△ABO的面积的2倍，请直接写出点C的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法即可得到直线AB的表达式；
（2）通过解方程组即可得到点P的坐标；
（3）设点C的坐标为（x，2x﹣6），依据△APC的面积是△ABO的面积的2倍，即可得出x＝1或3，进而得到C（3，0）或（1，﹣4）．
【解答】解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b．
由点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），
可知，
解得，
所以直线AB的表达式为y＝﹣2x+2．
（2）由题意，得，
解得，
所以点P的坐标为（2，﹣2）．
（3）直线l的表达式为y＝2x﹣6，令y＝0，则x＝3，
∴直线l与x轴交于（3，0），
设点C的坐标为（x，2x﹣6），
∵△APC的面积是△ABO的面积的2倍，
∴×（3﹣1）×|2x﹣6﹣（﹣2）|＝2××1×2，
解得x＝1或3，
∴C（3，0）或（1，﹣4）．

八．一次函数与一元一次不等式（共2小题）
11．（2022•建邺区二模）已知一次函数y1＝kx﹣2（k为常数，k≠0）和y2＝﹣x+3．
（1）若y1的图象经过点（2，2），求k的值；
（2）在（1）的条件下，若y1＜y2，求x的取值范围；
（3）当x＞1时，y1＜y2．结合图象，直接写出k的取值范围是 　k≤﹣1　．
【分析】（1）把点（2，2）代入y1＝kx﹣2即可求得k的值；
（2）解不等式即可求得；
（3）观察图象即可求得．
【解答】解：（1）∵y1的图象经过点（2，2），
∴2＝2k﹣2，
解得k＝2；
（2）∵y1＜y2，
∴2x﹣2＜﹣x+3，
解得x＜；
（3）由图象可知当x＞1时，y1＜y2，k的取值范围是k≤﹣1，
故答案为：k≤﹣1．

12．（2022•玄武区二模）已知一次函数y1＝﹣x+m﹣3（m为常数）和y2＝2x﹣6．
（1）若一次函数y1＝﹣x+m﹣3的图象与x轴的交点在y轴右侧，求m的取值范围；
（2）当x＜3时，y1＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出m﹣3＞0，求得m＞3；
（2）由y1＞y2，得到﹣x+m﹣3＞2x﹣6，解得x＜，根据题意结合图象即可得出≥3，解得m≥6．
【解答】解：（1）∵y1＝﹣x+m﹣3中，k＝﹣1，且一次函数y1＝﹣x+m﹣3的图象与x轴的交点在y轴右侧，
∴b＝m﹣3＞0，
∴m＞3；
（2）∵y1＞y2，
∴﹣x+m﹣3＞2x﹣6，
∴x＜，
∵当x＜3时，y1＞y2，
∴≥3，
∴m≥6，

九．一次函数的应用（共7小题）
13．（2022•秦淮区二模）小明骑自行车从家匀速驶往学校，经过一个路口时恰好遇到红灯，红灯变成绿灯后，小明立即以原速骑到学校．在整个过程中，小明离家的距离y1（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小明家与学校的距离是 　1500　m，小明骑车的速度是 　150　m/min；
（2）求图中点A的坐标，并解释它的实际意义；
（3）小明从家出发一段时间后，妈妈发现粗心的小明把数学书忘在家里了，于是立即从家出发，沿着小明上学的路线骑电动车以300m/min的速度追赶小明，经过路口时遇到红灯，等待30s后以原速继续骑行，结果在离学校还有150m处追上小明．在图中画出妈妈从出发到追上小明的过程中，她离家的距离y2（m）与小明出发的时间x（min）之间的函数图象．

【分析】（1）根据函数图象横、纵坐标表示的意义填空即可；
（2）根据“速度＝路程÷时间”计算即可；
（3）根据题意求出妈妈出发的时间，即可画出妈妈从出发到追上小明的过程中，她离家的距离y2（m）与小明出发的时间x（min）之间的函数图象．
【解答】解：（1）由图象可知，小明家与学校的距离是1500m，小明骑车的速度是600÷4＝150（m/min），
故答案为：1500；150；
（2）点A的横坐标为11﹣（1500﹣600）÷150＝5，
故点A的坐标为（5，600），它的实际意义小明骑5分钟后离家距离为600米；
（3）妈妈追上小明时，小明骑了10分钟，故妈妈从出发到追上小明所以时间为：（1500﹣150）÷300+＝4.5，
10﹣4.5﹣0.5＝5（min），
故小明出发5分钟后，妈妈开始出发，
在图中画出妈妈从出发到追上小明的过程中，她离家的距离y2（m）与小明出发的时间x（min）之间的函数图象如下：

14．（2022•建邺区一模）甲、乙两人从A地前往B地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发30s后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离A地的距离分别为y1（单位：m）、y2（单位：m），都是甲出发时间x（单位：s）的函数，它们的图象如图①．设甲的速度为v1m/s，乙的速度为v2m/s．
（1）v1：v2＝　5：6　，a＝　75　；
（2）求y2与x之间的函数表达式；
（3）在图②中画出甲、乙两人之间的距离s（单位：m）与甲出发时间x（单位：s）之间的函数图象．

【分析】（1）根据图①中的数据，可知当x＝180时，两人相遇，然后即可列出方程180v1＝（180﹣30）v2，从而可以得到的v1：v2值，然后计算出乙的速度，从而可以得到甲的速度，然后即可计算出a的值；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出y2与x之间的函数表达式；
（3）根据图象和题目中的数据，可以计算出几个关键点的s的值，然后画出相应的图象即可．
【解答】解：（1）由图可得，
180v1＝（180﹣30）v2，
解得v1：v2＝5：6，
乙的速度为：1200÷（430﹣30）＝3（m/s），
∴甲的速度为：3×＝2.5（m/s），
∴a＝30×2.5＝75，
故答案为：5：6，75；
（2）设y2与x之间的函数表达式是y2＝kx+b，
∵点（30，0）和点（430，1200）在该函数图象上，
∴，
解得，
即y2与x之间的函数表达式是y2＝3x﹣90；
（3）由题意可得，
当x＝30时，此时s＝75；
当x＝180时，s＝0，
当x＝430时，s＝（430﹣180）×（3﹣2.5）＝125，
当x＝1200÷2.5＝480时，s＝0，
由图①和题意可知：当0≤x≤30时，s随x的增大而增大，符合正比例函数；
当30＜x≤180时，s随x的增大而减小，符合一次函数；
当180＜x≤430时，s随x的增大而增大，符合一次函数；
当430＜x≤480时，s随x的增大而减小，符合一次函数；
图象如右图所示．

15．（2022•南京一模）一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿一条笔直的公路匀速开往乙地．图中的线段OA和线段BC分别表示货车和轿车离甲地的距离y（km）与货车出发时间x（h）之间的函数关系．
（1）轿车出发时，两车相距 　84　km；
（2）若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，求线段BC对应的函数表达式及a的值；
（3）若轿车出发1.6h，此时与货车的距离小于12km，直接写出轿车速度v的取值范围．

【分析】（1）由图象可知，可得货车速度是300÷5＝60（km/h），即可得到轿车出发时，两车相距60×1.4＝84（km）；
（2）若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，则C（4.4，300），用待定系数法可得线段BC对应的函数表达式为y＝100x﹣140；由a小时轿车追上货车，可得100a﹣140＝60a，即得a的值为3.5；
（3）根据轿车出发1.6h，与货车的距离小于12km，得，可解得轿车速度v的取值范围是105＜v＜120．
【解答】解：（1）由图象可知，货车5h行驶300km，
∴货车速度是300÷5＝60（km/h），
∴轿车出发时，两车相距60×1.4＝84（km），
故答案为：84；
（2）若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，则C（4.4，300），
设线段BC对应的函数表达式为y＝kx+b，将C（4.4，300），B（1.4，0）代入得：
，
解得，
∴线段BC对应的函数表达式为y＝100x﹣140；
由图象可知，a小时轿车追上货车，
∴100a﹣140＝60a，
解得a＝3.5，
∴a的值为3.5；
（3）∵轿车出发1.6h，与货车的距离小于12km，
∴，
解得：105＜v＜120，
∴轿车速度v的取值范围是105＜v＜120．
16．（2022•南京一模）哥哥弟弟进行100米赛跑，哥哥跑得比弟弟快．图1、图2均描述了两人2次赛跑的实际情形．假设两人2次赛跑的速度保持不变，其中所跑路程为y米，时间为x秒．
（1）请描述图1中两人赛跑的实际情形；
（2）求哥哥、弟弟的速度；
（3）求图2中直线AB对应的函数表达式．

【分析】（1）根据题意和图1中的数据，可以写出两人赛跑的实际情形；
（2）根据图1中的数据，可以分别计算出哥哥、弟弟的速度；
（3）根据题意可以写出点A和点B的坐标，然后根据待定系数法可以求得直线AB对应的函数表达式．
【解答】解：（1）由题意可得，
图1中两人赛跑的实际情形是：弟弟先跑两秒，然后哥哥出发，两人同时到达终点，弟弟一共用了14秒，哥哥一共用了12秒；
（2）由图1可得，
哥哥的速度为：100÷（14﹣2）
＝100÷12
＝（米/秒），
弟弟的速度为：100÷14＝（米/秒），
答：哥哥的速度为米/秒，弟弟的速度为米/秒；
（3）点A的纵坐标为：×2＝，
则点A的坐标为（0，），
设直线AB对应的函数表达式为y＝kx+b，
∵点A（0，），点B（12，100）在该直线上，
∴，
解得，
∴直线AB对应的函数表达式为y＝x+．
17．（2022•玄武区一模）甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离y（单位：km）与慢车的行驶时间x（单位：min）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：
（1）慢车的速度为 　　km/min；
（2）求线段AB表示的y与x之间的函数表达式；
（3）请根据题意补全图象．

【分析】（1）根据图象即可得出A点坐标即可得出慢车的速度；
（2）设线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由A、B的坐标即可求解；
（3）根据快车与慢车速度，进而作出图象即可．
【解答】解：（1）由图象得：慢车20min行驶10km，
∴慢车的速度为：10÷20＝（km/min），
故答案为：；
（2）设线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（20，10）（30，5）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+20（20≤x≤30）；
（3）快车的速度为：＝1（km/min），
快车追上慢车时x＝30+5÷1＝35（min），
快车到达乙地用时40÷1＝40（min），此时，x＝40+20＝60（min），
慢车到达乙地用时40÷+5＝85（min），
补全图象如图：

18．（2022•秦淮区校级模拟）某地市场上第一年大米价格p（元/公斤）与销售数量m（万公斤）之间的函数表达式为，第二年大米产量n（万公斤）与第一年大米价格p（元/公斤）之间的函数表达式为n＝25（p﹣1）．
（1）若该地市场第一年大米的销售数量为100万公斤，预计第二年该地大米产量为多少？
（2）若该地市场第一年大米的销售总价达到最大值，预计第二年该地大米产量为多少？
【分析】（1）将m＝100代入，求出p的值，再将p的值代入n＝25（p﹣1），求出n的值即可；
（2）设第一年大米的销售总价为w（万元），根据题意得w＝，当m取对称轴75时，w取得最大值，求出此时p的值，进一步求出n的值即可．
【解答】解：（1）当m＝100时，＝﹣12+18＝6，
当p＝6时，n＝25（p﹣1）＝25×5＝125，
∴预计第二年该地大米产量为125万公斤；
（2）设第一年大米的销售总价为w（万元），
根据题意得，w＝pm＝＝，
当m＝＝75时，w最大，
此时＝﹣9+18＝9，
∴n＝25（p﹣1）＝25×8＝200，
∴预计第二年该地大米产量为200万公斤．
19．（2022•雨花台区校级模拟）实际情境：甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，小狗随甲一起出发，每小时跑12千米，小狗遇到乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直跑下去．
数学研究：如图，折线A﹣B﹣C、A﹣D﹣E分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程y（km）与甲行进时间x（h）之间的部分函数图象．
（1）求线段AB对应的函数表达式；
（2）求点E的坐标；
（3）小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，直接写出x为何值时，它离乙的路程与它离甲的路程相等？

【分析】（1）设AB的解析式为y1＝ax+b，再利用待定系数法解答即可；
（2）根据题意，得出线段DE对应的函数关系式解答即可；
（3）线段AD对应的函数关系式为y3＝﹣8x+4，分两种情况解答即可．
【解答】解：（1）设AB的解析式为y1＝ax+b，可得：
，
解得：，
所以解析式为：y1＝﹣2x+4（0≤x≤2）；
（2）根据题意，得线段DE对应的函数关系式为＝16x﹣8，
当y1＝y2时，﹣2x+4＝16x﹣8，解得，把代入y1＝﹣2x+4，得，
即点E的坐标为（，）；
（3）由题意可知：线段AD对应的函数关系式为y3＝﹣8x+4，分两种情况：
①y1﹣y3＝y3，即﹣2x+4＝2（﹣8x+4），解得；
②y1﹣y2＝y2，即﹣2x+4＝2（16x﹣8），解得x＝，
综上，小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，当x为或时，它离乙的路程与它离甲的路程相等．
一十．反比例函数的图象（共1小题）
20．（2022•秦淮区二模）将函数y＝的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是 　y＝﹣　．
【分析】根据“左加右减”的原则求得平移后的反比例函数的解析式，然后根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求得沿y轴翻折后的函数表达式．
【解答】解：将函数y＝的图象先向左平移1个单位长度得到新的函数解析式为y＝，再将y＝沿y轴翻折得到新的函数解析式为：y＝，即y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
一十一．反比例函数系数k的几何意义（共4小题）
21．（2022•建邺区二模）点A在函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝的图象上，点C、D在x轴上，若四边形ABCD是正方形且面积为9，则k＝　15或﹣3　．
【分析】根据反比例函数k的几何意义求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形且面积为9，点A在函数y＝的图象上，
根据反比例函数k的几何意义，
可得k＝6+9＝15或k＝6﹣9＝﹣3，
故答案为：15或﹣3．
22．（2022•建邺区一模）如图，点A是函数y＝图象上的任意一点，点B、C在反比例函数y＝的图象上．若AB∥x轴，AC∥y轴，阴影部分的面积为4，则k＝　6　．

【分析】过B作BD⊥x轴于D，过C作CE⊥y轴于E，设A（m，），则C（m，），B（ ，），根据S阴影＝S矩形ODBF+S矩形ACEF﹣S△OCE﹣S△OBD＝4，列出k的方程求得结果便可．
【解答】解：过B作BD⊥x轴于D，过C作CE⊥y轴于E，

∴设A（m，），则C（m，），B（ ，），
∴S阴影＝S矩形ODBF+S矩形ACEF﹣S△OCE﹣S△OBD
＝k+m（﹣）﹣﹣
＝k﹣2＝4，
解得k＝6．
故答案为：6．
23．（2022•南京一模）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴上，且AO＝AB，若△OAB的面积为5，则k的值为 　5　．

【分析】过点A作AC⊥x轴，设点A（x，y），可得出xy＝k，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴，设点A（x，y），

∵OA＝AB，
∴OC＝BC，
∴点B（2x，0），
∵顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴xy＝k，
∵△OAB的面积为5，
∴OB•AC＝5，
即×2x×y＝5，
∴xy＝5，
即k＝5．
故答案为：5．
24．（2022•建邺区二模）如图，P为反比例函数的图象上的点，过P分别向x轴和y轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，这个反比例函数解析式为　　．

【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：∵过P分别向x轴和y轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，
∴|k|＝2，
∴反比例函数y＝的图象在第二象限，k＜0，
∴k＝﹣2，
∴此反比例函数的解析式为y＝﹣．
一十二．反比例函数图象上点的坐标特征（共8小题）
25．（2022•雨花台区校级模拟）如图，已知矩形ABCD的顶点 A、B分别落在双曲线y＝（k≠0）上，顶点 C、D分别落在y轴、x轴上，双曲线y＝经过AD的中点E，若OC＝3，则k的值为（　　）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【分析】设A点坐标为（a，b），则k＝ab，用a、b的代数式表示B、C、D、E坐标，根据双曲线y＝（k≠0）经过AD的中点E，列方程求出b＝2，再由矩形ABCD对角线相等列方程求出a，即可得A坐标，从而求出k．
【解答】解：设A点坐标为（a，b），则k＝ab，y＝，如图，
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADM+∠CDO＝90°，∠BCN+∠DCO＝90°，
∵∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠ADM+∠BCN＝90°，
∵∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠BCN＝∠DAM，
在△ADM和△CBN中，
，
∴△ADM≌△CBN（AAS），
∴CN＝AM＝b，BN＝MD，
∵OC＝3，
∴ON＝3﹣b，即yB＝b﹣3，且B在y＝图象上，
∴B（，b﹣3），
∴BN＝DM＝|xB|＝，
∵点E是AD的中点，
∴MF＝，OF＝a+，OD＝a+，
∴E（a+，b），
∵双曲线y＝经过AD的中点E，
∴（a+）•b＝ab，解得b＝2，
∴A（a，2），B（﹣2a，﹣1，D（3a，0），
而C（0，﹣3），且矩形ABCD有AC＝BD，
∴（a﹣0）2+（2+3）2＝（﹣2a﹣3a）2+（﹣1﹣0）2，
解得a＝1或a＝﹣1（舍去），
∴A（1，2），代入y＝得：k＝2．
故选：B．

26．（2022•鼓楼区校级二模）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）都在y＝的图象上．若x1•x2＝﹣2，则y1•y2的值为 　﹣18　．
【分析】根据反比例函数上的点的横纵坐标的积等于6作答即可．
【解答】解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在y＝的图象上．
∴x1y1＝6，x2y2＝6，
∴x1y1•x2y2＝36，
∵x1•x2＝﹣2，
∴y1•y2＝﹣18，
故答案为：﹣18．
27．（2022•玄武区二模）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，4），当y＝6时，x＝　﹣2　．
【分析】把（﹣3，4）代入函数解析式y＝求出k的值，然后将y＝6代入反比例函数解析式中求出x值即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，4），
∴k＝﹣3×4＝﹣12，
∴y＝﹣，
当y＝6时，有﹣＝6，
∴x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
28．（2022•鼓楼区二模）如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，顶点A，D分别在函数y1＝﹣（x＜0），y2＝（x＞0）的图象上．若∠BCD＝150°，则A的坐标为 　（﹣3，2）　．

【分析】作DE⊥x轴于E，设DE＝n，则A（﹣，n），B（，n），即可得出CD＝AB＝，解直角三角形即可得到n＝，解得n＝2，从而求得A（﹣3，2）．
【解答】解：作DE⊥x轴于E，
设DE＝n，则A、D的纵坐标为n，
∵顶点A，D分别在函数y1＝﹣（x＜0），y2＝（x＞0）的图象上．
∴A（﹣，n），B（，n），
∴AB＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB＝，
∵∠BCD＝150°，
∴∠DCE＝30°，
∴DE＝CD，即n＝，
解得n＝2（负数舍去），
∴A（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．

29．（2022•南京一模）已知反比例函数y＝的图象经过点（1，3）、（m，n），则mn的值为 　3　．
【分析】先将（1，3）代入y＝，求得k，则mn＝k，进行选择即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴mn＝3，
故答案为：3．
30．（2022•玄武区一模）已知P1（m，y1），P2（m+1，y2），P3（m+2，y3）是下列函数图象上的点：
①y＝x+1； ②y＝（x＞0）； ③y＝x2﹣3x﹣2（x＞0）； ④y＝﹣x2﹣3x+2（x＞0）
其中，使不等式|y1﹣y2|＜|y3﹣y2|总成立的函数有 　④　．（填正确的序号）
【分析】将m，m+1，m+2代入函数表达式，根据题意求得y1、y2、y3，比较大小，逐项判断即可．
【解答】解：P1（m，y1），P2（m+1，y2），P3（m+2，y3）是下列函数图象上的点，
①y＝x+1，
则y1＝m+1．y2＝m+1+1＝m+2．y3＝m+2+1＝m+3，
∵|m+1﹣（m+2）|＝1，|m+3﹣（m+2）|＝1，
∴|y1﹣y2|＝|y3﹣y2|，
故①不合题意；
②y＝（x＞0），
则y1＝．y2＝．y3＝，
∵|﹣|＝，|﹣|＝，
∴|y1﹣y2|＞|y3﹣y2|，
故②不合题意；
③y＝x2﹣3x﹣2（x＞0），
则y1＝m2﹣3m﹣2．y2＝（m+1）2﹣3（m+1）﹣2＝m2﹣m﹣4．y3＝（m+2）2﹣3（m+2）﹣2＝m2+m﹣4，
∵|m2﹣3m﹣2﹣（m2﹣m﹣4）|＝|﹣2m+2|，|m2+m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）|＝|2m|，
∵m＞0，
当﹣2m+2＞2m时，即0＜m＜时，|y1﹣y2|＞|y3﹣y2|，
故③不合题意
④y＝﹣x2﹣3x+2（x＞0），
则y1＝﹣m2﹣3m+2．y2＝﹣（m+1）2﹣3（m+1）+2＝﹣m2﹣5m﹣2．y3＝﹣（m+2）2﹣3（m+2）+2＝﹣m2﹣7m﹣8，
∵|﹣m2﹣3m+2+m2+5m+2|＝|2m+4|，|﹣m2﹣7m﹣8+m2+5m+2|＝|2m+6|，
∵m＞0，
∴2m+6＞2m+4＞0，
∴|y1﹣y2|＜|y3﹣y2|，
故④正确，符合题意．
故答案为：④．
31．（2022•秦淮区一模）点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y＝﹣的图象上，若x1＜0＜x2，则y1　＞　y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断A在第二象限，B在第四象限，从而判定y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣4＜0，
∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴A在第二象限，B在第四象限，
∴y1＞y2；
故答案为：＞．
32．（2022•玄武区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，OA⊥OB，OB＝2OA，反比例函数y1＝（x＞0），y2＝（x＜0）的图象分别经过点A，B，则k的值为 　﹣4　．

【分析】过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，先证得△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质得出∴＝（）2＝，根据反比例函数系数k的几何意义得出＝，解得方程即可求得k＝﹣4．
【解答】解：如图，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F．
∵OA⊥OB，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
∵∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠OAE＝∠BOF，
∵∠AEO＝∠OFB＝90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴＝（）2＝，
∴＝
∴|k|＝4，
∴k＜0，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．

一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
33．（2022•南京二模）若函数y1＝﹣x+6与y2＝（k为常数，且k≠0）的图象没有交点，则k的值可以为 　10（答案不唯一，k＞9即可）　（写出一个满足条件的值）．
【分析】根据题意反比例函数y2＝（k为常数，且k≠0）的图象在第一，三象限，则k＞0，且反比例函数与一次函数联立后消去y得到的二元一次方程的根无实数根即可，从而根据根的判别式得到关于k的不等式，解不等式即可．
【解答】解：∵函数y1＝﹣x+6的图象经过第一、二、四象限，
∵函数y1＝﹣x+6与y2＝（k为常数，且k≠0）的图象没有交点，
∴反比例函数的图象在一、三象限，
∴k＞0，
令﹣x+6＝，整理得x2﹣6x+k＝0，则Δ＜0，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4k＜0，
∴k＞9，
只要是大于9的所有实数都可以．例如：10．
故答案为：10（答案不唯一，k＞9即可）．
34．（2022•鼓楼区一模）在同一直角坐标系中，若正比例函数y＝x的图象与反比例函数的图象有公共点，则对于反比例函数，当x＞0时，y随x增大而 　减小　．（填“增大”或“减小”）
【分析】由正比例函数的性质可知，y＝x经过第一象限和第三象限，若两函数由交点，则k＞0，所以反比例函数在每一象限内，y随x的增大而减小．
【解答】解：∵正比例函数y＝x经过第一象限和第三象限，
∴若两函数由交点，则k＞0，
∴反比例函数在每一象限内，y随x的增大而减小．
∴当x＞0时，y随x增大而减小；
故答案为：减小．
一十四．反比例函数的应用（共1小题）
35．（2022•玄武区二模）生活中充满着变化，有些变化缓慢，几乎不被人们所察觉；有些变化太快，让人们不禁发出感叹与惊呼，例如：气温“陡增”，汽车“急刹”，股价“暴涨”，物价“飞涨”等等．
【数学概念】
点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是函数图象上不同的两点，对于A，B两点之间函数值的平均变化率k（A，B）用以下方式定义：k（A，B）＝．
【数学理解】
（1）点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣2x+4图象上不同的两点，求证：k（A，B）是一个定值，并求出这个定值．
（2）点C（x3，y3），D（x4，y4）是函数y＝（x＞0）图象上不同的两点，且x4﹣x3＝2．当k（C，D）＝﹣4时，则点C的坐标为 　（，10）　．
（3）点E（x5，y5），F（x6，y6）是函数y＝﹣2x2+8x﹣3图象上不同的两点，且x5+x6＜2，求k（E，F）的取值范围．
【问题解决】
（4）实验表明，某款汽车急刹车时，汽车的停车距离y（单位：m）是汽车速度x（单位：km/h）的二次函数．已知汽车速度x与停车距离y部分对应值如表：
汽车速度x
78
80
82
84
86
88
90
停车距离y
35.1
36.8
38.54
40.32
42.14
44
45.9
当x＝100时，y的值为 　56　．
【分析】（1）根据题目中k（AA，B）的计算方法代入计算即可得出结果；
（2）根据题意得出x3•x4＝，与题中已知条件联立求解即可得；
（3）先根据题意得出k（E，FE），利用不等式的性质即可得出结果；
（4）利用题中结论将数据代入求解即可．
【解答】（1）证明：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣2x+4图象上不同的两点，
∴y1＝﹣2x1+4，y2＝﹣2x2+4，
∴k（A，B）＝＝＝＝＝﹣2，
∴k（A，B）是一个定值，这个定值为﹣2；
（2）解：∵点C（x3，y3），D（x4，y4）是函数y＝（x＞0）图象上不同的两点，
∴y3＝，y4＝，
∴k（C，D）＝＝＝﹣＝﹣4，
∴x3•x4＝，
又∵x4﹣x3＝2，
∴联立方程组，
解得，
∴y3＝＝＝10，
∴C（，10），
故答案为：（，10）；
（3）解：∵点E（x5，y5），F（x6，y6）是函数y＝﹣2x2+8x﹣3图象上不同的两点，
∴y5＝﹣2x+8x5﹣3，y6＝﹣2x+8x6﹣3，
∴k（E，F）＝＝＝8﹣2（x5+x6），
∵x5+x6＜2，
∴﹣2（x5+x6）＞﹣4，
∴﹣2（x5+x6）+8＞4，
∴k（E，F）＞4；
（4）解：∵y与x的关系是二次函数，
∴设y与x的函数解析式为y＝ax2+bx+c，
把x＝80，y＝36.8，x＝82，y＝38.54，x＝90，y＝45.9代入解析式得：
，
解得：，
∴y与x的函数解析式为y＝0.005x2+0.06x，
∴当x＝100时，y＝0.005×10000+0.06×100＝56．
故答案为：56．
一十五．二次函数的性质（共1小题）
36．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．
（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 　（1，2）　；
②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 　2　；
③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 　3　．
（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．
【分析】（1）①把m＝1代入，得y＝x2﹣2x+3，利用顶点坐标公式求解即可；
②y＝x2﹣2x+3，对称轴是直线x＝1，在0≤x≤4之间，故可求最小值；
③y＝x2﹣2x+3，在2≤x≤5时，y随x增大而增大，故可求最小值；
（2）根据最小值，即可求得m值，根据范围判断即可．
【解答】解：（1）当m＝1时，y＝x2﹣2x+3，
①y＝x2﹣2x+3
＝x2﹣2x+1+2，
＝（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）；
②y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
所以最小值为2，
故答案为：2；
③y＝x2﹣2x+3，
当2≤x≤5时，在对称轴x＝1的右侧，
y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，取最小值y＝22﹣2×2+3＝3，
故答案为：3；
（2）∵对称轴为x＝，
当m＜﹣1时，且在﹣1≤x≤3时有最小值，
∴x＝﹣1时，有最小值1，
∴1＝（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+3，
解得m＝；
当1﹣≤m≤3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值，
∴x＝m时，有最小值1，
∴1＝m2﹣2m×m+3，
∴m＝，
∵﹣1≤m≤3，
∴m＝；
当m＞3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值，
∴x＝3时，有最小值1，
∴1＝32﹣2m×3+3，
解得m＝＜3，舍去．
综上所述，m＝或．
一十六．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
37．（2022•南京一模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＞0 C．b＞0，c＜0 D．b＜0，c＜0
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断a，b，c的符号．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
故选：A．
一十七．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）
38．（2022•鼓楼区二模）已知点（﹣2，m）、（2，p）和（4，q）在二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象上．若pq＜0，则p，q，m
的大小关系是 　m＜q＜p　（用“＜”连接）．
【分析】根据题意，判断出抛物线的位置，画出图形，可得结论．
【解答】解：∵A（﹣2，m）、B（2，p）和C（4，q）在二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象上．
且pq＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，且对称性直线x＝a（1＜a＜2），如图所示，
观察图象可知：m＜q＜p．

故答案为：m＜q＜p．
39．（2022•建邺区一模）如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+6的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 　（﹣2，2）或（1，5）　．

【分析】根据对称性，表示A、B两点的坐标，利用平面内两点间的距离公式，代入求值即可．
【解答】解：如图，

过点A作AD⊥x轴，交x轴于点E，交直线y＝x于点D，连接BD，
∵A、B关于直线y＝x对称，
设A（a，b），
∴△ABD是等腰直角三角形，四边形OEDF是正方形，
∴B（b，a），
∵，
∴，
（4）2＝（b﹣a）2+（b﹣a）2，
32＝2（b﹣a）2，
（b﹣a）2＝16，
b﹣a＝4或b﹣a＝﹣4（舍去），
∴b＝a+4，
又∵A（a，b）在y＝﹣x2+6上，
∴b＝﹣a2+6，
即a+4＝﹣a2+6，
整理得，a2+a﹣2＝0，
解得，a1＝﹣2，a2＝1，
∴当a1＝﹣2时，b＝a+4＝﹣2+4＝2，
点A的坐标为（﹣2，2）；
当a2＝1时，b＝a+4＝1+4＝5，
点A的坐标为（1，5）．
故答案为：（﹣2，2）或（1，5）．
一十八．二次函数的最值（共2小题）
40．（2022•南京一模）若x+y＝5，则xy+1的最大值为 　　．
【分析】根据基本不等式可知，xy≤（）2，进而根据x+y的值求得xy+1的最大值．
【解答】解：∵x+y＝5，
∴xy≤（）2，
当且仅当x＝y＝时，等号成立，故xy最大值为，
∴xy+1的最大值为，
故答案为：
41．（2022•鼓楼区一模）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为 　﹣2　．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征以及平移的规律即可得到把二次函数y＝ax2﹣bx+2的图象作关于x轴的对称变换，再向左平移1个单位，向上平移4个单位为y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2，从而得出y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为﹣2．
【解答】解：把二次函数y＝ax2﹣bx+2的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣ax2+bx﹣2，再向左平移1个单位，向上平移4个单位为y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2，
∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，
∴y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为﹣2，
故答案为：﹣2．
一十九．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
42．（2022•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，1），与y轴的交点坐标是（0，5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，求n的取值范围．
【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，再将（0，5）代入即可求解；
（2）二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有两个交点可列出方程a（x﹣2）2+1＝x+n，再利用Δ＞0，即可求出解．
【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点是（2，1），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+1，
将点（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1，
得5＝a（0﹣2）2+1，
解得：a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝（x﹣2）2+1．
（2）二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，
∴得（x﹣2）2+1＝x+n，
化简得：x2﹣5x+5﹣n＝0，
∵有2个公共点，
∴Δ＞0，
∴25﹣4（5﹣n）＞0，
解得n＞．
∴n的取值范围为：n．
二十．抛物线与x轴的交点（共5小题）
43．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，以下结论正确的是（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
D．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
【分析】根据表格中的数据，可以得到该抛物线的对称轴和顶点坐标，再观察表格中的数据，即可得到该函数图象开口方向，从而可以判断A；判断当x＜3时，y随x的增大如何变化，从而可以判断B；当y＞0时x的取值范围，从而可以判断C；写出方程ax2+bx+c＝0的根，从而可以判断D．
【解答】解：由表格可得，
二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝1，
∴顶点坐标为（1，﹣1），该抛物线开口向上，故选项A错误，不符合题意；
当1＜x＜3时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项B错误，不符合题意；
当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，故选项C错误，不符合题意；
方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
44．（2022•秦淮区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m为常数），它的图象与x轴的公共点个数的情况是（　　）
A．有两个公共点 B．有一个公共点
C．没有公共点 D．无法确定
【分析】先计算方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0的根的判别式得到Δ＝12＞0，然后根据根的判别式的意义判断抛物线与x轴的公共点的个数即可．
【解答】解：方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣3）＝12＞0，
∴方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0有两个不相等的实数解，
∴抛物线与x轴有2个公共点．
故选：A．
45．（2022•鼓楼区校级二模）小淇利用绘图软件画出函数y＝﹣x（x﹣1）（x+1）（﹣2≤x≤2）的图象，下列关于该函数性质的四种说法：
①图象与x轴有两个交点；
②图象关于原点中心对称；
③最大值是3，最小值是﹣3；
④当x＞1时，y随x的增大而减小．
其中，所有正确说法的序号是 　②③④　．

【分析】根据函数的图象进行判断即可．
【解答】解：①图象与x轴有三个交点，故①错误；
②图象关于原点中心对称，故②正确；
③当x＝﹣2时，y＝3，当x＝2时，y＝﹣3，
∴函数的最大值是3，最小值是﹣3，故③正确；
④当x＞1时，y随x的增大而减小，故④正确．
故答案为：②③④．
46．（2022•南京一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，比较y1与y2的大小；
（3）当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，可得出x的两个解，且两个解不相等即可得出结论；
（2）先求出y1﹣y2＝3a（a﹣1），然后分三种情况讨论即可；．
（3）先求出抛物线与x轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在0＜x＜3范围内分a＞0和a＜0两种情况确定函数的最大值，从而得出结论．
【解答】（1）证明：令y＝0，即a（x﹣1）（x﹣1﹣a）＝0，
∵a≠0，
∴x﹣1＝0或x﹣1﹣a＝0，即x1＝1，x2＝1+a，
∵1≠1+a，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）∵点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，
∴y1＝a2+a，y2＝﹣2a2+4a．
∴y1﹣y2＝a2+a+2a2﹣4a＝3a2﹣3a．
∴当a＜0或a＞1时，y1＞y2，
当a＝1时，y1＝y2，
当0＜a＜1时，y1＜y2；
（3）∵二次函数v＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a），
整理可得：y＝ax2﹣a（a+2）x+a（a+1），
由（1）可知：当y＝0时，解得：x＝1，x＝1+a，
∴二次函数的图象交轴于（﹣1，0）和（1+a，0）两点，
对称轴x＝﹣＝，
当x＝时，
y＝a（﹣1）（﹣1﹣a）＝a××（﹣）＝﹣
∴二次函数图象的顶点坐标为（，﹣），
由（2）可知：当x＝0时，y1＝a2+a，
当t＝3时，y2＝﹣2a2+4a，
当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
∵0＜x＜3，
∴，
解得：﹣2≤a≤1，
∴0＜a≤I，
当a＜0时，二次函数图象开口向下，
∵对称轴x＝，
当0＜＜3，即_2＜a＜0时，
二次函数图象在顶点处取得最大值，
∴﹣＜2
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a＜0，
当≤0，即a≤﹣2，
由题意可知，a2+a≤2，解得：﹣2≤a≤1，
即a＝﹣2，
综上所述，当0＜x＜3时，y＜2，a的取值范围是：﹣2≤a≤1，且a≠0．
47．（2022•南京一模）已知二次函数y＝ax2﹣2mx+m（a、m是常数，a≠0）过点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）．
（1）若y1＝m．
①该抛物线的对称轴为直线 　x＝﹣　；
②求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）若y2＝1，y1＜y3＜y2，求m的取值范围．
【分析】（1）把A点坐标代入抛物线的解析式得a与m的数量关系，再根据对称轴的求法求得结果；
②计算判别式，再说明判别式为正数便可；
（2）把B点坐标代入抛物线的解析式得a、m的数量关系，再把A、C点坐标代入抛物线的解析式用m表示其纵坐标，进而由已知不等式组列出m的不等式组便可求得结果．
【解答】解：（1）∵y1＝m，
∴A（﹣1，m），
把A（﹣1，m）代入y＝ax2﹣2mx+m得a＝﹣2m，
①对称轴为：x＝﹣，
故答案为：x＝﹣；
②∵a＝﹣2m，a≠0，
∴m≠0，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4am＝4m2+8m2＝12m2＞0，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）∵y2＝1，
∴B（1，1），
把B（1，1）代入y＝ax2﹣2mx+m，得a＝m+1，
把A（﹣1，y1）代入y＝ax2﹣2mx+m，得y1＝a+2m+m＝m+1+2m+m＝4m+1，
把C（2，y3））代入y＝ax2﹣2mx+m，得y3＝4a﹣4m+m＝m+4，
∵y1＜y3＜y2，
∴，
解得m＜﹣3．
二十一．二次函数与不等式（组）（共3小题）
48．（2022•秦淮区校级模拟）函数y＝﹣x3+x的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 　x＜﹣1或0＜x＜1　．

【分析】先解出方程﹣x3+x＝0，根据函数图象解答即可．
【解答】解：当y＝0时，﹣x3+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，x3＝﹣1，
由图象可知：当x＜﹣1或0＜x＜1时，y＞0，
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜1．
49．（2022•鼓楼区二模）（1）解方程：x2+x﹣1＝0．
（2）直接写出二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的坐标；
（3）直接写出不等式x2+x﹣1＞0的解集．
【分析】（1）通过配方法解一元二次方程．
（2）由一元二次方程的解可得抛物线与x轴的交点．
（3）由抛物线开口方向及抛物线与x轴交点求解．
【解答】解：（1）x2+x﹣1＝0
x2+x＝1，
x2+x+＝1+，
（x+）2＝，
x1＝﹣+，x2＝﹣．
（2）令x2+x﹣1＝0，
解得x1＝﹣+，x2＝﹣．
∴抛物线y＝x2+x﹣1与x轴交点坐标为（﹣+，0），（﹣，0）．
（3）∵抛物线开口向上，
∴x＜﹣﹣或x＞﹣+．
50．（2022•建邺区一模）已知二次函数y＝x2﹣2（p+1）x+q的图象经过（1，0）、（0，﹣5）两点．
（1）求p、q的值；
（2）点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，若x1+x2＝2，求证y1+y2＞0．
【分析】（1）将（1，0）、（0，﹣5）代入函数解析式求解．
（2）由抛物线解析式及x1+x2＝2，可得y1+y2＝2（x1﹣1）2＞0．
【解答】解：（1）将（1，0）、（0，﹣5）代入y＝x2﹣2（p+1）x+q得，
解得．
（2）由（1）得y＝x2+4x﹣5，
∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，
∴y1＝x+4x1﹣5，y2＝x+4x2﹣5，
∴y1+y2＝x+x+4（x1+x2）﹣10，
∵x1+x2＝2，
∴x2＝2﹣x1，
∴y1+y2＝x+（2﹣x1）2﹣2＝2x﹣4x1+2＝2（x1﹣1）2，
∵点A，B是图象上两点，
∴x1≠x2≠1，
∴y1+y2＝2（x1﹣1）2＞0．
二十二．二次函数的应用（共5小题）
51．（2022•玄武区二模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70m，坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度（即tanα）为3：4．以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．
（1）求这段抛物线表示的二次函数表达式；
（2）在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；
（3）落点P与坡顶C之间的距离为 　50　m．

【分析】（1）设二次函数表达式为y＝ax2+bx+c，把（0，70）（4，75）（8，78）代入可得关系式；
（2）作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，先求出BC的关系式，再分别表示出M、N的纵坐标，计算纵坐标的差可得答案；
（3）计算抛物线和线段BC的交点P的坐标，再利用勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）∵OA为70m，
∴A（0，70），
设二次函数表达式为y＝ax2+bx+c，
把（0，70）（4，75）（8，78）代入得，
解得，
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+70；
（2）如图，作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，

∵坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度（即tanα）为3：4，
∴OB＝80m，即B（80，0），
设线段BC的关系式为y＝kx+b，则，
解得：，
所以线段BC的关系式为y＝﹣x+60，
设M（a，﹣a2+a+70），则N（a，﹣a+60），
则MN＝﹣a2+a+70+﹣60＝﹣a2+a+10＝﹣（a﹣18）2+30.25，
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离是30.25米；
（3）如图，

由题意得﹣x2+x+70＝﹣x+60，
解得x1＝40，x2＝﹣4（舍去），即P（40，30），
∴PD＝40米，OD＝30米，
∴CD＝60﹣30＝30（米），
∴PC＝＝50（米），
答：落点P与坡顶C之间的距离为50米，
故答案为：50．
52．（2022•建邺区二模）某服装店销售一款卫衣，该款卫衣每件进价为60元，规定每件售价不低于进价．经市场调查发现，该款卫衣每月的销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系y＝﹣20x+2800．
（1）若服装店每月既想从销售该款卫衣中获利24000元，又想尽量给顾客实惠，售价应定为多少元？
（2）为维护市场秩序，物价部门规定该款卫衣的每件利润不允许超过每件进价的50%．设该款卫衣每月的总利润为W（元），那么售价定为多少元时服装店可获得最大利润？最大利润是多少元？
【分析】（1）由总利润＝每件利润×数量列出方程，解方程取符合题意的解即可；
（2）先算出x的范围，再根据总利润＝每件利润×数量列出函数关系式，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：（x﹣60）（﹣20x+2800）＝24000，
解得x＝120或x＝80，
∵尽量给顾客实惠，
∴x＝80，
答：售价应定为80元；
（2）∵每件利润不允许超过每件进价的50%，
∴x﹣60≤60×50%，
解得x≤90，
∴60≤x≤90，
根据题意得W＝（x﹣60）（﹣20x+2800）＝﹣20x2+4000x+168000＝﹣20（x﹣100）2+32000，
∵﹣20＜0，抛物线对称轴为直线x＝100，
而60≤x≤90，
∴x＝90时，W取最大值，最大值为﹣20×（90﹣100）2+32000＝30000（元），
答：售价定为90元时，服装店可获得最大利润，最大利润是30000元．
53．（2022•南京二模）某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：
方式一：若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩．
方式二：每亩土地的年租金是600元．
（1）若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是 　500元　；
（2）当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？并求出最大值；
（3）农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元（a＞0）给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构．当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围．
（注：年收入＝年总租金﹣捐款数）
【分析】（1）根据年租金＝400+5（100﹣租出去的亩数）即可求解；
（2）设出租的土地为x亩，根据题意分别求出方式一和方式二的租金，然后做差，用二次函数的性质求解即可；
（3）先求出方式一和方式二的年收入，再做差，然后根据函数的性质求出最小值，再根据当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入求出a的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得：400+5（100﹣80）＝400+100＝500（元），
故答案为：500元；
（2）设出租的土地为x亩，
方式一年总租金为y1元，根据题意，得y1＝[400+5（100﹣x）]•x＝﹣5x2+900x，
方式二年总租金为y2元，根据题意，得y2＝600x，
∴y1﹣y2＝﹣5x2+900x﹣600x＝﹣5（x﹣30）2+4500，
∴当x＝30时，y1﹣y2有最大值4500，
∴当土地出租30亩时，方式一与方式二的年总租金差最大，最大值为4500元；
（3）设出租x亩土地，方式一的年收入为：﹣5x2+900x﹣ax，
方式二的年收入为：600x﹣1800，
设方式一与方式二的年总收入差为w元，由题意可得：
w＝﹣5x2十900x﹣ax﹣600x+1800
＝﹣5x2+（300﹣a）x+1800
∴对称轴为直线x＝﹣＝30﹣a，
∵a＞0，
∴对称轴直线x＝30﹣a＜30，
∵0＜x≤60，
∴当x＝60时，w取得最小值
w60＝﹣5×602+（300﹣a）×60+1800＝﹣60a+1800，
租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，
则w60＝﹣60a+1800≥0，
即60a≤1800，
解得：a≤30，
∵a＞0，
∴a的取值范围是0＜a≤30．
54．（2022•秦淮区一模）在某次科技创新活动中，机器人A和B沿一直道同时同地出发进行50m赛跑．设A出发第xs时，A，B离终点的距离分别为y1m，y2m，其中y1是x的一次函数，y2＝﹣0.01x2﹣0.02x+50，它们的图象如图所示．

（1）求y1与x之间的函数表达式；
（2）在比赛过程中，求两机器人离终点距离相等时x的值．
【分析】（1）利用待定系数法可得关系式；
（2）根据题意，得﹣0.52x+50＝﹣0.01x2﹣0.02x+50，解方程可得答案．
【解答】解：（1）设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx+b，
将（0，50），（80，8.4）代入y1＝kx+b，
可得，
解得
所以y1＝﹣0.52x+50；
（2）根据题意，得﹣0.52x+50＝﹣0.01x2﹣0.02x+50，
解得x1＝50，x2＝0（舍去）．
在比赛过程中，两机器人离终点距离相等时x的值是50．
55．（2022•建邺区二模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格x元（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量p（千克）
600
450
300
150
0
（1）请直接写出p与x之间的函数关系式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．
【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．
【解答】解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p＝kx+b，
则，
解得：k＝﹣30，b＝1500，
∴p＝﹣30x+1500，
检验：当x＝35，p＝450；当x＝45，p＝150；当x＝50，p＝0，符合一次函数解析式，
∴所求的函数关系为p＝﹣30x+1500；
（2）设日销售利润w＝p（x﹣30）＝（﹣30x+1500）（x﹣30），
即w＝﹣30x2+2400x﹣45000，
∴当x＝﹣＝40时，w有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；
（3）日获利w＝p（x﹣30﹣a）＝（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），
即w＝﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），
对称轴为x＝﹣＝40+a，
①若a＞10，则当x＝45时，w有最大值，
即w＝2250﹣150a＜2430（不合题意）；
②若a＜10，则当x＝40+a时，w有最大值，
将x＝40+a代入，可得w＝30（a2﹣10a+100），
当w＝2430时，2430＝30（a2﹣10a+100），
解得a1＝2，a2＝38（舍去），
综上所述，a的值为2．
二十三．二次函数综合题（共5小题）
56．（2022•雨花台区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．
（1）该抛物线的对称轴为 　直线x＝2　；
（2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3，求a，m的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜x＜3n+5，若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将x＝0代入解析式可得抛物线经过（0，3），由抛物线的对称性求解．
（2）由m＞0，2﹣m≤x≤2+2m可得x＝2时，y取最小值，从而可得a的值，由x＝2+2m时y＝3可得2+2m＝4，从而可得m的值．
（3）抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，分类讨论n≤2或n﹣2≥2求解．
【解答】解：（1）将x＝0代入y＝ax2+bx+3得y＝3，
∴抛物线经过（0，3），
∵点（4，3）在抛物线上，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
故答案为：直线x＝2．
（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+3，
∵m＞0，2﹣m≤x≤2+2m，
∴x＝2时，y＝﹣1为函数最小值，即抛物线顶点坐标为（2，﹣1），
∴﹣1＝4a﹣8a+3，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣4x+3，
∵2+2m﹣2＞2﹣（2﹣m），
∴x＝2+2m时，y＝3为最大值，
∵m＞0，
∴2+2m＝4，
解得m＝1，
∴a＝1，m＝1．
（3）∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝2，
∴当n≤2时，x＝n﹣2时y＝3n+5，x＝n时，y＝3n﹣3，
∴，
解得n＝1，
当n﹣2≥2时，x＝n﹣2时y＝3n﹣3，x＝n时y＝3n+5，
∴，
方程无解，
综上所述，n＝1．
57．（2022•建邺区二模）我们在研究一个新函数时，常常会借助图象研究新函数的性质．在经历列表、描点、连线的步骤后，就可以得到函数图象．利用此方法对函数y＝﹣（|x|﹣2）2进行探究．
绘制图象：
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象．

观察探究：
（2）结合图象，写出该函数的一条性质：　函数图象关于y轴对称（答案不唯一）　．
（3）方程﹣（|x|﹣2）2＝﹣1的解是 　x＝﹣3或x＝﹣1或x＝1或x＝3　．
（4）若关于x的方程﹣（|x|﹣2）2＝x+b有两个不相等的实数解，则b的取值范围是 　b＜﹣4或﹣　．
延伸思考：
（5）将该函数的图象经过怎样的变换可以得到函数y2＝﹣（|x﹣1|﹣2）2+3的图象？写出变换过程，并直接写出当2＜y2≤3时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）分x＞0或x＜0，分别画出二次函数的图象即可；
（2）根据图象可知函数的性质，写出一条即可；
（3）当y＝﹣1与函数图象交点的横坐标即为方程的解；
（4）分两种情形：当﹣（x﹣2）2＝x+b有两个相等的实数根时或当﹣（x+2）2＝x+b有两个相等的实数根时，分别利用Δ＝0，可得b的值；
（5）将函数y＝﹣（|x|﹣2）2向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得函数y2＝﹣（|x﹣1|﹣2）2+3的图象，利用解不等式可得答案．
【解答】解：（1）如图所示；

（2）由图象知：函数图象关于y轴对称（答案不唯一），
故答案为：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）方程﹣（|x|﹣2）2＝﹣1的解为x＝﹣3或x＝﹣1或x＝1或x＝3，
故答案为：x＝﹣3或x＝﹣1或x＝1或x＝3；
（4）当﹣（x﹣2）2＝x+b有两个相等的实数根时，则x2﹣3x+4+b＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4（4+b）＝0，
∴b＝﹣，
当﹣（x+2）2＝x+b有两个相等的实数根时，则x2+5x+4+b＝0，
∴Δ＝52﹣4（4+b）＝0，
∴b＝，
∴方程﹣（|x|﹣2）2＝x+b有两个不相等的实数解时，b＜﹣4或﹣，
故答案为：b＜﹣4或﹣；
（4）将函数y＝﹣（|x|﹣2）2向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得函数y2＝﹣（|x﹣1|﹣2）2+3的图象，
当2＜﹣（|x﹣1|﹣2）2+3≤3，
∴﹣1＜﹣（|x﹣1|﹣2）2≤0，
∴﹣1＜|x﹣1|﹣2＜1，
∴1＜|x﹣1|＜3，
∴﹣3＜x﹣1＜﹣1或1＜x﹣1＜3，
∴﹣2＜x＜0或2＜x＜4．
58．（2022•秦淮区一模）阅读下面的问题及其解决途径．
问题：将函数y＝2x﹣3的图象向右平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？

结合阅读内容，完成下面的问题．
（1）填写下面的空格．
问题：将函数y＝的图象向左平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？

（2）将函数y＝﹣2x2+3x+1的图象沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式为 　y＝﹣2x2﹣3x+1　．
（3）将函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图象对应的函数表达式．
【分析】（1）根据材料可得将P（x，y）向右平移1个单位后，P′坐标为（x+1，y），再将P′坐标代入原函数解析式．
（2）设函数y＝﹣2x2+3x+1的图象的任意点P坐标为（x，y），求出点P沿y轴翻折后坐标，进而求解．
（3）设变换后新的函数图像上任意点P的坐标为（x，y）然后将点P绕原点旋转180°，再沿y轴翻折，再向右平移1个单位长度，得出点P变换后的坐标代入原解析式求解．
【解答】解：（1）将P（x，y）向右平移1个单位后，P′坐标为（x+1，y），
平移后的图象对应的函数表达式为y＝，
故答案为：x+1，y；．
（2）设函数y＝﹣2x2+3x+1的图象的任意点P坐标为（x，y），将P关于y轴翻折后得到P′（﹣x，y），
∴平移后的图象对应的函数表达式为y＝﹣2（﹣x）2+3（﹣x）+1＝﹣2x2﹣3x+1．
故答案为：y＝﹣2x2﹣3x+1．
（3）方法一
设变换后新的函数图像上任意点P的坐标为（x，y）．
将点P（x，y）绕原点旋转180°，得点P'（﹣x，﹣y）．
将点P'（﹣x，﹣y）沿y轴翻折，得点P''（x，﹣y）．
将点P''（x，﹣y）向右平移1个单位长度，得点P'''（x+1，﹣y）．
因为点P''' 在函数y＝ax2+bx+c的图像上，
所以﹣y＝a（x+1）2+b（x+1）+c．
即所得到的图像对应的函数表达式是y＝﹣ax2﹣（2a+b）x﹣a﹣b﹣c．
方法二
原函数可化为y＝a（x+）2+．
将函数y＝a（x+）2+的图像向左平移1个单位长度，得函数y＝a（x++1）2+的图像．
将函数y＝a（x++1）2+的图像沿y轴翻折，得函数y＝a（x﹣﹣1）2+的图像．
将函数y＝a（x﹣﹣1）2+的图像绕原点旋转180°，得函数y＝﹣a（x++1）2﹣的图像．
∴所得到的图像对应的函数表达式是y＝﹣a（x++1）2﹣．
59．（2022•秦淮区校级模拟）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣2，4）、（3，2），连接AB．
（1）若一次函数y＝kx+5的图象与线段AB有公共点，则k的取值范围是 　k≤﹣1或k≥　；
（2）若反比例函数y＝m/x的图象与线段AB有公共点，则m的取值范围是 　﹣8≤m＜0或0＜m≤6　；
（3）已知点P是x轴上的一点且横坐标为n（n＞0），若一条抛物线经过（0，5）、（2，4）和点P，请直接写出抛物线与线段AB的公共点的个数及对应的n的取值范围．
【分析】（1）分别求出直线y＝kx﹣2过点A、点B时k的值，再结合函数图象即可求出k的取值范围；
（2）根据反比例函数的性质，结合图象求端点A、B处的m值即可；
（3）分别作出抛物线经过点A和点B时的图象，根据函数图象与线段AB的关系判断n的取值范围．
【解答】解：（1）当直线y＝kx+5过点A（﹣2，4）时，
得：﹣2k+5＝4，
解得：k＝．
当直线y＝kx+5过点B（3，2）时，
得：3k+5＝2，
解得：k＝﹣1．
如图1，若一次函数y＝kx+5与线段AB有公共点，则k的取值范围是k≤﹣1或k≥，
故答案为：k≤﹣1或k≥．
（2）当反比例函数y＝（m＜0）的图象过点A（﹣2，4）时，
得：＝4，
解得：m＝﹣8，
当反比例函数y＝（m＞0）的图象过点B（3，2）时，
得：＝2，
解得：m＝6，
如图2，若反比例函数y＝（m≠0）的图象与线段AB有公共点，则m的取值范围是﹣8≤m＜0或0＜m≤6，

故答案为：﹣8≤m＜0或0＜m≤6．
（3）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（0，5）、（2，4）和点P（n，0），
∴，
解得：，
∴y＝x2﹣x+5，
当0＜n＜2时，a＞0，b＜0，如图3，
若x＝3，则y＝9a+3b+5＝9a﹣（4a+1）+5＝3a+＞2，
∴此时，抛物线与线段AB有两个公共点；
当2＜n≤2时，a＜0，b＞0，如图4，
若x＝3，y＝2，
则9a+3b+5＝2，
由4a+2b+5＝4，得b＝（4a+1），
∴9a﹣（4a+1）+5＝2，
解得：a＝，
∴b＝，
∴此时，抛物线y＝﹣x2+x+5与线段AB有两个公共点，
令﹣n2+n+5＝0，
解得：n＝，
∵2＜n＜2，
∴n＝；
若x＝﹣2，y＝4，则4a﹣2b+5＝4，
将b＝（4a+1）代入得：4a﹣2×[（4a+1）]+5＝4，
解得：a＝﹣，b＝0，
∴此时抛物线y＝x2+5与线段AB有两个公共点，
令n2+5＝0，
解得：n＝±2，
∵2＜n＜2，
∴n＝2；
∴当2＜n≤时，抛物线与线段AB有两个公共点，当＜n≤2时，抛物线与线段AB有一个公共点；
当n＞2且n≠10时，a＜0，b＜0，如图5，抛物线与线段AB没有公共点；
综上所述，当0＜n＜2或2＜n≤时，抛物线与线段AB有两个公共点，当＜n≤2时，抛物线与线段AB有一个公共点，
当n＞2且n≠10时，抛物线与线段AB没有公共点．





60．（2022•玄武区一模）已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）二次函数的图象与x轴交于点M，N，与y轴交于点P，若△MNP是等腰直角三角形，则m的值为 　﹣1　；
（3）点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，当y1•y2•y3＜0时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，可得出x的两个解，且两个解不相等即可得出结论；
（2）利用△MNP是等腰直角三角形，可得出m2+2m＝﹣1，求出m的值即可；
（3）分别求出y1，y2，y3，利用y1•y2•y3＜0，得出关于m的不等式，求出m的值即可．
【解答】（1）证明：令y＝0，则（x﹣m）（ x﹣m﹣2）＝0．
∴x1＝m，x2＝m+2．
∵m≠m+2，
∴该方程有两个不相等的实数根．
∴不论m为何值，该函数图像与x轴有两个不同的公共点．
（2）由（1）知M（m，0），N（m+2，0），
令x＝0，得y＝m2+2m，
∴P（0，m2+2m）．
由题意得，△MNP是等腰直角三角形，
∴m2+2m＝﹣1，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1；
（3）法一：根据题意可知，需要分三种情况：
①当有1个点在x轴下方时，有m＜1＜m+2＜2＜3或1＜2＜m＜3＜m+2，
解得﹣1＜m＜0或2＜m＜3；
②当有3个点在x轴下方时，
∵m+2﹣m＝2＜3，
∴此种情况不存在；
综上可知，m的取值范围为：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．
法二：由题意可知，y1＝（1﹣m）（1﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m+1），
y2＝（2﹣m）（2﹣m﹣2）＝m（m﹣2），
y3＝（3﹣m）（3﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m﹣3），
∵y1•y2•y3＜0，
∴（m﹣1）（m+1）•m•（m﹣2）•（m﹣1）（m﹣3）＜0，即m（m+1）（m﹣2）（m﹣3）（m﹣1）2＜0，
∵（m﹣1）2≥0，
∴m，（m+1），（m﹣2），（m﹣3）的负数有奇数个，且m+1＞m＞m﹣2＞m﹣3，
当负数有1个时，m﹣3＜0且m﹣2＞0，
∴2＜m＜3；
当负数有3个时，m+1＞0且m＜0，
∴﹣1＜m＜0，
∴m的取值范围为：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．
62. （2022•建邺区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出方程ax2+bx+c＜0时x的取值范围；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根；
（2）找出函数值小于0时x的取值范围即可；
（3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围．
【解答】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和3；
（2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0；
（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x＝2，开口向下，
即当x＞2时，y随x的增大而减小；
（4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，
若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，
则k＜2．
62．（2022•雨花台区校级模拟）阅读并解答下列问题；在学习完《中心对称图形》一章后，老师给出了以下一个思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC，CD，DB，求AC+CD+DB最小值．

【思考交流】小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC．BD．此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．
小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点A1关于x轴的对称点A2，连接A2B可以求解．
小亮：对称和平移还可以有不同的组合…．
【尝试解决】在图2中，AC+CD+DB的最小值是　7　．
【灵活应用】如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1），D（a+2，0），连接AC，CD，DB，则AC+CD+DB的最小值是　　，此时a＝　2　，并请在图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
【拓展提升】如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y＝x图象上一点，CD与y轴垂直且CD＝2（点D在点C右侧），连接AC，CD，AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是　　，此时点C的坐标是　（）　．
【分析】【尝试解决】根据作图痕迹分析出，小明的做法是先将A点向右平移2个单位长度，再利用对称的性质，两点之间线段最短得到D点的位置，进而得到C点的位置．
【灵活应用】借助小明的思路，CD的长度一定，利用平移和对称，转化AC+BD求其最小值．
【拓展提升】按照前面的思路CD的长度一定，利用平移，找到两个固定点与在一条直线上运动的点，利用对称求最小值．
【解答】解：【尝试解决】由题意得A1（2，3），B1（5，﹣1），
则A1B1＝＝5，
故A1B1+CD＝5+2＝7，
故答案为：7．
【灵活应用】先将A点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1，与x轴的交点就是D点，以D点为圆心，AA1的长为半径画圆，与直线y＝1的交点就是C点，连接AC，CD，DB，此时AC+CD+DB最小，最小值即为A1B1+CD，
作图如下：

由作图得，AA1＝DC，且AA1∥DC，
∴四边形AA1DC是平行四边形，且A1（2，2），B1（5，﹣1），C（2，1），D（4，0），
∴最小值为A1B1+CD＝+＝3+，此时a为C点的横坐标2，
故答案为：；2；
【拓展提升】
先将点A向右平移2个单位长度得到点A1，得到平行四边形AA1DC，AC＝A1D，而AC+CD+DA中，CD为定值2，即求AC+DA＝A1D+AD的最小值，由题意得：D点在直线y＝x﹣2上，作点A关于直线y＝x﹣2的对称点A′，连接AA'交直线y＝x﹣2于B，连接A1A'，交直线y＝x﹣2的交点为D点，D点往左平移2个单位为C点．如图：

∵AA'与直线y＝x﹣2垂直，
∴设直线AA'解析式为y＝﹣x+m，将A（0，3）代入得：3＝m，
∴直线AA'解析式为y＝﹣x+3，
解得，
∴B（2.5，0.5），
∵B（2.5，0.5）是AA'中点，设A′（x，y），
∴，解得，
∴A′（5，﹣2）
设A1A'所在直线的解析式为y＝kx+b，将A1（2，3）、A'（5，﹣2）代入得：
得，解得，
∴，
∵D点是直线与直线y＝x﹣2的交点，
解得，
∴D（，），
∵C点是将D点向左平移2个单位长度，
∴C（，），
∴此时AC+CD+AD＝＝，
故答案为；（）．
63．（2022•鼓楼区校级二模）设二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．
（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．
（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式．
（2）当x＝1时，y＝0，所以抛物线过点AB
（3）把x＝2代入用ab表示m，由m的范围结合a+b＞0可解．
【解答】解：（1）设y＝0
∴0＝ax2+bx﹣（a+b）
∵△＝b2﹣4•a[﹣（a+b）]＝b2+4ab+4a2＝（2a+b）2≥0
∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个
（2）当x＝1时，y＝a+b﹣（a+b）＝0
∴抛物线不经过点C
把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得

解得
∴抛物线解析式为y＝3x2﹣2x﹣1
（3）当x＝2时
m＝4a+2b﹣（a+b）＝3a+b＞0①
∵a+b＜0
∴﹣a﹣b＞0②
①②相加得：
2a＞0
∴a＞0