2023高考数学复习专项训练《空间中平面与平面的位置关系》

2023高考数学复习专项训练《空间中平面与平面的位置关系》

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）

1.（5分）已知集合，则

A.  B.
C. 或 D. 或

2.（5分）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则直线的倾斜角等于 
 
 

A. 或 B. 或
C. 或 D. 与值有关

3.（5分）已知是的内角且，则   

A.  B.  C.  D.

4.（5分）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到的图象部分图象如图所示，则的解析式为
 

A.  B.
C.  D.

5.（5分）若函数的定义域是，则函数的定义域是

A、

B、

C、

D、

A.  B.
C.  D.

6.（5分）圆与圆的公共弦所对的圆心角是

A.  B.  C.  D.

7.（5分）若函数的定义域为，则实数的取值范围是

A.  B.
C.  D.

8.（5分）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，当时，为常数，则

A.  B.  C.  D.

9.（5分）关于的方程有两个不相等的正实根，则实数的取值范围是  

A.  B.  C.  D.

10.（5分）已知是两条不同直线，是两个不同平面下列命题中不正确的是   

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

11.（5分）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是

A.  B.  C.  D.

12.（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
 

A.  B.  C.  D.

13.（5分）已知四面体的所有棱长都相等，其外接球的体积等于，则下列结论错误的是

A. 四面体的棱长均为 B. 异面直线与的距离为
C. 异面直线与所成角为 D. 四面体的内切球的体积等于

二 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）一扇形的圆心角为弧度，记此扇形的周长为，面积为，则的最大值为 ______ ．

15.（5分）【例3】若θ是第二象限角，且，则是第__________象限角.

16.（5分）直线和直线的距离是______．

17.（5分）下列叙述正确的有 ______ 将你认为所有可能出现的情况的代号填入横线上． 
①集合的非空真子集有个；  
②集合，集合，若：，则对应关系是从集合到集合的映射；  
③函数的对称中心为；  
④函数对任意实数都有恒成立，则函数是周期为的周期函数．

18.（5分）（1）已知函数f(x)在R上单调递增，若f(1-m)＜f(m)，则实数m的取值范围是_______________. 
（2）已知函数f(x)在区间[-2，2]上单调递增，若f(1-m)＜f(m)，则实数m的取值范围是_______________. 
（3）已知函数f(x)在区间[-2，2]上单调递减，若，则实数m的取值范围是_______________.

三 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知，求下列各式的值： 
； 
．

20.（12分）已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点 
求圆的标准方程； 
若直线与圆相切，求直线的方程； 
若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程．

21.（12分）已知函数． 
Ⅰ求； 
Ⅱ当时，求函数的最值及对应的值．

22.（12分）如图，直三棱柱中，，是棱的中点，． 
 
证明：； 
求二面角的大小．

23.（12分）已知函数的最小正周期为． 
Ⅰ求函数的单调增区间；  
Ⅱ将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象．若在上至少含有个零点，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：集合， 
则或 
故选： 
先求出集合，再利用补集定义能求出 
此题主要考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查了抛物线的概念，性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题. 
设直线交准线于，根据相似三角形列比例式依次求出，，即可得出抛物线方程. 
解：如果在第一象限， 
设抛物线准线交轴于，分别过，作准线的垂线，垂足为，， 
直线交准线于，如图所示： 
 
则，， 
， 
，， 
所以， 
同理，如果在第四象限，可得倾斜角为 
故选：
 

3.【答案】A;

【解析】 
该题考查同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，是基础题． 
利用同角三角函数的基本关系，结合的取值范围，求得和的值，可得的值． 
 
解：由，解得或． 
是的内角，， 
，则． 
故选：．
 

4.【答案】C;

【解析】解：根据的图象可得，故． 
再根据五点法作图，，求得，可得． 
把的图象上点的横坐标变为原来的， 
可得函数图象， 
故选：． 
由特殊点的坐标求出的值，由五点法作图求出，可得函数的解析式，再根据函数的图象变换规律，得出结论． 
此题主要考查由函数的部分图象求解析式，由特殊点的坐标求出的值，由五点法作图求出，可得函数的解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．
 

5.【答案】null;

【解析】解：由题意得：，故， 
所以，解得：， 
又，解得：， 
综上：的定义域为 
故选： 
由已知结合函数的定义建立关于的不等式，即可求解． 
此题主要考查了抽象函数定义域求解，掌握两点：同一个对应法则下，取值范围相同；定义域对应的是一个的取值范围．
 

6.【答案】D;

【解析】解：圆的圆心为、半径为； 
圆的圆心为、半径为， 
故圆心距，弦心距 
设公共弦所对的圆心角是，则，，， 
故选： 
根据圆的标准方程求得半径以及弦心距，再利用直角三角形中的边角关系，求得公共弦所对的圆心角的一半的值，可得公共弦所对的圆心角． 
此题主要考查圆和圆的位置关系的判定，直角三角形中的边角关系，属于基础题．
 

7.【答案】C;

【解析】解：函数的定义域为， 
对于任意恒成立， 
当时，，不合题意； 
当时，，解得． 
实数的取值范围是 
故选：． 
由题意可得对于任意恒成立，当时，，不合题意；当时，由判别式小于求解． 
该题考查函数的定义域及不等式恒成立问题，考查数学转化思想方法，是基础题．
 

8.【答案】C;

【解析】解：，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且， 
，得， 
则， 
， 
故选： 
根据函数奇偶性的性质下先求出的值，利用奇偶性进行转化求解即可． 
此题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质，进行转化是解决本题的关键．
 

9.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查一元二次方程解的问题，属于基础题. 
方程有两个不相等的正实根，则解得的取值范围即可. 
 
解：方程有两个不相等的正实根， 
则解得 
故选
 

10.【答案】A;

【解析】

此题主要考查空间线面垂直、线面平行、面面垂直、面面平行的判定，逐项判断真假即可．

解：  若，则或与相交或异面，故A不正确；

B.利用线面垂直的性质得结论正确；

C.利用面面平行的性质得结论正确；

D.利用面面垂直的判断定理得结论正确；

故选A．
 

11.【答案】C;

【解析】解：对于：，将在轴下方的图象翻折到上方，可知最小正周期，在区间上单调递减，故A不符合题意； 
对于：的最小正周期，故B不符合题意； 
对于：的最小正周期，且在区间上单调递增，故C符合题意； 
对于：的最小正周期，故D不符合题意． 
故选：． 
根据三角函数的性质对各选项依次判断即可． 
这道题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．
 

12.【答案】A;

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰三角形，高为的三棱锥； 
如图所示： 
 
故 
故选： 
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积． 
此题主要考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

 

13.【答案】C;

【解析】解：如图所示，设该四面体的棱长为，底面三角形的重心为，该四面体的外接球球心为，半径为，连接，，，为四面体的高，在高上， 
 
在中，， 
在中，，解得， 
由于外接球的体积等于， 
即，故， 
故，，故正确； 
分别取，的中点为，，连接， 
正四面体中，，故，同理， 
即为，的公垂线，而， 
则，故正确； 
由于，，，平面，故平面， 
又平面，所以， 
即异面直线与所成角为，故错误； 
设四面体内切球的半径为，而， 
故，故， 
所以四面体的内切球的体积等于，故正确， 
故选： 
对于，设该四面体的棱长为，表示出高，根据其外接球的体积等于，求得外接球半径，即可求得，判断；对于，分别取，的中点为，，连接，求得的长，即可判断；对于，证明线面垂直即可证明异面直线与互相垂直，即可判断；对于，利用等体积法求得内切球半径，即可求得内切球体积，即可判断． 
此题主要考查了立体几何的综合，属于中档题．
 

14.【答案】;

【解析】 
该题考查弧长公式，扇形面积公式的应用，考查方程思想和配方法，考查计算能力，属于中档题． 
设扇形的半径为，则可求：， ，由配方法可得 ，当，即时等号成立，从而可求的最大值． 
 
解： 设扇形的弧长为，半径为， 
圆心角大小为，半径为，则， 
可得：， 
扇形的面积为， 
， 
当，即时等号成立． 
则的最大值为． 
故答案为：．
 

15.【答案】三;

【解析】略
 

16.【答案】;

【解析】 
利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 
这道题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题． 
 
解：直线，即，它和直线平行， 
它们之间的距离为， 
故答案为：． 
 

 

17.【答案】①④;

【解析】解：①集合的非空真子集有：、、、、、共个，故正确；  
②当取集合中的时，可得，而不在集合中，故错误；  
③也是函数的对称中心，而不在的范围，故错误；  
④函数对任意实数都有恒成立，则，  
，故函数是周期为的周期函数，故正确．  
故答案为：①④  
①集合的非空真子集有个；②举反例时不合题意；③反例也是函数的对称中心；④可证，由周期函数的定义可得．  
该题考查命题真假的判定，涉及函数的周期性和对称性以及集合和映射的知识，属中档题．
 

18.【答案】;;;

【解析】略
 

19.【答案】解：已知，， 
 
． 
 
 
 
．;

【解析】这道题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题． 
由条件求得，再利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 
利用诱导公式、二倍角公式进行化简所给的式子，可得结果． 

 

20.【答案】解：（1）圆心（0，0）到直线3x+4y-10=0的距离， 
所以圆C1的半径为2， 
所以+=4； 
（2）当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为1＜r，不相切． 
直线斜率存在，设直线l：y-2=k（x-1）， 
由，得所以切线方程为y=2，或4x+3y-10=0． 
（3）当直线斜率不存在时，x=1，直线l被圆C1所截得的弦长为，符合题意； 
当直线斜率存在时，设直线l：y-2=k（x-1）， 
由，解得：， 
故l的方程是，即3x-4y+5=0， 
综上所述，直线l的方程为3x-4y+5=0或x=1．;

【解析】 
利用点到线的距离等于圆的半径可求； 
由，可求切线方程， 
分斜率是否存在进行讨论，可求直线的方程． 
此题主要考查直线与圆的位置关系，属中档题．
 

21.【答案】解：（Ⅰ）函数． 
那么=（sin）2+sincos==； 
（Ⅱ）由函数=cos2x+sin2x=sin（2x-）+， 
∵时， 
∴2x-∈[，]， 
∴当2x-=，即x=0时，有最小值为0， 
当2x-=，即时，有最大值．;

【解析】 
Ⅰ将带入计算即可； 
Ⅱ利用二倍角和辅助角化简，时，求解内层函数范围，结合三角函数的性质可得最值及对应的值． 
该题考查三角函数的最值的求解，考查转化思想以及计算能力．属于基础题．
 

22.【答案】证明：在中，， 
同理：， 
， 
 
面 
面 
 
解：，，， 
面， 
面， 
取的中点，过点作于点，连接， 
，， 
面面，面面， 
面 
而面 
， 
，， 
面，点与点重合且是二面角的平面角 
设，则，， 
 
 
即二面角的大小为;
 

【解析】该题考查线面垂直，考查面面角，解答该题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题． 
证明，只需证明面，即证明，； 
证明面，可得取的中点，过点作于点，连接，，可得点与点重合且是二面角的平面角，由此可求二面角的大小． 
 

 

23.【答案】解：(Ⅰ)由题意，可得  
f(x)==．  
∵函数的最小正周期为π，∴=π，解之得ω=1．  
由此可得函数的解析式为．  
令，解之得  
∴函数f(x)的单调增区间是．  
(Ⅱ)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f(x+)+1的图象，  
∵  
∴g(x)=+1=2sin2x+1，可得y=g(x)的解析式为g(x)=2sin2x+1．  
令g(x)=0，得sin2x=-，可得2x=或2x=  
解之得或．  
∴函数g(x)在每个周期上恰有两个零点，  
若y=g(x)在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，  
即b的最小值为．;

【解析】根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得，利用周期公式算出，得函数解析式为再由正弦函数单调区间的公式，解关于的不等式即可得到函数的单调增区间；  
根据函数图象平移的公式，得出函数的解析式为由此解得，利用正弦函数的图象解出或，可见在每个周期上恰有两个零点，若在上至少含有个零点，则大于或等于在原点右侧的第个零点，由此即可算出的最小值．