2023高考数学复习专项训练《点与圆的位置关系》

这是一份2023高考数学复习专项训练《点与圆的位置关系》，共12页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）下列点中，在以A（1，-1）为圆心，4为半径的圆的内是（ ）
A. （5，-7）B. （2，-1）
C. （8，-1）D. （2，6）
2.（5分）已知点P（a，b）在圆x2+y2=r2的内部，则直线ax+by=r2与圆的位置关系（ ）
A. 相交B. 相离C. 相切D. 不能确定
3.（5分）已知圆A：x2+y2+4x-4y+7=0，B为圆A上一动点，过点B作圆A的切线交线段OB(O为坐标原点)的垂直平分线于点P，则点P到原点的距离的最小值是()
A. 2B. 72C. 728D. 528
4.（5分）下列说法中，错误的一个是( )
A. 将23(10)化成二进位制数是10111(2)
B. 在空间坐标系点M(1,2,3)关于x轴的对称点为(1,-2,-3)
C. 数据：2，4，6，8的方差是数据：1，2，3，4的方差的2倍
D. 若点A(-1,0)在圆x2+y2-mx+1=0的外部，则m>-2
5.（5分）无论实数t取何值，直线tx+y+t-1=0与圆(x-2)2+(y-2)2=m2恒有公共点，则实数m的取值范围是 ( )
A. m>10B. m⩾10
C. m<-10或m>10D. m⩽-10或m⩾10
6.（5分）过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=5相切，且与直线y=ax-1垂直，则实数a的值为( )
A. -2 B. -12C. 12D. 2
7.（5分）以下各点在圆(x-4)2+y2=4内的是( )
A. (0,1)B. (1,0)C. (3,1)D. (1,3)
8.（5分）已知过点(-2,3)可以作圆(x-a)2+(y-2)2=9的两条切线，则a的范围是( )
A. (-∞,-3)∪(3,+∞)
B. (-∞,-2-22)∪(-2+22,+∞)
C. (-3,3)
D. (-2-22,-2+22)
9.（5分）已知O为坐标原点，直线y=2与x2+y2+Dx-4y=0交于两点M，N，则∠MON=( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
10.（5分）已知点P(1,2)在圆C：x2+y2+kx+4y+k2+1=0的外部，则k的取值可能是( )
A. -2B. -1C. 2D. 3
11.（5分）若坐标原点在圆x2+y2-2mx+2my+2m2-4=0的内部，则实数m的取值范围是( )
A. -1,1B. -22,22C. (-3,3)D. -2,2
12.（5分）已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是( )
A. 点B. 直线C. 线段D. 圆
13.（5分）如图，在边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量AP→=mAB→+nAD→(m,n为实数)，则m+n的取值范围是( )
A. [1-24,2+24]B. [34,2+24]
C. [34,94]D. [1-24,94]
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知圆C的圆心在直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与圆(x-2)2+(y-3)2=8相外切，若过点P(-1,1)的直线l与圆C交于A、B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为 ______．
15.（5分）在平面直角坐标系xy中，已知点A(1,1),B,C为圆O:x2+y2=4上的两动点，且BC=23,若圆O上存在点P,使得AB→+AC→=mOP→,m>0,则正数m的取值范围为_______.
16.（5分）已知点A（8，-6）与圆C：x2+y2=25，P是圆C上任意一点，则AP的最小值是____．
17.（5分）已知圆C:(x-2)2+y2=1，点P在直线l:x+y+1=0上，若过点P存在直线m与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，则点P横坐标x0的取值范围是__________.
18.（5分）已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0)，B(m,0)(m>0)，若RtΔPAB的直角顶点P在圆C上，则实数m的最大值等于 ______ ．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知圆C：x2+(y-2)2=5，直线l：mx-y+1=0.
(1)求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
(2)若圆C与直线l相交于点A和点B，求弦AB中点M的轨迹方程．
20.（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1+2csαy=2sinα(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，点M的极坐标为42,π4，求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
21.（12分）如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1.圆O2的切线PM、PN(M.N分别为切点)，使得PM=2PN.试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
22.（12分）已知圆C：x2+(y-a)2=4，点A(1,0)
(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；
(2)设AM、AN为圆C的两条切线，M、N为切点，当|MN|=455时，求MN所在直线的方程．
23.（12分）已知圆的极坐标方程为ρ2+4ρcs(θ+π3)-5=0．
(1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x,y)在该圆上，求x+3y的最大值和最小值．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：以A（1，-1）为圆心，4为半径的圆的方程为（x-1）2+（y+1）2=16，
将选项分别代入可得B满足题意．
故选：B．
2.【答案】B;
【解析】解：∵点P（a，b）在圆x2+y2=r2的内部，
∴0＜a2+b2＜r2，
∴圆心（0，0）到直线ax+by=r2的距离：d=r2a2+b2＞r，
∴直线ax+by=r2与该圆的位置关系是相离．
故选：B．
3.【答案】B;
【解析】解：由题意，圆A：x2+y2+4x-4y+7=0，化为标准方程为：(x+2)2+(y-2)2=1
∴圆A是以(-2,2)为圆心，1为半径的圆
∵B为圆A上一动点，过点B作圆A的切线交线段OB(O为坐标原点)的垂直平分线于点P
∴OP⩾12OB
当且仅当OB为圆的切线时，取等号
此时，OB=OA2-1=7，OP=72
故选：B.
把圆A：x2+y2+4x-4y+7=0，化为标准方程为：(x+2)2+(y-2)2=1，根据B为圆A上一动点，过点B作圆A的切线交线段OB(O为坐标原点)的垂直平分线于点P，可知OP⩾12OB，当且仅当OB为圆的切线时，取等号，从而可得结论．
本题以圆的切线为载体，考查圆的标准方程，考查距离最小，解答该题的关键是利用OP⩾12OB，当且仅当OB为圆的切线时，取等号．
4.【答案】C;
【解析】解：10111(2)=1+2+4+16=23(10)，故A正确；
在空间坐标系点M(1,2,3)关于x轴的对称点为(1,-2,-3)，故B正确；
数据：2，4，6，8的方差是数据：1，2，3，4的方差的4倍，故C错误；
若点A(-1,0)在圆x2+y2-mx+1=0的外部，则1+m+1>0，即m>-2，故D正确；
故选：C
根据进位制之间的转化方法，可判断A；写出点的对称坐标，可判断B；根据数据扩大a倍，方差扩大a2倍，可判断C；根据点与圆的位置关系，可判断D．
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了进位制，点的对称变换，方差，点与圆的位置关系，难度中档．
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，涉及直线系方程.属于基础题.
根据直线系方程知直线过定点(-1,1)，直线与圆恒有公共点得到定点在圆内或圆上，由点和圆位置关系列不等式求解即可.

解：因为直线tx+y+t-1=0就是t(x+1)+y-1=0，所以直线过定点(-1,1)，
由于直线与圆恒有公共点，所以点(-1,1)在圆内或圆上，
所以-1-22+1-22⩽m2，解得m⩽-10或m⩾10，
故选D.
6.【答案】D;
【解析】
此题主要考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，利用直线与圆相切得到切线的斜率，根据垂直关系即可求解.

解：因为点P(1,2)满足圆x2+y2=5的方程，所以P在圆上，
又过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=5相切，且与直线y=ax-1垂直，
所以切点与圆心连线与直线y=ax-1平行，
所以直线y=ax-1的斜率为：a=2-01-0=2.
故选D.
7.【答案】C;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，对于(0,1)，有(0-4)2+12=17>4，点在圆外，不符合题意；
对于B，对于(1,0)，有(1-4)2+02=9>4，点在圆外，不符合题意；
对于C，对于(3,1)，有(3-4)2+12=2<4，点在圆内，符合题意；
对于D，对于(1,3)，有(1-4)2+32=18>4，点在圆外，不符合题意；
故选：C．
根据题意，结合点与圆位置关系的判定方法，依次分析选项，综合即可得答案．
该题考查点与圆的位置关系，属于基础题．
8.【答案】B;
【解析】解：由题意(-2,3)在圆外，∴(-2-a)2+(3-2)2>9，
解得a<-2-22或a>-2+22，
故选：B．
由题意得(-2,3)在圆外，可得(-2-a)2+(3-2)2>9，解不等式组求出a取值范围．
该题考查点与圆的位置关系，利用圆的标准方程求圆心和半径，两点间的距离公式以及一元二次不等式的解法．
9.【答案】D;
【解析】
此题主要考查圆的标准方程，以及点和直线与圆的位置关系，属于基础题.
由已知直线y=2过圆心，所以MN为直径，且原点O在圆上，由圆的性质即可求解.
解： 因为x2+y2+Dx-4y=0即(x+D2)2+(y-2)2=4+D24，
表示圆心为(-D2,2)的圆，
所以MN为圆的直径，
又原点O在圆上，
所以由圆的性质有∠MON=90°.
故选D.
10.【答案】B;
【解析】解：若使x2+y2+kx+4y+k2+1=0表示圆，
则k2+42-4(k2+1)>0，
解得-2因为点P(1,2)在圆C：x2+y2+kx+4y+k2+1=0的外部，
所以12+22+k+8+k2+1>0，即k2+k+14>0，
Δ=1-4×14=-55<0，所以k∈R，
综上，-2故选：B.
根据圆的方程的限制条件及点与圆的位置关系可求得k的取值范围，从而可得结论．
此题主要考查点与圆的位置关系，注意圆的方程本身的限制条件，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】D;
【解析】
本题给出原点为已知圆内部一个点，求参数m的范围．着重考查了圆的方程和点与圆的位置关系等知识，属于基础题．
根据题意，将原点的坐标代入圆的标准方程的左边，得左边小于右边，解之即可得到实数m的取值范围．

解：圆x2+y2-2mx+2my+2m2-4=0的标准方程为(x-m)2+(y+m)2=4.
∵原点O在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部，
∴(0-m)2+(0+m)2<4，得2m2<4，解之得-2即实数m的取值范围为(-2,2)，
故选D.
12.【答案】D;
【解析】解：∵圆C：(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0)，
∴(1-a)2+(0-b)2=1，
∴(a-1)2+b2=1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．
故选：D．
将点A代入圆C：(x-a)2+(y-b)2=1，即可求出圆C的圆心的轨迹．
此题主要考查的是点与圆的位置关系，考查轨迹方程，比较基础．
13.【答案】A;
【解析】解：如图所示，边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，向量AP→=mAB→+nAD→(m,n为实数)； AB→=(4,0)，AD→=(0,4).可得 AP→=mAB→+nAD→=( 4m,4n)．
当动圆Q的圆心经过点C时，如图：P(4+22,4+22).
此时m+n取得最大值：4m+4n=8+2，可得m+n=2+24．
当动圆Q的圆心为点B时，AP与⊙B相切且点P在x轴的下方时，AP→=(4+csθ,sinθ)，
此时，4m+4n=4-2sin(θ+π4)，
m+n取得最小值为：1-24；此时P(4-22,-22).
∴则m+n的取值范围为[1-24,2+24]．
故选：A．
如图所示，AB→=(4,0)，AD→=(0,4).可得 AP→=mAB→+nAD→=( 4m,4n).当圆心为点B时，AP与⊙B相切且点P在x轴的下方时，P(4-22,-22).
此时m+n取得最小值；当圆心为点C时，AP经过圆心时，P(4+22,4+22).此时m+n取得最大值．
此题主要考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.【答案】y=1;
【解析】
此题主要考查了圆与直线的关系的运用，过某点的弦长的性质．根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键，属于基础题．
根据题意先求圆心，利用与另外一个圆相外切，求出半径，直线与圆相交建立关系．

解：由题意：圆C的圆心在直线x-y+1=0与x轴的交点，则圆心为(-1,0)，设半径为r．
圆C与圆(x-2)2+(y-3)2=8相外切，圆心距等于两圆半径之和，
∴r+22=32，解得：r=2
所以圆C：(x+1)2+y2=2，
则P(-1,1)在圆C内．
由圆的弦长性质知道，弦长最短，对应的圆心角最小，
当∠ACB最小时，弦长最短，过某点的最短弦长是与过该点的直径垂直．
∵过P(-1,1)的直径方程为x=-1，
∴过P(-1,1)的最短弦方程为y=1，此时∠ACB最小．
故答案为：y=1．
15.【答案】[2-1,2+1];
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的最值问题，涉及平面向量应用，属于中档题.
【解答】
解：设BC中点为D，则由题意可知|BD|=3，则|OD|=4-3=1，
即D的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆M.
AB→+AC→=2AD→=mOP→,
故2|AD|=m|OP|=2m，(m>0)，
∴m=|AD|，
∵A在圆M外，|AO|=2，
∴2-1⩽|AD|⩽2+1，
故正数m的取值范围为[2-1,2+1].
故答案为[2-1,2+1].

16.【答案】5;
【解析】解：点A（8，-6）与圆C的圆心（0，0）的距离等于64+36=10，
故AP的最小值是10减去半径5，等于5，
故答案为5．
17.【答案】-1⩽x0⩽2
;
【解析】
此题主要考查考查点与圆的位置关系，考查两点间距离公式的应用，考查数形结合思想的应用，是中档题.
作出图形，根据图形判断得|CP|⩽3，根据两点间距离公式求解即可.

解：作出图形，数形结合法：设P(x0,-1-x0)，
由题意可得|CP|⩽3，
即(x0-2)2+(-1-x0)2⩽3，
解之得-1⩽x0⩽2.
故答案为-1⩽x0⩽2.
18.【答案】6;
【解析】解：由题意，|OC|=5，
∴圆上点到原点距离的最大值为6，
∵A(-m,0)，B(m,0)(m>0)，
RtΔPAB的直角顶点P在圆C上，
∴实数m的最大值等于6，
故答案为6．
由题意，|OC|=5，圆上点到原点距离的最大值为6，根据A(-m,0)，B(m,0)(m>0)，RtΔPAB的直角顶点P在圆C上，可得结论．
此题主要考查点与圆的位置关系，考查学生转化问题的能力，属于中档题．
19.【答案】(1)证明：直线l：mx-y+1=0恒过定点(0,1)，
且点(0,1)到圆心C的距离d=(0-0)2+(1-2)2=1<5，
所以点(0,1)在圆C：x2+(y-2)2=5内部，
所以对任意m∈R直线l与圆C总有两个不同交点;
(2)解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x,y)，
联立直线l与圆的方程，得(m2+1)x2-2mx-4=0，
得x1+x2=2mm2+1，所以x=mm2+1，①
所以y1+y2=mx1+mx2+2=m(x1+x2)+2=2m2m2+1+2，
所以y=m2m2+1+1， ②
联立①②解得，x2+(y-32)2=14，
所以弦AB的中点M的轨迹方程为x2+(y-32)2=14.;
【解析】
此题主要考查直线过定点问题，点和圆、直线和圆的位置关系，同时考查轨迹方程的求解.
(1)利用直线l：mx-y+1=0经过定点D(0,1)，而定点(0,1)在圆的内部，从而证明结论成立．
(2)设中点M的坐标为(x,y)，利用韦达定理，将x，y用m表示，然后消去m，求得点M的轨迹方程．

20.【答案】解：由曲线C的参数方程x=1+2csαy=2sinα（α为参数）可得曲线C的普通方程为x-12+y2=2,
圆心为（1,0），半径为2，
由点M的极坐标为42,π4可得M的直角坐标为（4,4），
点M到圆心的距离为4-12+4=5，
即点M到曲线C上的点的距离的最小值为5-2.;
【解析】
曲线C的普通方程为x-12+y2=2，M的直角坐标为(4,4)，点M到曲线C上的点的距离的最小值为M到圆心的距离减半径.
21.【答案】解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O1(-2,0)，O2(2,0)，
由已知PM=2PN，得PM2=2PN2．
因为两圆的半径均为1，所以PO12-1=2(PO22-1)．
设P(x,y)，则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]，
即(x-6)2+y2=33，
所以所求轨迹方程为(x-6)2+y2=33.(或x2+y2-12x+3=0)．;
【解析】本题是典型的求轨迹方程的方法．是基础题．
建立直角坐标系，设P点坐标，列方程，化简，即可得到结果．

22.【答案】解：（1）∵过点A的切线存在，∴点A在圆外或圆上，
由点与圆的位置关系，得1+a2≥4，解之得a≥3或a≤-3；
（2）如图，设MN与AC交于D点
由|MN|=455，得|DM|=12|MN|=255．
又∵|MC|=2，∴由垂径定理，得|CD|=4-45=45，
∴Rt△MCD中，cs∠MCD=452=25，即cs∠MCA=25
∵Rt△MCA中，|AC|=|CM|cs∠MCA=5，∴|OC|=2，|AM|=1
MN是以A为圆心、半径为AM的圆与圆C的公共弦，
∵圆A的方程为：（x-1）2+y2=1，圆C的方程的方程为：x2+（y-2）2=4或x2+（y+2）2=4，
∴MN所在直线方程为（x-1）2+y2-1-x2-（y-2）2+4=0即x-2y=0；
或（x-1）2+y2-1-x2-（y+2）2+4=0即x+2y=0，
综上所述，直线MN得方程为x-2y=0或x+2y=0．;
【解析】
(1)由直线与圆的位置关系，得当点A在圆外或圆上过点A的圆C的切线存在．再由点与圆的位置关系，建立关于a的不等式，解之即得实数a的取值范围；
(2)根据圆的对称性得到|DM|=12|MN|=255.利用垂径定理算出CD的长度，在RtΔMCD中，算出cs∠MCD的值，得cs∠MCA=25.然后在RtΔMCA中利用解三角形知识算出AC长，结合|OC|=2得出|AM|=1.由题意知MN是以A为圆心、半径为AM的圆与圆C的公共弦，由此列式即可求出MN所在直线的方程．
该题考查了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆的标准方程和圆的简单几何性质等知识，属于中档题．
23.【答案】解：(1)由ρ2+4ρcs(θ+π3)-5=0，得ρ2+2ρcsθ-3ρsinθ-5=0
利用ρcsθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2代换，
x2+y2+2x-23y-5=0，整理(x+1)2+(y-3)2=9
它的参数方程x=-1+3csαy=3+3sinα(α为参数)．
(2)若点P(x,y)在该圆上，利用圆的参数方程可得
x+3y=33sinα+3csα+2=6sin(α+π6)+2，
当sin(α+π6)=1时，取得最大值8，当sin(α+π6)=-1时，取得最小值-4．;
【解析】
(1)利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcsθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．
(2)由(1)参数方程x=-1+3csαy=3+3sinα(α为参数)，得出x+3y=33sinα+3csα+2=6sin(α+π6)+2，利用三角函数的性质求解．
该题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程的互化，圆的参数方程的应用，三角函数的性质．属于中档题．