2023高考数学复习专项训练《空间中直线与平面的位置关系》

2023高考数学复习专项训练《空间中直线与平面的位置关系》

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）若直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是

A、

B、

C、

D、

A.  B.
C.  D.

2.（5分）关于空间向量，以下说法不正确的是

A. 若两个不同平面，的法向量分别是，且，则
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

3.（5分）下列四个命题中，正确的是

A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等

4.（5分）平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，则线段的长为 
 

A.  B.  C.  D.

5.（5分）若直线与平行，则与之间的距离为

A.  B.  C.  D.

6.（5分）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为

A.  B.  C.  D.

7.（5分）不论实数为何值，直线：都过定点，且点在直线：上，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

8.（5分）三棱锥中，，平面，，，则直线和直线所成的角的余弦值为

A.  B.  C.  D.

二 、填空题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）在空间直角坐标系中，已知点，，，若点在平面内，则______.

10.（5分）已知，则的最大值是             ．

11.（5分）已知矩形，，，沿对角线将折起，使二面角的平面角的大小为，则与之间距离为 ______.

12.（5分）已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为经过点且方向向量为的直线方程为用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为 ______.

13.（5分）点在轴上运动，点在直线：上运动，若，则的周长的最小值为 ______.

三 、解答题（本大题共5小题，共60分）

14.（12分）已知直线过定点 
若直线与直线垂直，求直线的方程； 
若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程．

15.（12分）如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点，与，相异的动点在棱上． 
当为的中点时，证明：平面； 
设平面与平面的交线为，是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
 

16.（12分）已知直线和点设过点与垂直的直线为求直线的方程；  求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．

17.（12分）如图所示，在三棱锥中，平面，，，，点，分别在棱，上，满足，且 
求实数的值； 
若，求直线与平面所成角的正弦值．
 

18.（12分）如图是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，点是的中点，与交于点，点是上的一个动点． 
求证：； 
求二面角平面角的余弦值； 
若点为的中点，且，求三棱锥的体积．
 

四 、多选题（本大题共5小题，共25分）

19.（5分）已知空间中三点，，，则下列结论正确的有

A. 与共线的单位向量是
B.
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是

20.（5分）已知直线：，直线：，则下列命题正确的有

A. 直线恒过点 B. 存在使得直线的倾斜角为
C. 若，则或 D. 不存在实数使得

21.（5分）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是
 

A. 点到平面的距离为定值
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与直线所成的角为定值
D. 直线与平面所成线面角为定值

22.（5分）下列说法错误的是

A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 过，两点的所有直线的方程为
D. 方程与方程表示同一条直线

23.（5分）正方体中，为中点，为中点，以下说法正确的是
 

A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面

答案和解析

1.【答案】null;

【解析】解：设直线的倾斜角为， 
由题意知：， 
解得：或 
倾斜角的取值范围是 
故选： 
由题意可得：，然后求解三角不等式得答案． 
此题主要考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．
 

2.【答案】B;

【解析】解：对于，，所以，正确； 
对于，，所以，则直线或，错误； 
对于，对空间中任意一点，有，满足， 
则，，，四点共面，可知正确； 
对于，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 
则这两个向量共线，所以正确． 
故选： 
由面面垂直的向量表示可判断；由线面平行的向量表示可判断；根据向量共线定理，可判断；由空间向量基底的表示可判断 
此题主要考查面面垂直的向量表示、线面平行的向量表示、向量共线定理、空间向量基底等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

3.【答案】B;

【解析】解：选项，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误； 
选项，直线的倾斜角为，斜率为，存在，故正确； 
选项，若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行或重合，所以错误； 
选项，若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以错误． 
故选： 
根据方程直接求解可判断；由倾斜角和斜率的定义可判断；根据直线平行与斜率的关系可判断；由倾斜角为时斜率不存在可判断 
此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
 

4.【答案】C;

【解析】解：由题意可得， 
所以 
， 
故选： 
以为基底表示空间向量，然后结合数量积的运算法则计算向量的模即可求得线段的长度． 
此题主要考查空间向量及其应用，空间向量数量积的运算法则等知识，属于基础题．
 

5.【答案】C;

【解析】 
 

此题主要考查两条直线平行的判定及应用以及平行线之间的距离问题，属于基础题. 
 

解：因为直线与平行，所以，解得或当时，与重合，故舍去

当时，与之间的距离故选
 

6.【答案】B;

【解析】解：直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为， 
又为直线外一点，且直线过点，， 
，， 
点到直线的距离为 
故选： 
根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可． 
此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．
 

7.【答案】D;

【解析】解：由直线：， 
得，解得，， 
故定点， 
又点在直线：上， 
则，即， 
 
 
 
， 
当且仅当即时“”成立， 
故选： 
求出的值，代入直线，得到，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可． 
此题主要考查了基本不等式的性质，考查恒过定点的直线方程，是基础题．
 

8.【答案】C;

【解析】解：如图所示，三棱锥中，，平面，，， 
则，所以， 
，，， 
，， 
所以直线和直线所成角的余弦值为 
故选： 
根据题意画出图形，结合图形利用基向量表示、，求出，即可得出答案． 
此题主要考查了异面直线所成角的余弦值计算问题，是基础题．

 

9.【答案】-2;

【解析】解：因为，，， 
所以，， 
又点在平面内， 
所以，其中、； 
由， 
所以， 
解得 
故答案为： 
根据空间向量的坐标表示和共面定理，列方程组求出的值． 
此题主要考查了空间向量的坐标表示和共面定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】 ;

【解析】  
试题分析  
 
的几何意义可以看做点到点和点距离之差的最大值而  
所以  
考点：函数的最值 两点的距离公式  
点评：本题的关键是根据函数的几何意义将代数问题转化成几何问题属中档题．
 

11.【答案】;

【解析】解：过和分别作，，如图， 
 
矩形，，，， 
，，，， 
沿对角线将折起，使二面角的平面角的大小为， 
， 
， 
 
 
， 
与之间距离为 
故答案为： 
过和分别作，，由矩形，，，求出，，由二面角的平面角的大小为，求出，再利用向量线段运算法则能求出与之间距离． 
此题主要考查空间中两点间距离的求法，考查线面垂直的判定与性质、二面角的定义及求法、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

12.【答案】null;

【解析】解：由题意知：平面的一个法向量，直线的一个方向向量， 
设直线与平面所成角为， 
所以， 
即直线与平面所成角的正弦值为， 
故答案为： 
由已知定义可确定平面的法向量和直线的方向向量，由线面角的向量求法即可求得． 
此题主要考查了直线与平面所成的角，读懂题意是解题关键，属于基础题．
 

13.【答案】;

【解析】解：设点关于轴的对称点为，则点的坐标为， 
设点关于：的对称点为， 
则，解得，即点的坐标为， 
由对称性可知，， 
所以的周长为， 
即的周长的最小值为 
故答案为： 
求出点关于轴的对称点为，点关于：的对称点为，利用对称性将的周长的最小值转化为求的长度即可得解． 
此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】解：（1）直线l与直线x+2y-5=0垂直，设直线l的方程为2x-y+c=0， 
将定点A（2，1）代入可得4-1+c=0，解得c=-3， 
故直线l的方程为2x-y-3=0． 
（2）①当直线l经过原点时，直线l的方程为y=，即x-2y=0； 
②当直线l不经过原点时，设直线l的方程为x-y=a, 
把点（2，1）代入可得2-1=a,解得a=1，则直线l的方程为x-y-1=0， 
综上，直线l的方程为x-2y=0或x-y-1=0．;

【解析】 
根据两直线垂直，设直线的方程，代入点的坐标，求出参数的值即可； 
分直线经过原点和直线不经过原点两种情况讨论，当直线不经过原点，设直线的方程为，代入点的坐标，求出参数的值即可． 
此题主要考查了直线垂直的性质和直线的截距式方程，考查了分类讨论思想和方程思想，是基础题．
 

15.【答案】证明：（1）如图，设点G为棱ED的中点，连接AG，PG， 
 
∴，GP∥DC， 
∵AB∥CD，CD=4AB， 
∴GP=AB，GP∥AB， 
∴四边形ABPG为平行四边形， 
∴AG∥PB， 
又PB⊄平面ADE，AG⊂平面ADE， 
∴PB∥平面ADE； 
（2）解：如图，延长DA，CB相交于点H，连接EH，则直线EH为平面EAD与平面EBC的交线，连接HF，交BD于点I， 
 
若EH∥平面PBD，由线面平行的性质可知EH∥PI， 
设， 
∵点F为棱CD的中点，AB∥CD，CD=4AB， 
∴==， 
∵D，I，B三点共线， 
∴，即， 
所以当时，，∴EH∥PI， 
又EH⊄平面PBD，PI⊂平面PBD，∴EH∥平面PBD， 
∴存在满足条件的点P使得l∥平面PBD，此时．;

【解析】 
设点为棱的中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理可证平面； 
延长，相交于点，连接，则直线为平面与平面的交线，连接，交于点，若平面，由线面平行的性质可知，设，推出，根据三点共线的结论求出，从而可推出 
此题主要考查了线面平行的证明和应用，属于中档题．
 

16.【答案】（1）；  （2）.   ;

【解析】解：由直线知又因为，所以解得，所以的方程为  整理得；  由的方程解得，当时，，当时，，所以，即该直线与两坐标轴围成的面积为
 

17.【答案】解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC， 
由线面垂直的定义可得PC⊥DE， 
又DE⊥PD，PC∩PD=P，PC，PD⊂平面PCD， 
由线面垂直的判断定理可得DE⊥平面PCD，则DE⊥CD， 
以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz, 
则C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，6，0）， 
，， 
因为，所以，，， 
所以，即E（0，6-6λ，0）， 
且， 
∴D（3-3λ，6λ，0）， 
∴， 
据此肯定， 
解得． 
（Ⅱ）由（1）及条件可得D（2，2，0），P（0，0，2），E（0，4，0），，， 
设平面PDE的法向量为， 
则，据此可得， 
又， 
∴， 
∴直线PB与平面PDE所成角的正弦值为．;
 

【解析】 
由题意建立空间直角坐标系，求得点，，的坐标，由垂直关系得到关于的方程，解方程可得的值； 
由条件求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值． 
此题主要考查线面角的计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

18.【答案】（1）证明：∵点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C， 
∴PC⊥平面 ABC， 
∵BC⊂平面 ABC， 
∴BC⊥PC， 
又BC⊥AC，且PC∩AC=C，PC，AC⊂平面PAC， 
所以BC⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，所以BC⊥PA． 
（2）解：∵PC⊥平面ABC，BC，OC⊂平面ABC， 
所以PC⊥BC，PC⊥OC， 
∴∠BCO为二面角B-PC-O的平面角． 
设AC=2BC=2，则AB=，OA=OB=OC=， 
由∠BCO=∠OBC，∠BCO为锐角， 
在直角△ABC中可得co∠ABC==，故cos∠BCO=， 
故二面角B-PC-O平面角的余弦值为． 
（3）解：在△PAB中，点D是PA的中点，点O是AB的中点，所以E为△PAB的重心， 
则在△POC中有=， 
又点F为PC的中点，所以=，于是==， 
所以===，VP-BEF=VP-BOC， 
在直角△ABC中，AB=2，AC=2BC， 
∴S△ABC=，S△BOC=S△ABC=， 
从而VP-BOC=S△BOC•PC==． 
VP-BEF=VP-BOC=， 
所以三棱锥P-BEF的体积为．;

【解析】 
通过证明平面来证得； 
判断出二面角平面角，解直角三角形求得其余弦值； 
首先判断出，然后结合锥体体积公式求得三棱锥的体积． 
此题主要考查线面垂直判定定理和利用向量法求解二面角问题，三棱锥体积问题，属于中档题．
 

19.【答案】BD;

【解析】解：空间中三点，，， 
，，单位向量是与不共线，故错误； 
，，，故正确； 
，，故错误； 
设，则，，， 
平面的一个法向量是，故正确． 
故选： 
利用共线向量和单位向量的定义判断；利用向量垂直的性质判断；利用向量夹角余弦公式判断；利用法向量定义判断 
此题主要考查共线向量、单位向量的定义、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式、法向量定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

20.【答案】AB;

【解析】解：直线：，令，解得，可得直线恒过点，因此正确； 
B.时，直线化为，此时直线的斜率不存在，倾斜角为，因此正确． 
C.直线与的方向向量分别为，，由，解得，经过验证时两条直线重合，舍去，因此，则，故不正确； 
D.时，两条直线分别化为，，此时两条直线垂直，因此不正确． 
故选： 
A.直线：，令，解得，可得直线恒过的定点； 
B.时，直线化为，此时直线的斜率不存在，可得直线的倾斜角． 
C.直线与的方向向量分别为，，利用，解得，并且经过验证两条直线是否重合，即可得出的值，进而判断出结论； 
D.时，两条直线分别化为，，可知两条直线垂直，即可判断出正误． 
此题主要考查了相互垂直或平行的直线与斜率之间的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

21.【答案】ABC;

【解析】解：对于，在正方体中， 
直线，平面，平面，所以直线平面， 
所以点到平面的距离，即为直线与平面的距离，为定值．故正确； 
对于，由于，而为定值， 
在正方体中， 
，平面，平面，所以平面， 
又，所以点到该平面的距离即为直线与平面的距离，为定值， 
所以三棱锥的体积为定值，故正确； 
对于，在正方体中，，，， 
所以平面，而平面，所以， 
故这两条异面直线所成的角为，故正确； 
对于，由选项的分析可知，点到平面的距离不变， 
所以直线与平面所成线面角，设为，由的长度确定， 
即，因为的长度是变化的，故线面角的大小不确定，故错误． 
故选： 
利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解． 
此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．

 

22.【答案】ACD;

【解析】 
 

此题主要考查了两直线垂直关系的判定及其应用，也考查了斜率与倾斜角关系和点斜式及两点式方程及其应用，属于基础题. 
对于，根据充要条件的定义结合两直线垂直的条件进行判断，对于，由倾斜角与斜率的关系判断，对于，举例判断，对于，根据两方程的特征分析判断.

解：对于，当时，两直线分别为和，此时两直线的斜率乘积为，所以两直线垂直， 
当直线与直线互相垂直时，则， 
解得或，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，所以错误，

对于，直线的斜率，因为，所以，所以，所以所以正确，

对于，当或时，过，两点的直线不能用表示，所以错误，

对于，因为方程表示的是一条直线，而方程表示直线上除去的部分，所以方程与方程表示的不是同一条直线，所以错误，

故选：
 

23.【答案】AC;

【解析】解：如图建立空间直角坐标系：设正方体棱长为，则，，，，， 
由于平面，平面，平面， 
则平面，平面，平面的法向量可分别取，，，， 
对于：由于，且平面，故平面，正确； 
对于：，故错误； 
对于：，即，故平面，正确； 
对于：与不共线，故错误， 
故选： 
 
建立空间直角坐标系，根据平行垂直的等价条件计算判断． 
此题主要考查空间线面位置关系，属于基础题．