2023高考数学复习专项训练《空间直线、平面的平行》

这是一份2023高考数学复习专项训练《空间直线、平面的平行》，共23页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


2023高考数学复习专项训练《空间直线、平面的平行》

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P分别为CC1,BC,DC的中点，则下列命题中错误的是( )

A. MN//AD1 B. PM与AA1是异面直线
C. 平面AB1D1//平面MNP D. MN//平面A1B1C1D1
2.（5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P、Q分别为AB、AD的中点，过点D作平面α使B1P//平面α，A1Q//平面α若直线B1D1∩平面α=M，则MD1MB1的值为()
A. 14 B. 13 C. 12 D. 23
3.（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是( ) 

A. 若α//β，n//α，则n//β B. 若α⊥β，n//α.则n⊥β
C. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D. 若m⊂α，α⊥β，则m⊥β
4.（5分）下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形的序号是(    ) 

A. ①、② B. ①、③ C. ②、③ D. ②、④
5.（5分）已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题： 
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β； 
②若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β； 
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交； 
④若α∩β=m，n//m，且n⊄β，则n//α，且n//β． 
其中正确命题的个数是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.（5分）若直线l不平行于平面a，且l⊄a则

A. a内所有直线与l异面 B. a内只存在有限条直线与l共面
C. a内存在唯一的直线与l平行 D. a内存在无数条直线与l相交
7.（5分）若a，b表示直线，α表示平面，下面推论中正确的个数为() 
①a⊥α，b//α，则a⊥b； 
②a⊥α，a⊥b，则b//α； 
③a//α，a⊥b，则b⊥α.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
8.（5分）在棱长为1的正方体中ABCD-A1B1C1D1，点P在线段AD1上运动，则下列命题错误的是(    ) 

A. 异面直线C1P和CB1所成的角为定值 B. 直线CD和平面BPC1平行
C. 三棱锥D-BPC1的体积为定值 D. 直线CP和平面ABC1D1所成的角为定值
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
（5分）.
9.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在棱CC1上，则下列结论正确的是(    ). 

A. 直线BM与平面ADD1A1平行; B. 平面BMD1截正方体所得的截面为三角形;
C. 异面直线AD1与A1C1所成的角为π3; D. MB+MD1的最小值为5.
10.（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A. 若m//α，，则m//n B. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C. 若m⊥α，n⊥α，则m//n D. 若m//α，m⊥n，则n⊥α
11.（5分）已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是().
A. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
B. 若m⊥α，m//β，则α⊥β
C. 若α//β，m⊂α，则m//β
D. 若m//β，n//β，m，n⊂α，则α//β
12.（5分）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点(不与各边的端点重合)，且AE：EB=AH：HD，CF：FB=CG：GD.则下列结论一定正确的是()

A. E，F，G，H共面 B. EF//GH
C. AC//面EFGH D. 若直线EF与GH有交点，则交点在直线AC上
13.（5分）如图，正方形ABCD-A1B1C1D1边长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论中正确的是()

A. BP的最小值为62
B. PA+PC的最小值为2-2
C. 当P在直线A1D上运动时，三棱锥A-B1PC的体积不变
D. 以点B为球心，22为半径的球面与面AB1C的交线长为63π
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）如图在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中正确的有__________.(填上所有正确命题的序号) 
 
①AC⊥BD 
②AC=BD 
③AC//截面PQMN 
④异面直线PM与BD所成的角为45°
15.（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题
①若a⊥b,a⊥α,则b//α                               ②若a//α,α⊥β则a⊥β
③若a⊥β,α⊥β则a//α                              ④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β
⑤若a⊥α,b⊥β,a//b,则α//β     ⑥若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
其中正确的命题的是__________.
16.（5分）.如图所示，三棱锥A-BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD， AB=BC=BD=2，E是棱CD上的任意一点，F，G分别是AC，BC的中点，则下列说法正确的是( )
 

A.平面ABE⊥平面BCD    B.平面EFG//平面ABD
C.平面ABE⊥平面ACD    D.四面体FECG体积的最大值是13
17.（5分）如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，则下列结论：①BD//平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成的角为60°.其中正确的结论是________(填序号).

18.（5分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E为PC的中点． 
(1)求证：PA//平面BDE； 
(2)求证：平面PBC⊥平面PDC.

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）圆O上两点C，D在直径AB的两侧(如图甲)，沿直径AB将圆O折起形成一个二面角(如图乙)，若∠DOB的平分线交弧̂BD于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．  
(Ⅰ)证明：平面OGF//平面CAD． 
(Ⅱ)若二面角C-AB-D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求四面体FCOG的体积．

20.（12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD//BC，∠ABC=90∘，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=3，BC=4.

(1)求证：BD⊥PC；
(2)设点E在棱PC上，PE=λPC，若DE//平面PAB，求λ的值.
21.（12分）如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点． 
(1)求证：BM//平面PAD； 
(2)在侧面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD； 
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦．

22.（12分）如图，ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，DE=2AF． 
(1)求证：AC⊥平面BDE； 
(2)求证：AC//平面BEF．

23.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，PA=PD=2，AB=4，DC=1，AD=BC=22. 
(1)求四棱锥P-ABCD的体积； 
(2)在线段PA上是否存在点M，使得DM//平面PBC？若存在，求PMAM的值；若不存在，请说明理由．


答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
 
此题主要考查空间中直线与直线的位置关系和线面平行，面面平行的判定，属于基础题. 
利用空间中直线与直线位置关系和线面平行，面面平行的判定定理逐一分析解答即可. 
 
解：连接AC,A1C1,BD,BC1， 
对于A，∵M,N分别为CC1,BC中点，∴MN//BC1， 
又BC1//AD1，∴MN//AD1， 
故A正确； 
对于B，∵AA1⊂平面ACC1A1，M∈平面ACC1A1，P∉平面ACC1A1， 
M∉AA1， 
∴直线PM与AA1为异面直线， 
故B正确； 
对于C，由A知：MN//AD1，又AD1⊂平面AB1D1，MN⊄平面AB1D1，∴MN//平面AB1D1， 
同理可证：NP//平面AB1D1，∵MN∩NP=N，MN,NP⊂平面MNP， 
∴平面AB1D1//平面MNP， 
故C正确； 
对于D，∵MN//BC1，且BC1∩B1C1=C1，MN,BC1,B1C1⊂平面BCC1B1， 
∴MN与B1C1相交， 
又B1C1⊂平面A1B1C1D1， 
∴MN与平面A1B1C1D1相交， 
故D错误. 
所以选D.


2.【答案】B;
【解析】 
此题主要考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于拔高题． 
取BC的中点T，连接PT，B1T，QT，取A1D1的中点N，C1D1的中点K，连接NK，ND，KD，AC，A1C1，QT，由线面平行的判定定理和面面平行的判定定理、性质定理，可得B1P//平面DNK，A1Q//平面DNK，结合题意可得平面BNK即为平面α，结合三角形的中位线定理可得所求值． 
解：取BC的中点T，连接PT，B1T，QT， 
取A1D1的中点N，C1D1的中点K，连接NK，ND，KD，AC，A1C1，QT， 
 
在正方形ABCD中，AC//PT， 
在正方形A1B1C1D1中，A1C1//KN， 
由截面ACC1A1为矩形，可得AC//A1C1， 
可得PT//NK，又PT⊄平面DNK，NK⊂平面DNK， 
可得PT//平面DNK， 
由QT//AB，AB//A1B1，可得QT//A1B1， 
且QT=A1B1，可得四边形A1B1TQ为平行四边形，即有B1T//A1Q， 
又ND//A1Q，可得B1T//ND，B1T⊄平面DNK，ND⊂平面DNK， 
可得B1T//平面DNK，且B1T∩PT=T， 
可得平面B1TP//平面DNK， 
由B1P⊂平面B1TP，可得B1P//平面DNK， 
由ND//A1Q，A1Q⊄平面DNK，ND⊂平面DNK， 
可得A1Q//平面DNK， 
结合题意可得平面BNK即为平面α， 
由NK与B1D1交于M， 
在正方形A1B1C1D1中，A1C1//KN， 
可得MD1MB1=13， 
故选B.

3.【答案】C;
【解析】解：设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在A中，若α//β，n//α，则n//β或n⊂β，故A错误；在B中，若α⊥β，n//α.则n与β相交、平行或n⊂β，故B错误；在C中，若m⊥β，n⊥β，则m//n，再由n⊥α，得到m⊥α，故C正确；在D中，若m⊂α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故D错误．故选：C.在A中，n//β或n⊂β；在B中，n与β相交、平行或n⊂β；在C中，先求出m//n，再由n⊥α，得到m⊥α；在D中，m与β相交、平行或m⊂β.此题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．

4.【答案】B;
【解析】
 
这道题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定和性质.属于中档题． 
利用线面平行的判定定理，在平面MNP中寻找一条直线和AB平行即可，也可寻找AB所在的平面与平面MNP平行，则AB//平面MNP． 
 
解：在①中，如图，正方体侧面的两个顶点分别为C，D， 
 
则NP//CD//AB， 
AB⊄平面MNP，NP⊂平面MNP， 
所以AB//平面MNP； 
在②中， 
过M作ME//AB， 
 
则ME与平面PMN相交， 
则AB与平面MNP相交， 
∴AB与面MNP不平行， 
故②不成立； 
在③中，设过点B且垂直于上底面的棱与上底面的交点为C， 
 
则由NP//BC，MN//AC， 
可得BC//平面MNP，AC//平面MNP， 
又CB∩AC=C，CB,CA⊂平面ABC， 
可知平面MNP//平面ABC， 
又AB⊂平面ABC， 
即AB//平面MNP． 
在④中， 
若下底面中心为O， 
 
则NO//AB，NO∩面MNP=N， 
∴AB与面MNP不平行， 
故④不成立； 
故能得出AB//平面MNP的图形的序号是①、③． 
故选B．

5.【答案】A;
【解析】解：已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面．  
①根据面面垂直的判定定理可得：若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，因此正确；  
②若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，只有当m，n是相交直线时，才能得出α//β，因此不正确；  
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交或n//α，因此不正确；  
④根据线面平行的判定与性质定理可得：若α∩β=m，n//m，且n⊄β，则n//α，且n//β，或n⊂α，因此不正确．  
综上可得：只有①正确．  
故选：A． 
①根据面面垂直的判定定理即可判断出；  
②若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，只有当m，n是相交直线时，才能得出α//β；  
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交或n//α，即可判断出；  
④根据线面平行的判定与性质定理即可判得出． 
本题综合考查了线面平行于垂直的位置关系，属于基础题．

6.【答案】D;
【解析】 
此题主要考查了直线与平面的位置关系，线面平行判定定理的运用．考查了学生逻辑推理能力． 
a内与l相交的直线在同一面内，推断出A选项错误．直线l与面相交的点，过此点的所有直线均与l相交，平面内其他的线则不与其相交，推断出C，D项说法错误．利用反证法和线面平行的判定定理推断出B项正确． 
 
解：a内与l相交的直线在同一面内有无数条，故A，B选项错误，D选项正确． 
若a内存在与l平行的直线，则根据线面平行的判定定理可知l与面a平行，已知直线l不平行于平面a，故a内不存在与l平行的直线，故C错误； 
故选D. 
 


7.【答案】C;
【解析】解：①a⊥α，可知a垂直平面α内的任意直线，b//α，在α取b'//b，可知a⊥b'，所以a⊥b；所以①正确． 
②a⊥α，a⊥b，则b//α也可能b⊂α；所以②不正确； 
③a//α，a⊥b，则b⊥α也可能b⊂α.所以③不正确． 
故选：C. 
利用直线与平面垂直以及平行的判断定理或性质定理判断命题的真假即可． 
此题主要考查直线与平面位置关系的应用，直线与平面位置关系的判断，是中档题．

8.【答案】D;
【解析】 
此题主要考查了异面直线所成的角、线面平行的判定、直线与平面所成的角与三棱锥的体积计算问题，是中档题． 
A，由正方体的性质判断B1C⊥平面ABC1D1，得出B1C⊥C1P，异面直线C1P与CB1所成的角为90°；B，由CD//AB，证明CD//平面ABC1D1，即得CD//平面BPC1；C，三棱锥D-BPC1的体积等于三棱锥P-DBC1的体积，判断三棱锥D-BPC1的体积为定值；D，找到直线CP和平面ABC1D1所成的角，即可判断． 
 
解：A. 因为在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 
点P在线段AD1上运动，由正方体的结构特征知C1D1⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C， 
所以C1D1⊥B1C，又BC1⊥B1C，C1D1、BC1为平面ABC1D1内两条相交直线，则有B1C⊥平面ABC1D1， 
而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P， 
故这两个异面直线所成的角为定值90°，所以A正确； 
B. 由CD//AB，且CD⊄平面ABC1D1，AB⊂平面ABC1D1， 
∴CD//平面ABC1D1，且平面ABC1D1与平面PBC1重合，即CD//平面BPC1，B正确； 
C. 三棱锥D-BPC1的体积等于三棱锥的体积P-DBC1的体积， 
而平面DBC1为固定平面且该三角形面积大小一定，因为AD1//BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1//平面BDC1， 
又因为P∈AD1，所以点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离， 
所以三棱锥D-BPC1的体积为定值，C正确； 
D. 设B1C与BC1相交于点O，连接OP，由B1C⊥平面ABC1D1，可知∠CPO为直线CP和平面ABC1D1所成的角，则tan∠CPO=COPO， 
点P在线段AD1上移动时，PO长度改变，则∠CPO的大小也在变化，D错误． 
故选D．

9.【答案】ACD;
【解析】 
此题主要考查了空间点线面位置关系， 考查了转化思想、空间想象能力， 属于中档题. 
对于A，利用面ABCD//面A1B1C1D1的性质即可判定直线BM与平面ADD1A1平行;对于B，平面BMD1截正方体所得的截面可能为四边形;对于C，异面直线AD1与A1C1所成的角为∠D1AC，即可判定;对于D，原问题相当于将平面BCC1B1，平面DCC1D1展开得到矩形DD1B1B的对角线的长度. 
 
对于A，∵面ABCD//面A1B1C1D1，BM⊂BCC1B1，即可判定直线BM与平面ADD1A1平行，故正确; 
对于B，如图1，平面BMD1截正方体所得的截面可能为四边形，故错; 
对于C，如图2，异面直线AD1与A1C1所成的角为，∠D1AC，即可判定异面直线AD1与A1C1所成的角为π3，故正确; 
对于D，将平面BCC1B1，平面DCC1D1展开得到矩形DD1B1B，连接BD1，MB+MD1的最小值即为矩形DD1B1B对角线BD1的长度，BD1=12+22=5，故正确. 
故选ACD. 
 


10.【答案】BC;
【解析】 
此题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解答该题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型，属于基础题． 
逐项分析即可 
 
解： 
对于选项A：若m//α，n//α，则m，n相交或平行或异面，故A错误； 
对于选项B：若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确； 
对于选项C：若m⊥α，n⊥α，则m//n，故C正确； 
对于选项D：若m//α，m⊥n，则n//α或n⊂α或n与α相交，故D错误． 
故选BC.

11.【答案】BC;
【解析】 
此题主要考查了线面，面面的位置关系，属于基础题. 
利用面面垂直的性质定理判断A错误；利用面面垂直的判定定理判断B正确；利用线面平行的判定定理判定C正确；利用面面平行的判定定理判断D错误.解：A.若α⊥β，m⊂α，只有当直线m垂直于平面α与平面β的交线时才能得出m⊥β，故A错误； 
B.若m⊥α，m//β，由面面垂直的性质得出α⊥β，故B正确； 
C.若α//β，m⊂α，由线面平行的性质得出m//β，故C正确； 
D.若m//β，n//β，m，n⊂α，不一定得到α//β，还需添加条件m∩n=P，故D错误， 
故选BC.

12.【答案】AD;
【解析】解：因为AE：EB=AH：HD，则EH//BD，又CF：FB=CG：GD，则FG//BD. 
所以EH//FG，即E，F，G，H四点共面，A正确； 
AE：EB=AH：HD=CF：FB=CG：GD时，EF//GH，AC//面EFGH，否则不成立． 
当AE：EB=AH：HD≠CF：FB=CG：GD时，EF与GH相交， 
此时四边形EFGH为梯形，即直线EF与GH有交点， 
交点在面ABC内，又在面ADC内，而面ABC∩面ADC=AC， 
所以直线EF与GH的交点在直线AC上，B正确，C错误；D正确． 
故选：AD. 
A根据等比例的性质可得EH//FG；B、C、D由题设，比例不相等，易得直线EF与GH有交点，结合点、线、面的关系判断交点位置即可确定正误； 
此题主要考查线面间的位置关系，考查学生的推理运算能力，属于中档题．

13.【答案】ACD;
【解析】 
此题主要考查了异面直线的判定，以及三棱锥的体积和点面距离，考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题． 
对于A，当BP⊥A1D时，BP最小，结合三角形性质求出B到直线A1D的距离；对于B，以B为坐标原点，以BA，BC，BB1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，得到PA+PC=2((λ-12)2+14+(λ-1)2+12)，进而得出结果；对于C，由题意得到A1D//平面AB1C，判断出三棱锥A-B1PC 的体积不变；对于D，根据求的截面性质可知点B为球心，22为半径的球与面AB1C交线为△AB1C的内切圆．解： 对于A，当BP⊥A1D时，BP最小，由于A1B=BD=A1D=2， 
∴B到直线A1D的距离d=32×2=62，故A正确； 
对于B，以B为坐标原点，以BA，BC，BB1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 
 
则A(1,0,0)，C(0,1,0)，设A1P→=λA1D→，∴P(1,λ,1-λ)， 
PA+PC=λ2+(1-λ)2+1+2(λ-1)2=2λ2-2λ+1+2λ2-4λ+3=2(λ2-λ+12+λ2-2λ+32)=2((λ-12)2+14+(λ-1)2+12)， 
其中(λ-12)2+14表示M(λ,0)，N(12,12)距离， 
(λ-1)2+12表示M(λ,0)，Q(1,-22)距离， 
∴(PA+PC)min=2NQ=2+2，故B错误； 
对于C，A1D//B1C，A1D⊂平面AB1C，∴A1D//平面AB1C， 
∴P到平面AB1C的距离为定值，S△AB1C为定值，则VP-AB1C为定值，即三棱锥A-B1PC 的体积不变，故C正确； 
对于D，由BD1⊥平面AB1C，设BD1与平面AB1C交于M点， 
∴BM=13BD1=33，设以B为球心，22为半径的球与面AB1C交线上任一点为P， 
∴BP=22，∴MP=(22)2-(33)2=66，∴P为以M为圆心，66为半径的圆上， 
由于△AB1C为正三角形，边长为2，其内切圆半径为2×32×13=66， 
此圆恰好为△AB1C的内切圆，完全落在面AB1C内， 
交线长为2π×66=63π，故D正确. 
故本题选ACD. 


14.【答案】①③④;
【解析】 
该题考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，着重考查了线面平行的判定与性质及异面直线所成角，属于中档题． 
首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行的性质得到线线平行，这样就把AC，BD平移到正方形内，再利用平面图形知识即可做出判断． 
 
解：在四面体ABCD中， 
∵截面PQMN是正方形， 
∴PQ//MN，PQ⊄平面ACD，MN⊂平面ACD， 
∴PQ//平面ACD， 
∵平面ACB∩平面ACD=AC，PQ⊂平面ACB， 
∴PQ//AC，PQ⊂平面PQMN，AC⊄平面PQMN， 
所以AC//平面PQMN，③正确； 
同理可得BD//平面PQMN，PN⊂平面PQMN， 
∴BD//PN， 
∵PN⊥PQ， 
∴AC⊥BD，①正确； 
由BD//PN， 
可得∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，④正确； 
由上面可知：BD//PN，PQ//AC， 
∴PNBD=ANAD，MNAC=DNAD， 
若AN≠DN，由PN=MN，得BD≠AC，②错误； 
综上可知：①③④都正确． 
故答案为①③④．

15.【答案】④⑤⑥;
【解析】
 
此题主要考查空间中的线面位置关系，解决问题的关键是熟练掌握相关的平行垂直的判断和性质. 
 
解：①若a⊥b,a⊥α，则b与α的位置关系不固定，错误； 
②若a //α,α⊥β，则a与α的位置关系不固定，错误； 
③若a⊥β,α⊥β，则a在α内或平行，错误； 
④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,，则α⊥β，正确； 
⑤若a⊥α,b⊥β,a //b,  则α //β，正确； 
⑥若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b，正确. 
故答案为④⑤⑥.

16.【答案】AD;
【解析】 


此题主要考查平面与平面垂直、平面与平面平行的判断和证明及棱锥的体积，由AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABE，知平面ABE⊥平面BCD；由F、G分别是AC、BC的中点，知FG//平面ABD，由E是棱CD上的任意一点，知FE和FG都不平行于平面ABD，故平面EFG和平面ABD不平行；点E与点D重合时，四面体FECG的体积最大，由此能求出四面体FECG的体积最大值．

解：∵AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABE， 
∴平面ABE⊥平面BCD，故A正确； 
∵F、G分别是AC、BC的中点， 
∴FG//AB， 
∵FG⊄平面ABD，AB⊂平面ABD， 
∴FG//平面ABD， 
∵E是棱CD上的任意一点， 
∴FE和FG都不平行于平面ABD， 
故平面EFG和平面ABD不平行，即B错误． 
∵F、G分别是AC、BC的中点，∴FG//AB，且FG=12AB, 
∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD， 
∴点E与点D重合时，四面体FECG的体积最大． 
∵三棱锥A-BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2 
∴SΔ=SΔ-SΔ=12×2×2-12×1×2=1， 
∴四面体FECG的体积最大值V=13×1×1=13，故D正确． 
因为E是棱CD上的任意一点， 
当E和D重合时，平面ABE⊥平面ACD显然成立，故C错误. 
故答案为AD.

17.【答案】①②③;
【解析】
 
本题主要考察的是线面平行和线面垂直的判定，理清线面之间的位置关系，根据判定条件灵活转化是关键. 
 
解：①∵BD//B 1D 1，∴BD//平面CB 1D 1；故①正确． 
②∵ AC⊥BD，且AC是AC 1在底面ABCD内的射影，由三垂线定理知，AC 1⊥BD，故②正确． ③∵BD//B 1D 1，由②知，AC 1⊥BD，
∴AC 1⊥B 1D 1，同理可证AC 1⊥CB 1，
∴AC 1⊥平面CB 1D 1，故③正确． 
④异面直线AD与CB 1所成角就是BC与CB 1所成角，
∴∠BCB 1为异面直线AD与CB 1所成角， 等腰直角三角形BCB 1中，∠BCB 1=45°，故④错误． 综上所述，正确的命题为：①②③.
故答案为①②③.

18.【答案】证明(1)连接AC交BD于O，连接EO，PO， 
 
∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC中点， 
又E为PC中点．∴PA//EO， 
又EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE， 
∴PA//平面BDE. 
(2)在ΔPAC中，易得AO=CO=PO=3， 
∴∠APC=90°，∴PC=22， 
∴在ΔPDC中可求得DE=2， 
同理在ΔPBC中可求得BE=2， 
∴在ΔBDE中可得∠BED=90°，即BE⊥DE， 
又PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC， 
又PC∩DE=E，PC，DE⊂平面PDC， 
BE⊥面PDC，又BE⊂面PBC， 
∴平面PBC⊥平面PDC.;
【解析】此题主要考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，属于中档题． 
(1)连接AC交BD于O，连接EO，PO，证明PA//EO，利用直线与平面平行的判定定理证明PA//平面BDE. 
(2)在ΔPAC中，推出∠APC=90°，求出PC，然后证明BE⊥DE，BE⊥PC，得到BE⊥面PDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PBC⊥平面PDC.

19.【答案】（Ⅰ）证明：∵OF为△ABC的一条中位线，  
∴OF∥AC．  
∵OF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，  
∴OF∥平面ACD …..…（2分）  
∵OG为∠DOB的平分线，∴OG⊥BD．  
又可知AD⊥BD，∴OG∥AD…..…（4分）  
∵OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴OG∥平面ACD…（5分）  
∵OG，OF为平面OGF内的两条相交直线，∴平面OGF∥平面CAD…..…（6分）  
（Ⅱ）解：过G作GH⊥AB，垂足为H，  
又二面角C-AB-D为直二面角，即平面CAB⊥平面DAB．  
由已知得O为Rt△ABC斜边AB的中点，∴CO⊥AB，则CO⊥平面DAB，  
∴CO⊥GH，∴GH⊥平面CAB，  
∴线段GH长即为三棱锥G-COF的高…（8分）  
又Rt△DAB中，AB=2，∠DAB=60°，∴AD=1，  
又OG∥AD，OG=1，OA=1，∴ADGO为菱形，∠AOG=120°，  
∴△GOB是边长为1的正三角形，∴GH=32…（10分）  
又可知△COF为等腰直角三角形，∴S△COF=12×22×22=14…（11分）  
∴V四面体FCOG=V三棱锥G-COF=13×S△COF×GH=324…（12分）;

【解析】 
(Ⅰ)证明：平面OGF//平面CAD，只需要证明OG//平面ACD，证明OG//AD即可；  
(Ⅱ)过G作GH⊥AB，垂足为H，证明线段GH长即为三棱锥G-COF的高，利用V四面体FCOG=V三棱锥G-COF，即可求四面体FCOG的体积．  
该题考查线线、线面、面面关系，考查面面、线面平行的判定及几何体高与体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及分析探究问题和解决问题的能力．

20.【答案】证明：(1)在RtΔABD中， 
∵AD=1，AB=3， 
则BD2=AB2+AD2=(3)2+12=4， 
即BD=2，∴∠ABD=30°， 
∴∠DBC=60°. 
在ΔBCD中，由余弦定理得DC2=22+42-2×2×4cos60°=12， 
∴DB2+DC2=BC2， 
∴∠BDC=90°，∴BD⊥DC. 
∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 
∴PD⊥BD. 
又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PDC， 
∴BD⊥平面PDC，又PC⊂平面PDC， 
∴BD⊥PC. 
(2)过D作DF//AB交BC于点F， 
由四边形ADFB为平行四边形得BF=AD=1， 
 
因为DF//AB，DF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， 
所以DF//平面PAB， 
又因为DE//平面PAB，DE∩DF=D，DE、DF⊂平面DEF， 
所以平面DEF//平面PAB， 
又平面PAB∩平面PBC=PB，平面DEF∩平面PBC=EF， 
所以EF//PB， 
所以λ=PEPC=BFBC=14， 
即λ=14.;
【解析】本题综合考查了余弦定理和勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力和推理能力及计算能力． 
(1)利用勾股定理可得DB，利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得∠BDC=90°，即BD⊥DC，再利用线面垂直的性质定理可得PD⊥BD，利用线面垂直的判定定理即可证明结论； 
(2)过D作DF//AB交BC于点F，因为DF//AB，所以DF//平面PAB，又因为DE//平面PAB，所以平面DEF//平面PAB，所以EF//PB，所以PEPC=BFBC=14，解得λ=14.

21.【答案】解：(1)∵M是PC的中点，取PD的中点E，则ME//12CD，且ME=12CD. 
又AB//12CD，AB=12CD，∴ME和AB平行且相等，故四边形ABME为平行四边形． 
∴BM//EA，再根据BM⊄平面PAD，EA⊂平面PAD，可得，∴BM//平面PAD. 
(2)以A为原点，以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 
 
则B(1,0,0))，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，M(1,1,1)，E(0,1,1). 
在平面PAD内，设N(0,y,z)，则MN→=(-1,y-1,z-1)，PB→=(1,0,-2)，DB→=(1,-2,0)， 
由MN→⊥PB→，可得MN→.PB→=-1-2z+2=0，∴z=12. 
由MN→⊥DB→，可得MN→.DB→=-1-2y+2=0，∴y=12. 
∴N(0,12,12)，∴N是AE的中点，此时MN⊥平面PBD. 
(3)设直线PC与平面PBD所成的角为θ，∵PC→=(2,2,-2)，MN→=(-1,-12,-12)， 
设PC→与 MN→的夹角为α，则cosα=PC→.MN→|PC→|\cdot|MN→|=-223.62=-23，∴sinθ=-cosα=23， 
故直线PC与平面PBD所成角的正弦为23.;
【解析】 
(1)取PD的中点E，证明四边形ABME为平行四边形，可得BM//EA，BM再根据直线和平面平行的判定定理证得BM//平面PAD. 
(2)以A为原点，以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设N(0,y,z)，由MN→.PB→=0、MN→.DB→=0，求得y、z的值，可得N的坐标． 
(3)设直线PC与平面PBD所成的角为θ，设PC→与MN→的夹角为α，由cosα=PC→.MN→|PC→|\cdot|MN→|的值，求得 sinθ=-cosα的值． 
此题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求平面的法向量，直线和平面所成的角的求法，体现了转化的数学思想，属于中档题．

22.【答案】解：(1)证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC． 
因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 
因为DE∩BD=D，DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE， 
所以AC⊥平面BDE； 
(2)证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG， 
所以，OG // =1 2DE． 
因为AF//DE，DE=2AF，所以AF//OG且AF=OG， 
从而四边形AFGO是平行四边形，FG//AO． 
因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF， 
所以AO//平面BEF，即AC//平面BEF．;

【解析】该题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，是中档题． 
(1)因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC.因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，可得AC⊥平面BDE； 
(2)取BE中点G，连接FG，OG，所以OG // =1 2DE.因为AF//DE，DE=2AF，所以AF//OG且AF=OG，从而四边形AFGO是平行四边形，FG//AO.可得AC//平面BEF． 
 


23.【答案】解：（1）取AD的中点G，连接PG．如下图所示： 
 
∵PA=PD=2，∴PG⊥AD． 
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PG⊂平面PAD． 
∴PG⊥平面ABCD，即PG是四棱锥P-ABCD的高． 
∵PA=PD=2，AD=22，∴PA2+PD2=AD2，∴PA⊥PD，PG=2． 
在四边形ABCD中，AB=4，DC=1，AD=BC=22，AB∥DC，SABCD=(1+4)×2322=5234， 
∴四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=13×2×5234=54612． 
（2）过点D作DE∥CB交AB于点E，则EBAE=13， 
过点E作EM∥PB交PA于点M，连接MD，则PMMA=13． 
 
∵DE∥BC，BC⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE∥平面PBC． 
∵ME∥PB，PB⊂平面PBC，ME⊄平面PBC，∴ME∥平面PBC． 
又∵DE∩ME=E，DE，ME⊂平面MDE，∴平面MDE∥平面PBC． 
∵MD⊂平面MDE，∴MD∥平面PBC． 
所以在PA上存在点M，使得DM//平面PBC，且PMMA=13．;
【解析】 
(1)取AD的中点G，连接PG，从而PG⊥AD，PG⊥平面ABCD，推导出PA⊥PD，AB//DC，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积． 
(2)过点D作DE//CB交AB于点E，则EBAE=13，过点E作EM//PB交PA于点M，连接MD，则PMMA=13.推导出DE//平面PBC，ME//平面PBC.从而平面MDE//平面PBC，MD//平面PBC，由此得到在PA上存在点M，使得DM//平面PBC，且PMMA=13. 
此题主要考查四棱锥的体积的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线面平行、面面平行的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．