2023高考数学复习专项训练《两点式方程》

2023高考数学复习专项训练《两点式方程》

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）

1.（5分）下列说法正确的是

A. “”当且仅当“直线与直线互相垂直”
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 过，两点的所有直线的方程
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

2.（5分）已知圆内一点，则过点的直径所在的直线方程是

A.  B.  C.  D.

3.（5分）经过，两点的直线方程为

A.  B.
C.  D.

4.（5分）经过点且在两轴上截距相等的直线是  

A.  B.  C. 或 D. 或

5.（5分）已知，，的面积为，则动点的轨迹方程是

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

6.（5分）若直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是

A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 平行或重合

7.（5分）下列说法中正确的是 
 

A. 经过定点的直线都可以用方程来表示
B. 经过定点的直线都可以用方程来表示
C. 不经过原点的直线都可以用方程来表示
D. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程来表示

8.（5分）已知直线和轴、轴分别交于两点，且两点的距离为，则的值为

A.  B.  C.  D. 或

9.（5分）圆：和圆：交于，两点，则的垂直平分线的方程是

A.  B.
C.  D.

10.（5分）过点P（1，2）引一条直线，使它与点A（2，3）和点B（4，-5）的距离相等，那么这条直线的方程是（  ）

A. 4x+y-6=0 B. 3x+2y-7=0或4x+y-6=0
C. x+4y-6=0 D. 2x+3y-7=0或x+4y-6=0

11.（5分）若点在过点，的直线上，则

A.  B.  C.  D.

12.（5分）过点P（1，2）引一条直线，使它与点A（2，3）和点B（4，-5）的距离相等，那么这条直线的方程是（  ）

A. 4x+y-6=0 B. 3x+2y-7=0或4x+y-6=0
C. x+4y-6=0 D. 2x+3y-7=0或x+4y-6=0

13.（5分）下列说法正确的是

A. ““是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C. 过，两点的所有直线的方程为
D. 直线与直线互相平行，则

二 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）直线过点，，则直线的方程为 ______.

15.（5分）过点，在轴和轴上的截距分别是，且满足的直线方程为__________.

16.（5分）已知直线过点，，则直线的方程为 ______.

17.（5分）已知点，，其中，，若线段的中点坐标为，则直线的方程为 ______.

18.（5分）已知点若轴上存在一点，使最大，则点坐标为_______.

三 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知三角形的三个顶点，，． 
求边上中线所在直线的方程要求写成系数为整数的一般方程； 
求的面积．

20.（12分）已知直线的方程为，求证：不论为何实数，直线恒过一定点； 
过中点作一条直线，使它被直线和截得的线段被点平分，求直线的方程； 
过中点作一条直线，与的负半轴交于，与的正半轴交于，三角形的面积为，求的最小值．

21.（12分）已知直线是中的平分线所在的直线，若，的坐标分别是，，求点的坐标．

22.（12分）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．

23.（12分）求分别满足下列条件的直线的方程：

斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是；

经过两点、；

经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】 
这道题主要考查命题的真假判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直的位置关系的判断，难度不大，属于中档题． 
A.根据直线垂直的等价条件进行判断， 
B.根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断， 
C.当直线和坐标轴平行时，不满足条件． 
D.过原点的直线也满足条件． 
 
解：当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故A错误， 
B.直线的斜率，则，即，则，故B正确， 
C.当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故C错误， 
D.若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D错误， 
故选B． 
 

 

2.【答案】A;

【解析】解：由题意，圆心，  
过点的直径所在的直线方程是，即，  
故选A． 
求出圆心坐标，利用两点式求出过点的直径所在的直线方程．  
该题考查圆的方程，考查直线方程，确定圆心坐标是关键．
 

3.【答案】A;

【解析】解：由题意得，直线的斜率， 
故直线的方程为，即． 
故选：． 
先求出直线的斜率，然后根据点斜式可求． 
这道题主要考查了直线方程的求解，属于基础题．
 

4.【答案】D;

【解析】 
这道题主要考查用两点式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 
直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，用两点式求得直线方程；当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为 ，把点代入，求得 ，可得直线方程，综合可得结论． 
 
解：当直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，方程为，即． 
当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为 ， 
把点代入可得，求得 ，可得直线方程为． 
故所求直线方程为或． 
故选D． 

 

5.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查轨迹方程的求法，点到直线的距离公式的应用．利用三角形的面积，求出到的距离是解决本题的关键． 
利用两点间的距离公式可得，利用三角形的面积，求出到的距离，即可求出顶点的轨迹方程． 
 
解：，， 
得 
的面积为 
动点到的距离为 
设，的方程为：，即 
由题意可得：， 
即，动点的轨迹方程为：或 
故选： 
 

 

6.【答案】D;

【解析】解：直线的倾斜角为，直线的斜率， 
直线经过点，， 
直线的斜率， 
直线与的位置关系是平行或重合． 
故选：． 
求出直线与的斜率相等，由此能判断直线与的位置． 
该题考查两直线的位置关系的判断，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】D;

【解析】 
此题主要考查直线方程的适用范围，特别注意直线斜率不存在或者截距等于的情况． 
逐一分析研究各个选项，通过举反例等方法排除不正确的选项，特别注意直线斜率不存在或者截距等于的情况． 
 
解：选项不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点的直线不可以用方程表示． 
选项不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点的直线不可以用方程表示． 
选项不正确，当直线和轴垂直或者与轴垂直时，不经过原点的直线不可以用方程表示． 
选项正确，斜率有可能不存在，截距也有可能为，但都能用方程表示． 
故选
 

8.【答案】D;

【解析】直线在轴、轴的截距分别为，，所以，，因此两点的距离为，解得：
 

9.【答案】C;

【解析】解：由题意圆：和圆：交于、两点，则的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程， 
圆：的圆心和圆：的圆心， 
所以所求直线方程为：，即． 
故选：． 
要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可． 
本题是基础题，考查两个圆的位置关系，弦的中垂线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．
 

10.【答案】B;

【解析】解：由题意得，所求直线经过线段AB的中点，或者所求的直线和线段AB平行， 
由中点公式可求线段AB的中点坐标为（3，-1），又直线过点P（1，2）， 
∴当所求直线经过线段AB的中点时，由两点式得  所求直线的方程为 y-2-1-2=x-13-1，即 3x+2y-7=0， 
当所求的直线和线段AB平行时，直线的斜率为 3+52-4=-4，由点斜式得 y-2=-4（x-1），即4x+y-6=0， 
综上，所求直线的方程为 3x+2y-7=0 或 4x+y-6=0．故选 B．
 

11.【答案】D;

【解析】 
题主要考查了运用两点式方程求直线方程，根据点、的坐标，代入直线的两点式方程即可求解．

解：由两点式方程得的方程为， 
化简为， 
 

又点在直线上， 
，即 

 

12.【答案】B;

【解析】解：由题意得，所求直线经过线段AB的中点，或者所求的直线和线段AB平行， 
由中点公式可求线段AB的中点坐标为（3，-1），又直线过点P（1，2）， 
∴当所求直线经过线段AB的中点时，由两点式得  所求直线的方程为 y-2-1-2=x-13-1，即 3x+2y-7=0， 
当所求的直线和线段AB平行时，直线的斜率为 3+52-4=-4，由点斜式得 y-2=-4（x-1），即4x+y-6=0， 
综上，所求直线的方程为 3x+2y-7=0 或 4x+y-6=0．故选 B．
 

13.【答案】D;

【解析】选项，可根据两直线的垂直关系进行证明，但是在用斜率关系判定直线的垂直关系时，需要考虑斜率不存在的特殊情况；选项是对直线的截距式方程进行考查，所以可以用直线的截距式方程定义进行求解但需要考直线在坐标轴上的截距为的特殊情况；选项主要考查直线的两点式方程定义，在定义中一定要注意条件，；选项主要考查两直线平行的判定，所以可以根据两直线斜率相等进行判断． 
此题主要考查直线位置关系的判定，属于基础题． 
 
选项：根据直线垂直的定义可知，①若两直线斜率都存在且不为时，， 
本题中当两直线斜率都存在且不为，即时，， 
则当时，两直线垂直； 
②当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为时，两直线垂直，此时，故错误； 
选项：根据题意假设直线在，轴上的截距分别为，，则有 
①当时，即直线经过原点，且过点，此时直线方程为； 
②当时，则可设直线的截距式方程为，代入点可得， 
直线方程为；故错误； 
选项：根据直线的两点式方程定义可知，若直线经过点，，且，时， 
可得直线的两点式方程为， 
但当①，时，直线方程为；②，时，直线方程为；故错误； 
选项：根据直线平行的判定可知，当两直线的斜率都不存在，或都存在且相等时，两直线平行； 
本题中，①当时直线斜率为，直线斜率为，此时两直线不平行； 
②当时，，若两直线平行，则有， 
解之可得，，或；故选项正确． 
故选： 

 

14.【答案】null;

【解析】解：直线过点，， 
所以直线垂直于轴， 
故直线的方程为 
故答案为： 
直接利用两点的坐标确定直线的方程． 
此题主要考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

15.【答案】或;

【解析】由已知得直线斜率存在，设直线的斜率为，所以直线方程为由题意可知，，因为，所以，解得或，故所求的直线方程为或
 

16.【答案】4x+3y+5=0;

【解析】解：直线的斜率为， 
所以直线的方程为，即 
故答案为： 
根据两点的坐标求得直线的斜率，再由点斜式写出直线方程即可． 
此题主要考查直线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

17.【答案】2x-5y-4=0;

【解析】解：由中点坐标公式可知，解得， 
，， 
直线的斜率为， 
直线的方程为，即， 
故答案为： 
先由中点坐标公式求出，的值，得到点，的坐标，再利用斜率公式求出直线的斜率，再由点斜式即可求出直线的方程． 
此题主要考查了中点坐标公式，考查了直线的一般方程，是基础题．
 

18.【答案】;

【解析】 
此题主要考查点关于线的对称问题，难度一般. 
先求出点关于轴对称的点的坐标，再求出直线的方程，与轴交点坐标即为所求. 
 
解：点关于轴对称的点的坐标为， 
直线的方程为， 
即， 
令，得， 
所以点的坐标为 
故答案为
 

19.【答案】解：（1）由中点坐标公式有BC的中点坐标为：（1，-1）， 
又由两点式方程有BC边上中线所在直线的方程为： 
即x+5y+4=0 
（2）直线AC的方程为：x-2y+4=0， 
由点到直线的距离公式有：△ABC中AC边的高， 
又， 
∴．;

【解析】 
由中点坐标公式有的中点坐标为：，再利用两点式即可得出； 
直线的方程为：，由点到直线的距离公式有：中边的高，利用两点之间的距离公式可得，利用，即可得出． 
该题考查了直线的方程、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

20.【答案】证明：， 
， 
由，得， 
所以直线恒过定点； 
设与的交点为， 
则由题意知，点关于点的对称点在上， 
由， 
解得， 
因此直线的方程为，即； 
设直线的方程为 
因点在直线上，所以 
所以，即， 
解得， 
所以， 
当且仅当，即且时取等号， 
所以 ;

【解析】此题主要考查直线方程的求法和基本不等式，属于中档题. 
将分离出来，令其系数与常数项为，即得定点坐标； 
设与的交点为，由题意可知关于的对称点在上，列方程组求解的坐标，再由两点式即可写出直线的方程； 
设的截距式方程，由在上得参数的关系式，由基本不等式可得面积的最值.
 

21.【答案】

解：由题意，点关于直线的对称点在所在直线上，设点坐标为，

则、满足，即①

，即② 
解①②两式组成的方程组，得， 
所在直线方程为， 
即 
解方程且，得， 
所求点坐标为;

【解析】

此题主要考查点关于直线对称及直线的两点式方程，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.

先求点关于直线的对称点，在所在直线上，然后求所在直线方程，解方程组得到的坐标.
 

22.【答案】解：当横截距a=0时，纵截距b=0， 
此时直线过点（0，0），P（1，2）， 
∴直线方程为，整理得y=2x； 
当横截距a≠0时，纵截距b=a， 
此时直线方程设为， 
把P（1，2）代入，得，解得a=3， 
∴所求的直线方程为：x+y-3=0． 
综上：过点P（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x-y=0或x+y-3=0．;

【解析】 
当横截距时，纵截距，此时直线过点，；当横截距时，纵截距，此时直线方程设为，把代入，得，解得由此能求出过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 
此题主要考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意截距式方程的合理运用．
 

23.【答案】解：(1)设直线l的方程为y＝x＋b，

令y＝0，得x＝b，

∴|b.(b)|＝6，b＝±3.

∴直线l的方程为y＝x±3.

(2)当m≠1时，直线l的方程是,即y＝ (x－1),

当m＝1时，直线l的方程是x＝1；

(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.当a≠0，b≠0时，l的方程为；

∵直线过P(4，－3)，

∴,

又∵|a|＝|b|，

∴，解得或.

当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，

∴l的方程为y＝－x.综上所述，

直线l的方程为x＋y＝1或或y＝－x.;

【解析】

此题主要考查了直线的斜率、截距式、两点式的求解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

设出直线方程，，由条件列出关于的式子解出即可得到直线方程；

由两点式得到直线方程即可，注意的取值；

设出直线方程，代入条件求出即可，注意分类讨论.